重慶市渝東六校2024屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

重慶市渝東六校2024屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．2．設(shè)直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長為，則實(shí)數(shù)的取值為A．或11 B．或11 C． D．3．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．4．已知集合，，若AB，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，若三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．12 B． C． D．106．已知變量x，y間存在線性相關(guān)關(guān)系，其數(shù)據(jù)如下表，回歸直線方程為，則表中數(shù)據(jù)m的值為（）變量x0123變量y35.57A．0.9 B．0.85 C．0.75 D．0.57．已知復(fù)數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．8．在中，內(nèi)角的平分線交邊于點(diǎn)，，，，則的面積是（）A． B． C． D．9．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則方程的最小實(shí)根的值為（）A． B． C． D．10．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，．當(dāng)變化時(shí)，若存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．11．洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)．如圖，若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，則其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．12．若為純虛數(shù)，則z＝（）A． B．6i C． D．20二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量與向量垂直，則______.14．某班星期一共八節(jié)課（上午、下午各四節(jié)，其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動(dòng)），排課要求為：語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)各排一節(jié)，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語不相鄰（上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法有__________種.15．已知集合，則_______．16．設(shè)函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),又函數(shù),則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線及直線.（1）若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若l與C交于A，B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)k的值.18．（12分）在數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值19．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上最小值.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：.21．（12分）第7屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)，329個(gè)小項(xiàng).共有來自100多個(gè)國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺(tái)競(jìng)技.前期為迎接軍運(yùn)會(huì)順利召開，武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動(dòng)，努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識(shí)，并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對(duì)軍運(yùn)會(huì)知識(shí)的知曉情況，在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查，民眾參與度極高，現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者，他們得分（滿分100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：組別頻數(shù)5304050452010（1）若此次問卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計(jì)總體，設(shè)，分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表），求，的值（，的值四舍五入取整數(shù)），并計(jì)算；（2）在（1）的條件下，為感謝大家參與這次活動(dòng)，市體育局還對(duì)參加問卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分低于的可以獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分不低于的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，在一次抽獎(jiǎng)中，抽中價(jià)值為15元的紀(jì)念品A的概率為，抽中價(jià)值為30元的紀(jì)念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者，記Y為他參加活動(dòng)獲得紀(jì)念品的總價(jià)值，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.（參考數(shù)據(jù)：；；.）22．（10分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，需引進(jìn)一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇，生產(chǎn)線①：有A，B兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02，0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為15萬元；若A工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加2萬元；若B工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬元；若A，B兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線②：有a，b兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04，0.01.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為14萬元；若a工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加8萬元；若b工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元；若a，b兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加13萬元.（1）若選擇生產(chǎn)線①，求生產(chǎn)成本恰好為18萬元的概率；（2）為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本，你會(huì)給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線？請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由題意，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，得展開式的通項(xiàng)為，則展開式的通項(xiàng)為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛：此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低檔題，也是?？贾R(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，從而問題可得解.2、A【解析】

圓的圓心坐標(biāo)為（1，1），該圓心到直線的距離，結(jié)合弦長公式得，解得或，故選A．3、A【解析】

由及得到、，進(jìn)一步得到，再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋裕?，所以，，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.4、D【解析】

先化簡(jiǎn)，再根據(jù)，且AB求解.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，且AB，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

取B1C1的中點(diǎn)Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖，取B1C1的中點(diǎn)Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，的外接圓直徑為，球O的半徑R滿足，所以球O的表面積S=4πR2=，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關(guān)系，及球的表面積公式，解題時(shí)要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題.6、A【解析】

計(jì)算，代入回歸方程可得．【詳解】由題意，，∴，解得．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì)：線性回歸直線一定過中心點(diǎn)．7、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，則，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，進(jìn)而求出，然后利用三角形的面積公式可計(jì)算出的面積.【詳解】為的角平分線，則.，則，，在中，由正弦定理得，即，①在中，由正弦定理得，即，②①②得，解得，，由余弦定理得，，因此，的面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9、C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值，然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的，通過計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，故當(dāng)時(shí)，，所以，而，所以，又當(dāng)時(shí)，的極大值為1，所以當(dāng)時(shí)，的極大值為，設(shè)方程的最小實(shí)根為，，則，即，此時(shí)令，得，所以最小實(shí)根為411.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識(shí)，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.10、C【解析】

因?yàn)椋?，所以根?jù)正弦定理可得，所以，，所以，其中，，因?yàn)榇嬖谧畲笾?，所以由，可得，所以，所以，解得，所以正?shù)的取值范圍為，故選C．11、A【解析】

基本事件總數(shù)，利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個(gè)，由此能求出其和等于11的概率．【詳解】解：從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，基本事件總數(shù)，其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4個(gè)，其和等于的概率．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的概念，可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴且得，此時(shí)故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】

直接根據(jù)向量垂直計(jì)算得到答案.【詳解】向量與向量垂直，則，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14、1344【解析】

分四種情況討論即可【詳解】解：數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時(shí)有：數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時(shí)有：所以共有1344種故答案為：1344【點(diǎn)睛】考查排列、組合的應(yīng)用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎(chǔ)題.15、【解析】

由可得集合是奇數(shù)集，由此可以得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)樗约现械脑貫槠鏀?shù)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.16、1【解析】

判斷函數(shù)為偶函數(shù)，周期為2，判斷為偶函數(shù)，計(jì)算，，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像到答案.【詳解】知，函數(shù)為偶函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱。，故函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，且。為偶函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)先增后減。當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)先增后減。在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)在上的圖像，發(fā)現(xiàn)在內(nèi)圖像共有1個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，確定函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性，周期性，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】

（1）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)根的判別式，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)，由（1）可得關(guān)系，再由直線l過點(diǎn)，可得，進(jìn)而建立關(guān)于的方程，求解即可.【詳解】（1）雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，整理得，，解得且.雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是.（2）設(shè)交點(diǎn)，直線l與y軸交于點(diǎn)，，.，即，整理得，解得或或.又，或時(shí)，的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、三角形面積計(jì)算，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系解決相交弦問題，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）由得，兩式相減可得是從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列，由此即可求出答案；（2），分類討論，當(dāng)時(shí)，，作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列，由此可得答案，【詳解】解：（1）因?yàn)?，，兩式相減得：，即，是從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列，∵∴，則，；（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)遞增，，所以實(shí)數(shù)的最小值．【點(diǎn)睛】本題主要考查地推數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．19、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，并且解出它的零點(diǎn)x=，再分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）分三種情況加以討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的大小比較，即可得到當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是-a；當(dāng)a≥ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是ln2-2a．【詳解】函數(shù)的定義域

為．

因?yàn)?，令，可得?/p>

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述：可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

的最小值是當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，的最小值是當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．

又，

當(dāng)時(shí)，的最小值是；

當(dāng)時(shí)，的最小值為綜上所述，結(jié)論為當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是.【點(diǎn)睛】求函數(shù)極值與最值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由在上恒成立，采用分離參數(shù)法求解；（2）觀察函數(shù)，不等式湊配后知，利用時(shí)可證結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即在上恒成立因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞減的，所以，所以（2）因?yàn)?，所以由?）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減所以即所以.【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式．解題關(guān)鍵是把不等式與函數(shù)的結(jié)論聯(lián)系起來，利用函數(shù)的特例得出不等式的證明．21、（1），，；（2）詳見解析.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布表計(jì)算出平