2023-2024學(xué)年廣西南寧三中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷 （含解析）

2023-2024學(xué)年廣西南寧三中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i3（1+i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知全集U與集合A，B的關(guān)系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A．A∩?UB B．A∪?UB C．B∩?UA D．B∪?UA3．已知向量滿足，且與的夾角為，則＝（）A．6 B．10 C．15 D．214．近年來，為了提升青少年的體質(zhì)，教育部出臺(tái)了各類相關(guān)文件，各地區(qū)學(xué)校也采取了相應(yīng)的措施，適當(dāng)增加在校學(xué)生的體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間；現(xiàn)調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生（包含初中生與高中生）對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：喜歡增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不喜歡增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間初中生16040高中生14060附：，P（χ2≥k）0.100.050.01k2.7063.8416.635以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．有95%的把握認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān) B．沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān) C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān) D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度無關(guān)5．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線E：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)，A為E上的一點(diǎn)，AF垂直于y軸，B為y軸上一點(diǎn)，且∠BAO＝90°，若，則p＝（）A． B． C． D．6．已知，則sinαsinβ＝（）A． B． C． D．7．如圖，在三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，則AC與平面BCC1B1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x﹣y﹣1＝0的最大距離為（）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)符合題目要求，全部選對(duì)得6分。有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得部分分）（多選）9．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中）的部分圖象如圖所示，則（）A． B．ω＝4 C．f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．f（x）在上的值域?yàn)椋ǘ噙x）10．已知圓C：（x﹣1）2+（y+2）2＝16，直線l：mx+y+2m+1＝0，下列說法正確的是（）A．若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則 B．若直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|的最小值為 C．若P（6，0），動(dòng)點(diǎn)Q在圓C上，則的最大值為30 D．若過直線x+2y﹣9＝0上任意一點(diǎn)E作圓C的切線，切點(diǎn)為F，則|EF|的最小值為（多選）11．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I（4，1），直線PF1的斜率為 B．若△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I（4，1），△PF1F2的外接圓半徑為 C．若且PF1⊥PF2，則 D．若且，則|PF1|≥5|PF2|三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為．13．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1+an＝3n+2，則其前9項(xiàng)和S9＝．14．已知函數(shù)f（x）＝2[sinx]+3[cosx]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)．如：[1]＝1，[0.5]＝0，[﹣0.5]＝﹣1，以下三個(gè)結(jié)論：①；②集合{y∈R|y＝f（x），x∈R}的元素個(gè)數(shù)為9；③f（x）＞x+a對(duì)任意x∈[0，2π]都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，a2與a8的等差中項(xiàng)為5，且a4a6＝16．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前20項(xiàng)和T20．16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°．（1）求證：直線BD⊥平面PAC；（2）若點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn)，求二面角C﹣MB﹣A的正弦值．17．據(jù)教育部統(tǒng)計(jì)，2024屆全國高校畢業(yè)生規(guī)模預(yù)計(jì)達(dá)1179萬，同比增加21萬，崗位競(jìng)爭(zhēng)激烈．為落實(shí)國務(wù)院關(guān)于高校畢業(yè)生就業(yè)工作的決策部署，搭建高校畢業(yè)生和用人單位求職招聘的雙向?qū)油ǖ?，促進(jìn)高校畢業(yè)生高質(zhì)量充分就業(yè)，某市人社局聯(lián)合市內(nèi)高校開展2024屆高校畢業(yè)生就業(yè)服務(wù)活動(dòng)系列招聘會(huì)．參加招聘會(huì)的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司應(yīng)聘．假設(shè)小王通過某公司的專業(yè)測(cè)試就能與該公司簽約，享受對(duì)應(yīng)的薪資待遇，且不去下一家公司應(yīng)聘，或者放棄簽約并參加下一家公司的應(yīng)聘；若未通過測(cè)試，則不能簽約，也不再選擇下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分別為10萬元、12萬元、18萬元，小王通過甲、乙、丙三家公司測(cè)試的概率分別為，，，通過甲公司的測(cè)試后選擇簽約的概率為，通過乙公司的測(cè)試后選擇簽約的概率為，通過丙公司的測(cè)試后一定簽約．每次是否通過測(cè)試、是否簽約均互不影響．（1）求小王通過甲公司的測(cè)試但未與任何公司簽約的概率；（2）設(shè)小王獲得的年薪為X（單位：萬元），求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．18．（17分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2，g（x）＝lnx．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，①求函數(shù)F（x）＝g（x）﹣f（x）+x的單調(diào)區(qū)間；②對(duì)于?x∈[1，+∞），xg（x）+f（x）≥（m+1）x﹣m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）當(dāng)a＞0時(shí)，曲線y＝f（x）與y＝g（x）有兩條公切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．（17分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在C上，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程．（2）設(shè)橢圓C上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0），若∠F1MF2為鈍角，求橫坐標(biāo)x0的取值范圍．（3）過點(diǎn)B（5，2）的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)D，E（D，E與A不重合），直線AD，AE分別與直線x＝5交于P，Q兩點(diǎn)，求|BP|?|BQ|的值．

參考答案一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i3（1+i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．解：復(fù)數(shù)z＝i3（1+i）＝﹣i（1+i）＝﹣i+1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣1）位于第四象限．故選：D．2．已知全集U與集合A，B的關(guān)系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A．A∩?UB B．A∪?UB C．B∩?UA D．B∪?UA【分析】利用韋恩圖表示的集合運(yùn)算，直接寫出結(jié)果即可．解：觀察韋恩圖知，陰影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合為A∩?UB．故選：A．3．已知向量滿足，且與的夾角為，則＝（）A．6 B．10 C．15 D．21【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義進(jìn)行運(yùn)算即可．解：由，且與的夾角為，所以＝．故選：C．4．近年來，為了提升青少年的體質(zhì)，教育部出臺(tái)了各類相關(guān)文件，各地區(qū)學(xué)校也采取了相應(yīng)的措施，適當(dāng)增加在校學(xué)生的體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間；現(xiàn)調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生（包含初中生與高中生）對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：喜歡增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不喜歡增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間初中生16040高中生14060附：，P（χ2≥k）0.100.050.01k2.7063.8416.635以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．有95%的把握認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān) B．沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān) C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān) D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度無關(guān)【分析】補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，再與臨界值比較即可．解：補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如下：喜歡增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不喜歡增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間總計(jì)初中生16040200高中生14060200總計(jì)300100400零假設(shè)H0：不能認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān)聯(lián)，則，所以沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān)，故B正確；又因?yàn)棣?≈5.333＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān)，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān)，故A正確，C正確，D錯(cuò)誤．故選：D．5．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線E：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)，A為E上的一點(diǎn)，AF垂直于y軸，B為y軸上一點(diǎn)，且∠BAO＝90°，若，則p＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)拋物線性質(zhì)以及幾何關(guān)系可得|AF|2＝|OF||BF|，從而可解．解：因?yàn)镕為拋物線E：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)，A為E上的一點(diǎn)，AF垂直于y軸，B為y軸上一點(diǎn)，且∠BAO＝90°，則|AF|2＝|OF||BF|，又∵，∴，解得．故選：B．6．已知，則sinαsinβ＝（）A． B． C． D．【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出三角函數(shù)的值．解：因?yàn)椋?，由于；所以．故選：C．7．如圖，在三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，則AC與平面BCC1B1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【分析】將棱臺(tái)補(bǔ)全為棱錐D﹣ABC，設(shè)點(diǎn)A到面BCC1B1的距離為h，由VD﹣ABC＝VA﹣BCD，可得h的值，設(shè)AC與平面BCC1B1所成角為θ，則sinθ＝，進(jìn)而求解即可．解：將棱臺(tái)補(bǔ)全為棱錐D﹣ABC，如圖所示，由∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，得，由AA1⊥平面ABC，AB，AC?平面ABC，得AA1⊥AB，AA1⊥AC，所以，故BC2+BD2＝CD2，所以，設(shè)點(diǎn)A到面BCC1B1的距離為h，因?yàn)閂D﹣ABC＝VA﹣BCD，所以，解得，設(shè)AC與平面BCC1B1所成角為，則，即，所以cosθ＝cos＝．故選：B．8．已知點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x﹣y﹣1＝0的最大距離為（）A． B． C． D．【分析】畫出點(diǎn)P表示的平面區(qū)域，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案．解：由，得0＜x≤1，又，當(dāng)y＜0時(shí)，，當(dāng)y≥0時(shí)，，令的定義域?yàn)椋?，+∞），令，解得：，易知當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，所以F（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，函數(shù)與圖象如圖，由此可知：可知點(diǎn)P位于圖中陰影部分區(qū)域，則點(diǎn)P到直線x﹣y﹣1＝0最大距離為函數(shù)上切線斜率為1的點(diǎn)到直線x﹣y﹣1＝0的距離，由，設(shè)，得，則點(diǎn)到x﹣y﹣1＝0的距離為．故選：B．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)符合題目要求，全部選對(duì)得6分。有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得部分分）（多選）9．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中）的部分圖象如圖所示，則（）A． B．ω＝4 C．f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．f（x）在上的值域?yàn)椤痉治觥扛鶕?jù)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求出A、φ和ω的值，寫出函數(shù)的解析式，再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．解：由函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象知，A＝3，f（0）＝3sinφ＝﹣，解得sinφ＝﹣，因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝﹣，選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以，解得ω?+48k（k∈Z）；又因?yàn)?，所?＜ω＜24，當(dāng)k＝1時(shí)，ω＝8，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以令，解得，所以f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，選項(xiàng)C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以f（x）在上的值域?yàn)閇﹣，3]，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．（多選）10．已知圓C：（x﹣1）2+（y+2）2＝16，直線l：mx+y+2m+1＝0，下列說法正確的是（）A．若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則 B．若直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|的最小值為 C．若P（6，0），動(dòng)點(diǎn)Q在圓C上，則的最大值為30 D．若過直線x+2y﹣9＝0上任意一點(diǎn)E作圓C的切線，切點(diǎn)為F，則|EF|的最小值為【分析】由圓心在直線上代入計(jì)算可判斷A；由圓的弦長公式計(jì)算可判斷B；由投影向量的定義和數(shù)量積的幾何意義可判斷C；由點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理計(jì)算即可判斷D．解：對(duì)于A，若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則圓心C在直線l上，將（1，﹣2）代入方程mx+y+2m+1＝0，解得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)A（﹣2，﹣1），當(dāng)直線l與AC垂直時(shí)，弦長|MN|最短，此時(shí)圓心C到直線l的距離為，所以弦長|MN|為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于在方向上的投影的最大值為5，所以的最大值為6×5＝30，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)切線長|EF|最小時(shí)，|EC|最小，此時(shí)EC與直線l垂直，|EC|為點(diǎn)C到直線l的距離，為，由勾股定理得，故D正確．故選：ACD．（多選）11．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I（4，1），直線PF1的斜率為 B．若△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I（4，1），△PF1F2的外接圓半徑為 C．若且PF1⊥PF2，則 D．若且，則|PF1|≥5|PF2|【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)，確定內(nèi)切圓的圓心在x軸的射影為雙曲線的頂點(diǎn)，再結(jié)合二倍角和正切公式，即可判斷A；根據(jù)A的結(jié)果判斷△PF1F2是直角三角形，再結(jié)合正弦定理判斷B；由斜率結(jié)合三角形的正切公式，表示|PF1|和|PF2|，再根據(jù)雙曲線的定義和離心率公式，即可判斷C；由正切值求cos∠PF1F2＝，再根據(jù)余弦定理求|PF1|和|PF2|，結(jié)合離心率公式，即可判斷D．解：如圖1，由條件知點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，設(shè)圓I分別與△PF1F2的三邊切于點(diǎn)M，N，A，則|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1A|，|F2N|＝|F2A|，∵|PF1|﹣|PF2|＝|F1M|﹣|F2N|＝|AF1|﹣|F2A|＝（xA+c）﹣（c﹣xA）＝2xA＝2a，∴a＝xA＝4，得F1（﹣5，0），F(xiàn)2（5，0），連接IF1，IF2，IA，則tan∠IF1A＝＝，∴＝tan∠PF1A＝tan2∠IF1A＝＝，故A正確；同理，tan∠IF2A＝＝1，△PF1F2是直角三角形，sin∠F1PF2＝，由正弦定理得＝2R，解得R＝，故B錯(cuò)誤；若PF1⊥PF2，則|PF1|＝|F1F2|sin∠PF2O＝2b，|PF2|＝|F1F2|cos∠PF2O＝2a，且|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，∴，∴e＝＝＝，故C正確；∵＝﹣，∴cos∠PF2F1＝，解得|PF2|＝，|PF1|＝＝≥0，∴，∴|PF1|≥5|PF2|，故D正確．故選：ACD．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為30．【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求解即可．解：展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)6﹣2r＝2時(shí)，r＝2，所以，即x2項(xiàng)的系數(shù)為30．故答案為：30．13．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1+an＝3n+2，則其前9項(xiàng)和S9＝69．【分析】由數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的求和公式，可得所求和．解：由a1＝1，an+1+an＝3n+2，可得S9＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a6+a7）+（a8+a9）＝1+（3×2+2）+（3×4+2）+（3×6+2）+（3×8+2）＝1+3×20+8＝69．故答案為：69．14．已知函數(shù)f（x）＝2[sinx]+3[cosx]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)．如：[1]＝1，[0.5]＝0，[﹣0.5]＝﹣1，以下三個(gè)結(jié)論：①；②集合{y∈R|y＝f（x），x∈R}的元素個(gè)數(shù)為9；③f（x）＞x+a對(duì)任意x∈[0，2π]都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③．【分析】利用給定定義直接判斷①；當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求出每個(gè)元素判斷②；舉反例判斷③；利用題意分離參數(shù)，得到a＜g（x）min，再結(jié)合給定定義求解g（x）min，最后得到參數(shù)范圍即可．解：對(duì)于①，，故①正確；對(duì)于②，由周期性可知，f（x）＝2[sinx]+3[cosx]的周期為2π，故討論x∈[0，2π]即可，易得當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）＝20+31＝4，當(dāng)時(shí)，f（x）＝21+30＝3，當(dāng)x＝π時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x＝2π時(shí)，f（x）＝20+31＝4，當(dāng)時(shí)，f（x）＝26+30＝2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故該集合元素個(gè)數(shù)為6，故②錯(cuò)誤．對(duì)于③，當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）﹣x＝4﹣0＝4，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x＝π時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x＝2π時(shí)，f（x）﹣x＝4﹣2π，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而f（x）＞x+a對(duì)任意x∈[0，2π]都成立，故a＜f（x）﹣x恒成立，令g（x）＝f（x）﹣x，而，所以，故③正確．故答案為：①③．四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，a2與a8的等差中項(xiàng)為5，且a4a6＝16．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前20項(xiàng)和T20．【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，解方程可得公差，進(jìn)而得到所求；（2）由等差數(shù)列的求和公式和數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和．解：（1）因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，且a2與a3的等差中項(xiàng)為5，所以a2+a8＝2×5＝2a5，解得a5＝5．因?yàn)閍4a6＝16，所以（5﹣d）（5+d）＝16，解得d＝±3，因?yàn)閐＞0，所以d＝3，所以an＝a5+（n﹣5）d＝5+3（n﹣5）＝3n﹣10，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n﹣10；（2），即，即所以T20＝b1+b2+b3+b4+?+b19+b20＝（b1+b3+...+b19）+（b2+b4+...+b20）＝（﹣7﹣1+...+47）+（﹣+﹣+...+﹣）＝×10×（﹣7+47）+（﹣﹣）＝200﹣＝．16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°．（1）求證：直線BD⊥平面PAC；（2）若點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn)，求二面角C﹣MB﹣A的正弦值．【分析】（1）結(jié)合已知根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面MBC和平面MBA的法向量，利用向量夾角公式即可求解．【解答】解（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD，即BD⊥PA，又因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA∩AC＝A，AC，PA?平面PAC，所以直線BD⊥平面PAC；（2）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AB＝AD＝2，又∠BAD＝60°，所以△BAD為等邊三角形，則BD＝2，在△ADC中，∠ADC＝120°，AD＝DC＝2，則，設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O且平行于AP的直線為z軸，以AC，BC所在的直線為y軸和x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面MBC的法向量為，則，即，即，令z1＝1，則，設(shè)平面MBA的法向量為，則，即，即，令z2＝1，則，設(shè)二面角C﹣MB﹣A的平面角為α，，所以，故二面角C﹣MB﹣A的正弦值．17．據(jù)教育部統(tǒng)計(jì)，2024屆全國高校畢業(yè)生規(guī)模預(yù)計(jì)達(dá)1179萬，同比增加21萬，崗位競(jìng)爭(zhēng)激烈．為落實(shí)國務(wù)院關(guān)于高校畢業(yè)生就業(yè)工作的決策部署，搭建高校畢業(yè)生和用人單位求職招聘的雙向?qū)油ǖ溃龠M(jìn)高校畢業(yè)生高質(zhì)量充分就業(yè)，某市人社局聯(lián)合市內(nèi)高校開展2024屆高校畢業(yè)生就業(yè)服務(wù)活動(dòng)系列招聘會(huì)．參加招聘會(huì)的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司應(yīng)聘．假設(shè)小王通過某公司的專業(yè)測(cè)試就能與該公司簽約，享受對(duì)應(yīng)的薪資待遇，且不去下一家公司應(yīng)聘，或者放棄簽約并參加下一家公司的應(yīng)聘；若未通過測(cè)試，則不能簽約，也不再選擇下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分別為10萬元、12萬元、18萬元，小王通過甲、乙、丙三家公司測(cè)試的概率分別為，，，通過甲公司的測(cè)試后選擇簽約的概率為，通過乙公司的測(cè)試后選擇簽約的概率為，通過丙公司的測(cè)試后一定簽約．每次是否通過測(cè)試、是否簽約均互不影響．（1）求小王通過甲公司的測(cè)試但未與任何公司簽約的概率；（2）設(shè)小王獲得的年薪為X（單位：萬元），求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．【分析】（1）記事件A：小王通過甲公司的測(cè)試，但未通過乙公司的測(cè)試，記事件B：小王通過甲、乙公司的測(cè)試，但未通過丙公司的測(cè)試，根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意X的可能取值為0，10，12，18，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）記事件A：小王通過甲公司的測(cè)試，但未通過乙公司的測(cè)試，記事件B：小王通過甲、乙公司的測(cè)試，但未通過丙公司的測(cè)試，則，，顯然A與B互斥，所以小王通過甲公司的測(cè)試但未與任何公司簽約的概率．（2）依題意X的可能取值為0，10，12，18，則，，，，則X的分布列如下表：X0101218P故．18．（17分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2，g（x）＝lnx．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，①求函數(shù)F（x）＝g（x）﹣f（x）+x的單調(diào)區(qū)間；②對(duì)于?x∈[1，+∞），xg（x）+f（x）≥（m+1）x﹣m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）當(dāng)a＞0時(shí)，曲線y＝f（x）與y＝g（x）有兩條公切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）①把a(bǔ)＝1代入，對(duì)F（x）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解；②由已知不等式特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，結(jié)合恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化及導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系即可求解；（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義在切線斜率求解中的應(yīng)用及函數(shù)性質(zhì)在零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解中的應(yīng)用即可求解．解：（1）①當(dāng)a＝1時(shí)，F(xiàn)（x）＝g（x）﹣f（x）+x＝lnx﹣x2+x，，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）的單調(diào)遞增區(qū)為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；②由xg