2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元素養(yǎng)檢測含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE單元素養(yǎng)檢測(二)(第六章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求的)1.已知函數(shù)f(x)=xlnx+x2-1,則f′(1)為 ()A.0 B.1 C.2 【解析】選D.依題意f′QUOTE=lnx+1+2x,所以f′QUOTE=0+1+2=3.2.設(shè)函數(shù)y=f(x)=xex,則 ()A.x=1為f(x)的極大值點(diǎn)B.x=1為f(x)的微小值點(diǎn)C.x=-1為f(x)的極大值點(diǎn)D.x=-1為f(x)的微小值點(diǎn)【解析】選D.令y′=ex+x·ex=(1+x)ex=0,得x=-1,當(dāng)x<-1時(shí),y′<0;當(dāng)x>-1時(shí),y′>0.故x=-1時(shí),y取得微小值.3.若曲線y=x4的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直,則l的方程為 ()A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0【解析】選A.因?yàn)閥′=4x3,由y′=4得x=1.而x=1時(shí)y=1,故l的方程為4x-y-3=0.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.函數(shù)f(x)=x2+(2-a)x+a-1是偶函數(shù),則曲線y=f(x)在x=1處的切線方程是 ()A.y=2x B.y=-2x+4C.y=-x D.y=-x+2【解析】選A.由f(x)為偶函數(shù)得a=2,即f(x)=x2+1,從而f′(1)=2,切點(diǎn)(1,2),所以切線為y=2x.2.曲線y=xsinx在點(diǎn)QUOTE處的切線與x軸,直線x=π所圍成的三角形的面積為 ()A.QUOTE B.π2C.2π2 D.QUOTE(2+π)2【解析】選A.y=xsinx在QUOTE處切線為y=-x,所圍成的三角形面積為QUOTE.4.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)上任一點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率k=(x0-2)(x0+1)2,則該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 ()A.[-1,+∞) B.(-∞,2]C.(-∞,-1)和(1,2) D.[2,+∞)【解析】選B.由導(dǎo)數(shù)幾何意義知,在(-∞,2]上f′(x)<0,故單調(diào)遞減.5.若函數(shù)f(x)=2xf′(1)+x2,則QUOTE等于 ()A.-QUOTEB.QUOTEC.-QUOTED.-QUOTE【解析】選C.因?yàn)閒′(x)=2f′(1)+2x,則f′(1)=2f′(1)+2,所以f′(1)=-2,所以f′(x)=-4+2x,f′(-1)=-6,又f(-1)=-2f′(1)+1=5,所以QUOTE=-QUOTE.6.若函數(shù)f(x)=QUOTE,并且QUOTE<a<b<QUOTE,則下列各結(jié)論正確的是 ()A.f(a)<f(QUOTE)<fQUOTEB.f(QUOTE)<fQUOTE<f(b)C.f(QUOTE)<fQUOTE<f(a)D.f(b)<fQUOTE<f(QUOTE)【解析】選D.a=QUOTE<QUOTE<QUOTE<QUOTE=b,f′(x)=QUOTE′=QUOTE,令g(x)=xcosx-sinx,則g′(x)=-xsinx<0在QUOTE成立,所以g(x)為QUOTE上的減函數(shù),所以g(x)<g(0)=0,所以f′(x)<0,所以f(x)為QUOTE上的減函數(shù),所以f(b)<fQUOTE<f(QUOTE).7.(2024·東莞高二檢測)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿意xf′(x)-2f(x)>1,則不等式f(x+2020)-(x+2020)2f(-1)<0為 ()A.(-∞,-2021) B.(-2021,0)C.(-2021,-2020) D.(-2020,0)【解析】選C.由題意知,當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),xf′(x)-2f(x)>1,可得x2f′設(shè)g(x)=QUOTE,則g′(x)=QUOTE<QUOTE<0,所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.不等式f(x+2020)-(x+2020)2f(-1)<0,等價(jià)于QUOTE<f(-1)=g(-1),即為g(x+2020)<g(-1),所以QUOTE解得-2021<x<-2020.8.設(shè)函數(shù)f(x)的圖像如圖,則函數(shù)y=f′(x)的圖像可能是下列選項(xiàng)中的 ()【解析】選D.由y=f(x)圖像知有兩個(gè)極值點(diǎn),第一個(gè)是極大值點(diǎn),其次個(gè)是微小值點(diǎn),由極值意義知選D.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖像如圖所示,以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)B.-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn)C.y=f(x)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增D.y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零【解析】選BD.依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像可知當(dāng)x∈(-∞,-3)時(shí),f′(x)<0,在x∈(-3,1)時(shí),f′(x)≥0,所以函數(shù)y=f(x)在(-∞,-3)上單調(diào)遞減,在(-3,1)上單調(diào)遞增,則-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在(-3,1)上單調(diào)遞增,則-1不是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)大于0,則y=f(x)在x=0處切線的斜率大于零;所以錯(cuò)誤的選項(xiàng)為BD.10.若函數(shù)f(x)=QUOTEx3+x2-QUOTE在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值,則下列a值符合要求的是 ()A.-3 B.-2C.-1 D.0【解析】選ABC.由題意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-2,0)上單調(diào)遞減,作出其大致圖像如圖所示,令QUOTEx3+x2-QUOTE=-QUOTE得,x=0或x=-3,則結(jié)合圖像可知,QUOTE解得a∈[-3,0).所以A,B,C選項(xiàng)符合.11.已知函數(shù)f(x)=xlnx,若0<x1<x2,則下列結(jié)論正確的是 ()A.x2f(x1)<x1f(xB.x1+f(x1)<x2+f(x2)C.QUOTE<0D.當(dāng)lnx>-1時(shí),x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f【解析】選AD.g(x)=QUOTE=lnx,函數(shù)單調(diào)遞增,則g(x2)>g(x1),即QUOTE>QUOTE,所以x1f(x2)>x2f(x設(shè)h(x)=f(x)+x,所以h′(x)=lnx+2不是恒大于零,B錯(cuò)誤;f(x)=xlnx,所以f′(x)=lnx+1不是恒小于零,C錯(cuò)誤;lnx>-1,故f′(x)=lnx+1>0,函數(shù)單調(diào)遞增,故(x2-x1)(f(x2)-f(x1))=x1f(x1)+x2f(xx2f(x1)-x1f(x即x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1QUOTE=lnx2>QUOTE=lnx1,所以x1f(x2)>x2f(x即x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f12.已知函數(shù)f(x)=QUOTE,則下列結(jié)論正確的是 ()A.函數(shù)f(x)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)f(x)既存在極大值又存在微小值C.當(dāng)-e<k<0時(shí),方程f(x)=k有且只有兩個(gè)實(shí)根D.若x∈[t,+∞)時(shí),f(x)max=QUOTE,則t的最小值為2【解析】選ABC.A.f(x)=0?x2+x-1=0,解得x=QUOTE,所以A正確;f′(x)=-QUOTE=-QUOTE,當(dāng)f′(x)>0時(shí),-1<x<2,當(dāng)f′(x)<0時(shí),x<-1或x>2,(-∞,-1),(2,+∞)是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,(-1,2)是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,所以f(-1)是函數(shù)的微小值,f(2)是函數(shù)的極大值,所以B正確.C.當(dāng)x→+∞時(shí),y→0,依據(jù)B可知,函數(shù)的最小值是f(-1)=-e,再依據(jù)單調(diào)性可知,當(dāng)-e<k<0時(shí),方程f(x)=k有且只有兩個(gè)實(shí)根,所以C正確;f(x)在(-1,2)上單調(diào)遞增,又f(2)=QUOTE,x∈[-1,+∞)時(shí),f(x)max=QUOTE,所以D不正確.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.(2024·全國卷Ⅰ)曲線y=3(x2+x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為____________.

【解析】y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以,k=y′|x=0=3,所以,曲線y=3(x2+x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=3x,即3x-y=0.答案:3x-y=014.若函數(shù)f(x)=QUOTE的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】f′(x)=QUOTE′=a+QUOTE,由題意得,a+QUOTE≥0,對x∈(0,+∞)恒成立,所以a≥-QUOTE,在x∈(0,+∞)恒成立,所以a≥0.答案:a≥015.設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=QUOTE(x>0)上點(diǎn)P處的切線垂直,則P的坐標(biāo)為______.

【解析】y′=ex,曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k1=e0=1,設(shè)P(m,n),y=QUOTE(x>0)的導(dǎo)數(shù)y′=-QUOTE(x>0),曲線y=QUOTE(x>0)在點(diǎn)P處的切線斜率k2=-QUOTE(m>0),因?yàn)閮汕芯€垂直,所以k1k2=-1,所以m=1,n=1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).答案:(1,1)16.函數(shù)f(x)=lnQUOTE-ax在(2,3)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】f′(x)=QUOTEQUOTE′-a=QUOTE-a≥0在(2,3)上恒成立,即a≤QUOTEmin,所以QUOTE>QUOTE,所以a≤QUOTE.答案:a≤QUOTE四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知函數(shù)f(x)=QUOTE,g(x)=alnx,a∈R.若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交,且在交點(diǎn)處有相同的切線,求a的值和該切線方程.【解析】f′(x)=QUOTE,g′(x)=QUOTE(x>0),由已知得QUOTE解得a=QUOTE,x=e2,所以兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2,e),切線的斜率為k=f′(e2)=QUOTE,所以切線的方程為y-e=QUOTE(x-e2).18.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,f(x)的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6).(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=a(x-5)2+6lnx(x>0),所以f′(x)=2a(x-5)+QUOTE(x>0).令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以f(x)的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-16a=(6-8a)(x-1).因?yàn)榍芯€與y軸相交于點(diǎn)(0,6),所以6-16a=8a-6,所以a=QUOTE.(2)由(1)知,f(x)=QUOTE(x-5)2+6lnx(x>0),f′(x)=(x-5)+QUOTE=QUOTE(x>0).令f′(x)=0,得x=2或x=3.當(dāng)0<x<2或x>3時(shí),f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(0,2),(3,+∞)上為增函數(shù);當(dāng)2<x<3時(shí),f′(x)<0,f(x)在區(qū)間(2,3)上為減函數(shù).故f(x)在x=2處取得極大值f(2)=QUOTE+6ln2,在x=3處取得微小值f(3)=2+6ln3.19.(12分)(2024·北京高考)已知函數(shù)f(x)=12-x2.(1)求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程;(2)設(shè)曲線y=f(x)在(t,f(t))處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為S(t),求S(t)的最小值.【解析】(1)f(x)定義域?yàn)镽,f′(x)=-2x,設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),則k=f′(x0)=-2x0=-2,即x0=1,所以y0=f(x0)=f(1)=11,切點(diǎn)為(1,11),所以所求切線方程為y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(2)切線方程為y-12+t2=-2t(x-t),令x=0得y=t2+12,令y=0得x=QUOTE+QUOTE,所以S(t)=QUOTE(t2+12)|QUOTE+QUOTE|,t≠0,易知S(t)為偶函數(shù),當(dāng)t>0時(shí),S(t)=QUOTEt3+6t+QUOTE,S′(t)=QUOTE×QUOTE,令S′(t)=0得t=2,-2(舍),t(0,2)2(2,+∞)S′(t)-0+S(t)↘微小值↗所以S(t)有微小值也是最小值S(2)=32,又S(t)為偶函數(shù),所以當(dāng)t=±2時(shí),S(t)有最小值32.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)探討f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.【解析】(1)由于fQUOTE=ae2x+QUOTEex-x,故f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1),①當(dāng)a≤0時(shí),aex-1<0,2ex+1>0.從而f′QUOTE<0恒成立.fQUOTE在R上單調(diào)遞減.②當(dāng)a>0時(shí),令f′QUOTE=0,從而aex-1=0,得x=-lna.x-lnaf′QUOTE-0+fQUOTE單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增.(2)由(1)知,當(dāng)a≤0時(shí),fQUOTE在R上單調(diào)遞減,故fQUOTE在R上至多一個(gè)零點(diǎn),不滿意條件.當(dāng)a>0時(shí),f(x)min=fQUOTE=1-QUOTE+lna.令gQUOTE=1-QUOTE+lnaQUOTE,則g′QUOTE=QUOTE+QUOTE>0.從而gQUOTE在QUOTE上單調(diào)遞增,而gQUOTE=0.故當(dāng)0<a<1時(shí),gQUOTE<0;當(dāng)a=1時(shí)gQUOTE=0;當(dāng)a>1時(shí)gQUOTE>0.若a>1,則f(x)min=1-QUOTE+lna=gQUOTE>0,故fQUOTE>0恒成立,從而fQUOTE無零點(diǎn),不滿意條件.若a=1,則f(x)min=1-QUOTE+lna=0,故fQUOTE=0僅有一個(gè)實(shí)根x=-lna=0,不滿意條件.若0<a<1,則f(x)min=1-QUOTE+lna<0,留意到-lna>0.fQUOTE=QUOTE+QUOTE+1-QUOTE>0.故fQUOTE在(-1,-lna)上有一個(gè)實(shí)根,而又lnQUOTE>lnQUOTE=-lna,且fQUOTE=QUOTE-lnQUOTE=QUOTE·(3-a+a-2)-lnQUOTE=QUOTE-lnQUOTE>0.故fQUOTE在QUOTE上有一個(gè)實(shí)根.又fQUOTE在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)在R上至多兩個(gè)實(shí)根.又fQUOTE在QUOTE及QUOTE上均至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根,故fQUOTE在R上恰有兩個(gè)實(shí)根.綜上,a的取值范圍為QUOTE.21.(12分)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為3元,并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費(fèi),預(yù)料當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9≤x≤11)時(shí),一年的銷售量為(12-x)2萬件.(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí),分公司一年的利潤L最大,并求出L的最大值Q(a).【解析】(1)分公司一年的利潤L(萬元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11].(2)L′=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x),令L′=0得x=6+QUOTEa或x=12(不合題意,舍去).因?yàn)?≤a≤5,所以8≤6+QUOTEa≤QUOTE.在x=6+QUOTEa兩側(cè)L′的值由正值變負(fù)值,所以①當(dāng)8≤6+QUOTEa<9,即3≤a<QUOTE時(shí),Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).②當(dāng)9≤6+QUOTEa≤QUOTE,即QUOTE≤a≤5時(shí),Lmax=L6+QUOTEa=6+QU