第十冊(cè)-總復(fù)習(xí)數(shù)與代數(shù)

八總復(fù)習(xí)1數(shù)與代數(shù)重點(diǎn)知識(shí)歸納具體內(nèi)容重點(diǎn)知識(shí)因數(shù)和倍數(shù)1.因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果a×b=c(a，b，c、都不為0的整數(shù))，那么a、b就是c的因數(shù)，c就是a、b的倍數(shù)。2.因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系：因數(shù)和倍數(shù)是兩個(gè)不同的概念，但又是相互依存，不能單獨(dú)存在。3.找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法：(1)列乘法算式；(2)列除法算式。4.找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法：就是用這個(gè)數(shù)，依次與非零自然數(shù)相乘，所得的數(shù)就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。5.2的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)。6.奇數(shù)、偶數(shù)的意義：在自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)；不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。7.5的倍數(shù)的特征：個(gè)位是0或5的數(shù)，都是5的倍數(shù)。8.3的倍數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。9.質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義：一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(也叫素?cái)?shù))；一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身，還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。10.分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，就是分解質(zhì)因數(shù)。分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)1.單位“1”的意義：一個(gè)物體、一些物體都可以看作一個(gè)整體，一個(gè)整體可以用自然數(shù)1來(lái)表示，通常把它叫做單位“1”。2.分?jǐn)?shù)的意義：把單位“1”平均分成若干份，這樣的一份或者幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。3.分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)單位。4.分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：被除數(shù)÷除數(shù)=，字母關(guān)系式為:a÷b=(b≠0)5.真分?jǐn)?shù)的意義：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)都小于1。6.假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)大于1或等于1。7.帶分?jǐn)?shù)：由整數(shù)(不包括0)和真分?jǐn)?shù)合成的分?jǐn)?shù)叫做帶分?jǐn)?shù)。8.假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)和帶分?jǐn)?shù)的方法：用分子除以分母。當(dāng)分子是分母倍數(shù)時(shí)，能化成整數(shù)，商就是這個(gè)整數(shù)；分子不是分母倍數(shù)，能化成帶分?jǐn)?shù)，商是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分，余數(shù)是分?jǐn)?shù)部分的分子，分母不變。9.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者同時(shí)除以一個(gè)數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變，這就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。10.公因數(shù)和最大公因數(shù)，幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做它們的最大公因數(shù)。11.互質(zhì)數(shù)的意義：公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。12.求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的方法：(1)列舉法；(2)先找出兩個(gè)數(shù)中較小數(shù)的因數(shù)，從中找出另一個(gè)數(shù)的因數(shù)，再找出其中最大的一個(gè)；(3)分解質(zhì)因數(shù)法；(4)短除法。13.約分：把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。14.最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：分子和分母只有公因數(shù)l的分?jǐn)?shù)叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。15.約分的方法：(1)逐步約分法；(2)一次約分法。16.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的意義：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)數(shù)，叫做最小公倍數(shù)。17.求兩個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的方法：(1)列舉法；(2)先找較大數(shù)倍數(shù)，圈出較小數(shù)的倍數(shù)，找出最小的一個(gè)；(3)分解質(zhì)因數(shù)法；(4)短除法。18.通分：把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。19.小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：有限小數(shù)可以直接寫(xiě)成分母是10，100，1000，…的分?jǐn)?shù)，原來(lái)有幾位小數(shù)，就在1后面寫(xiě)幾個(gè)零作分母，把原來(lái)的小數(shù)點(diǎn)去掉作分子，能約分的要約分。20.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的方法：(1)分母是10，100，1000，…的分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，可以直接去掉分母，看分母l后面有幾個(gè)零，就在分子中從最后一位起向左數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。(2)不是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的化成小數(shù)，用分子除以分母，除不盡時(shí)，按“四舍五入”法保留幾位小數(shù)。分?jǐn)?shù)的加法和減法1.分?jǐn)?shù)加、減法的意義：分?jǐn)?shù)加、減法的意義與整數(shù)加、減法的意義相同。2.分?jǐn)?shù)加、減法的計(jì)算方法：分母不變，分子相加減。3.同分母分?jǐn)?shù)連加、連減的計(jì)算方法：同分母分?jǐn)?shù)連加，從左向右計(jì)算，也可以直接把加數(shù)的分子連加起來(lái)，分母不變。同分母分?jǐn)?shù)連減，可以從左向右依次計(jì)算，也可以直接用被減數(shù)的分子連續(xù)減去兩個(gè)減數(shù)的分子.分母不變。4.異分母分?jǐn)?shù)加、減法的計(jì)算方法：先通分，化成同分母分?jǐn)?shù)，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加、減法的法則計(jì)算。5.分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的順序：與整數(shù)加減混合運(yùn)算的順序相同。沒(méi)有括號(hào)的，按照從左往右的順序計(jì)算；有括號(hào)的，先算括號(hào)里的，然后算括號(hào)外面的。6.分?jǐn)?shù)加法的簡(jiǎn)算：整數(shù)加法的運(yùn)算定律在分?jǐn)?shù)加法中同樣適用。加法結(jié)合律和加法交換律，這兩個(gè)運(yùn)算定律并不限制加數(shù)的個(gè)數(shù)。數(shù)學(xué)廣角找次品的最優(yōu)方法：把待測(cè)物體分成3份，要分得盡量平均，不能夠平均分的，也應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1?？键c(diǎn)題型精講考點(diǎn)一質(zhì)數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)的意義題型1判斷：所有的合數(shù)都是偶數(shù)，所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。分析要判斷此題是否正確，要理解這四個(gè)概念的含義。奇數(shù)和偶數(shù)是從是否是2的倍數(shù)來(lái)定義的，是2的倍數(shù)的數(shù)就是偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)就是奇數(shù)。而質(zhì)數(shù)和合數(shù)是從一個(gè)數(shù)有因數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)區(qū)分的。質(zhì)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，而合數(shù)至少有3個(gè)因數(shù)。在相互判斷過(guò)程中，需要特別注意的是1和2這兩個(gè)數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，2雖然是偶數(shù)，但它不是合數(shù)，而是質(zhì)數(shù)，2是唯一的偶質(zhì)數(shù)。合數(shù)并不都是偶數(shù)，合數(shù)中也有奇數(shù)，如9，15，21。因此上面的說(shuō)法是不對(duì)的。解答(×)題型2選擇兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積一定是()。A.偶數(shù)B.奇數(shù)C.質(zhì)數(shù)D.合數(shù)分析要對(duì)此類題做出正確的選擇，可以舉實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。如：5×3＝15，15是合數(shù)，也是奇數(shù)；2×7＝14，14是合數(shù)，也是偶數(shù)；11×13＝143；143是合數(shù)，也是奇數(shù)……從舉例中可以看到，兩個(gè)質(zhì)數(shù)相乘，一定是合數(shù)。也可以從意義上進(jìn)行判斷。質(zhì)數(shù)乘質(zhì)數(shù)，積中所含因數(shù)至少是4個(gè)，即1、兩個(gè)質(zhì)數(shù)積本身、兩個(gè)質(zhì)數(shù)，因此兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積一定是合數(shù)，有可能是偶數(shù)，也有可能是奇數(shù)，但一定不能是質(zhì)數(shù)?？键c(diǎn)二2、5、3的倍數(shù)的特征題型1請(qǐng)把下面的數(shù)填在相應(yīng)的蘋(píng)果里。115573069236087359024分析此題綜合性很強(qiáng)。要想做出正確的判斷，要明確2、5、3倍數(shù)的特征，2的倍數(shù)：個(gè)位是0，2，4，6，8；5的倍數(shù)：個(gè)位是0或5；3的倍數(shù)：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)。綜上所述，同時(shí)是2、3倍數(shù)的數(shù)，個(gè)位一定是0、2、4、6、8，并且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)；同理，同時(shí)是2、5倍數(shù)的數(shù)，個(gè)位一定是0；同時(shí)是2、5、3倍數(shù)的數(shù)，個(gè)位一定是0，并且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)。按上面的方法，就能做出正確判斷。解答題型28□3□既有因數(shù)2，又是5的倍數(shù)，還有因數(shù)3，這個(gè)數(shù)是多少?分析這是同時(shí)是2、5、3倍數(shù)的數(shù)的特征在實(shí)際生活中的應(yīng)用，此類型題首先確定個(gè)位，然后根據(jù)特征確定百位。個(gè)位應(yīng)填0，要有因數(shù)3，這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位的數(shù)的和就應(yīng)是3的倍數(shù)。即8+□3+0=11+□?！蹩梢蕴?，4，7。解答這個(gè)數(shù)可臺(tái)巳是8130或8430或8730。提示一般此類型題的答案卻不是唯一的?？键c(diǎn)三分?jǐn)?shù)的意義和基本性質(zhì)題型1填空。(1)噸可以表示()，也表示()。(2)9噸煤，把它平均分成10份，每份是()，每份占這些煤的()。分析(1)中噸是一個(gè)具體的數(shù)量，從分?jǐn)?shù)意義上說(shuō)，它表示把1噸平均分成10份，表示這樣9份的數(shù)；從分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系上講，也表示把9噸平均分成10份，表示這樣的1份。(2)中第一個(gè)空求的是一個(gè)具體的數(shù)量，根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系應(yīng)用“總數(shù)量除以總份數(shù)等于每份數(shù)”來(lái)求，列式為9÷10，結(jié)果有單位名稱。而第二個(gè)空是表示每份數(shù)與總量的關(guān)系，把9噸煤看作單位“1”，把單位“1”平均分成10份，每份占單位“1”的。解答(1)噸可以表示(把1噸平均分成10份，表示這樣9份的數(shù))，也表示(把9噸平均分成10份，表示1份的數(shù)。)(2)9噸煤，把它平均分成10份，每份是(噸)，每份占這些煤的()。題型2的分子、分母同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，分?jǐn)?shù)的大小有什么變化?如果分子擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，分母不變，分?jǐn)?shù)的大小有什么變化?如果分子加上8，分母應(yīng)怎樣變化，分?jǐn)?shù)的大小才不變?分析分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是分子、分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)(0除外)分?jǐn)?shù)的大小才不變，的分子、分母同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，符合分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)的大小不變。如果分子擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，而分母9不變，分子與分母并不是同時(shí)擴(kuò)大，根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可得分?jǐn)?shù)值擴(kuò)大到原來(lái)的2倍。分子加上8，分子變成了12，由4到12，分子擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，要想使分?jǐn)?shù)大小不變，分母也應(yīng)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍；分母擴(kuò)大到原來(lái)的3倍是27，分母加18也可使分?jǐn)?shù)大小不變；分母擴(kuò)大到原來(lái)的3倍也可以說(shuō)分母增加2倍。解答的分子、分母同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，的分?jǐn)?shù)的大小不變；分子擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，分母不變，分?jǐn)?shù)就擴(kuò)大到原來(lái)的2倍；的分子加上8，要想使分?jǐn)?shù)大小不變，分母加上18，或者分母擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，分母也可以增加2倍?？键c(diǎn)四真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)的特征題型(a為整數(shù))，a取什么數(shù)時(shí)，為真分?jǐn)?shù)；a取什么數(shù)時(shí)，為假分?jǐn)?shù)；a取什么時(shí)，為最小的帶分?jǐn)?shù)？分析解答此題關(guān)鍵是要弄明白真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)的意義和特征。真分?jǐn)?shù)的分子小于分母，真分?jǐn)?shù)值小于1；假分?jǐn)?shù)的分子大于或等于分母，假分?jǐn)?shù)值大于或等于1；帶分?jǐn)?shù)是整數(shù)和真分?jǐn)?shù)組合而成，帶分?jǐn)?shù)值大于1。當(dāng)a+6小于28時(shí)，為真分?jǐn)?shù)，a應(yīng)取0到21這22個(gè)整數(shù)；當(dāng)a+6大于或等于28時(shí)，為假分?jǐn)?shù)，a應(yīng)取大于或等于22的任意整數(shù)；是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)有整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分，所以是大于1的假分?jǐn)?shù)，又因?yàn)榍蟮氖亲钚Х謹(jǐn)?shù)，分子應(yīng)比分母大1，a+6應(yīng)等于29，所以a為23。解答當(dāng)0≤a≤21時(shí)，為真分?jǐn)?shù)；a≥22≥22時(shí)，為假分?jǐn)?shù)；當(dāng)a＝23時(shí)，為最小的帶分?jǐn)?shù)?？键c(diǎn)五約分、通分的意義和方法題型按要求解題。(1)把約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。(2)把和通分。分析(1)(1)約分有兩種方法：逐步約分和一次約分。如果不能口算出分子和分母的最大公因數(shù)是多少，可以用逐步約分法，用分子、分母所含的公因數(shù)去除分子、芬母，直到分子、分母只有公因數(shù)1。如果能口算出分子，分母的最大公因數(shù)，直接用最大公因數(shù)去除分?jǐn)?shù)的分子和分母。的分子、分母最大公因數(shù)是9，直接用9去除。(2)通分是找出異分母分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，用最小公倍數(shù)作公分母，把異分母分?jǐn)?shù)化成同分母分?jǐn)?shù)。24和36的最小公倍數(shù)是72，把和化成分母是72的分?jǐn)?shù)?；煞帜甘?2的分?jǐn)?shù)，分母應(yīng)乘3，分子也應(yīng)乘3；化成分母是72的分?jǐn)?shù)，分母應(yīng)乘2，分子也應(yīng)乘2。解答(2)和考點(diǎn)六最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的意義和求法題型求12和18的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。分析兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)中最大的一個(gè)；最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)中最小的一個(gè)。求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法不止一種，有列舉法、短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、擴(kuò)大和縮小倍數(shù)法等等。一般情況下，兩個(gè)數(shù)較小，用列舉法就可以很快求出最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)，而兩個(gè)數(shù)較大，用短除法和分解質(zhì)因數(shù)法較簡(jiǎn)單。用短除法求最大公因數(shù)時(shí)，只是把所有的除數(shù)相乘，而最小公倍數(shù)需要把除數(shù)和商相乘。用分解質(zhì)因數(shù)法求最尢公因數(shù)，是把兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)各取1個(gè)相乘；1而求最小公倍數(shù)是相同的質(zhì)因數(shù)各取1個(gè)，獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)都取出來(lái)。把它們連乘起來(lái)，這也是求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的不同之處，從而也能得出最大公因數(shù)乘最小公倍數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。當(dāng)兩個(gè)數(shù)只有公因數(shù)1時(shí)，直接就可得出最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的乘積。顯然12和18不屬于這種情況，可以用上面所說(shuō)的方法求出答案。解答方法一：短除法12和18的最大公因數(shù)是：2×3＝6；最小公倍數(shù)是：2×3×2×3＝36。方法二：分解質(zhì)因數(shù)法12和18的最大公因數(shù)是：2×3＝6；最小公倍數(shù)是：2×3×2×3＝36。方法三：列舉法(1)12和18的最大公因數(shù)是6。12和18的最小公倍數(shù)是36。方法四：(1)12的因數(shù)有：1，2；3，4，6，12。12的因數(shù)中，其中