數(shù)學(xué)-湖南省長沙市六校2025屆高三上學(xué)期八月開學(xué)聯(lián)合檢測試題和解析

1．已知集合，M∩N=() 5．已知圓錐的母線為·i5，側(cè)面展開所成扇形的圓心角為則此圓錐體積為()6．已知函數(shù)x≤1,在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為()7．將函數(shù)=2sin的圖象向左平移個單位長度后，再把圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)h(x)的圖象，若f(x)與h(x)的圖象關(guān)于x軸對稱，則f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為()8．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x)+f(y)=f(x+y)-2xy+2,f(1)=2，則下列結(jié)論正確的是()A．f(4)=12B．方程f(x)=x有解C．是偶函數(shù)D．是偶函數(shù)9．若隨機變量X服從標準正態(tài)分布，P(X>a)=0.3，則()10．已知函數(shù)f(x)=x3+x+1，則()A．f(x)有兩個極值點B．f(x)有一個零點C．點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心D．直線y=2x是曲線y=f(x)的切線11．“臉譜”是戲曲舞臺演出時的化妝造型藝術(shù)，更是中國傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體．如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C．半圓C1的方程為x2+y2=9(y≥0)，半橢圓C2的方程為則下列說法正確的是()A．點A在半圓C1上，點B在半橢圓C2上，O為坐標原點，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6B．曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為72上的一個動點，則cos∠APB的最小值為2上的一個動點，則cos∠APB的最小值為D．畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點都在與橢圓同中心的圓上．稱該圓為橢圓的蒙日圓，那么半橢圓C2擴充為整個橢圓C,：后，橢圓C,的蒙日圓方程為x2+y2=2512．雙曲線的漸近線方程為則雙曲線的離心率為.13．函數(shù)f(x)=2+lnx與函數(shù)g(x)=ex公切線的斜率為.14．已知三個正整數(shù)的和為8，用X表示這三個數(shù)中最小的數(shù)，則X的期望EX=.(1)求角A的大?。?2)設(shè)點D為BC上一點，AD是△ABC的角平分線，且AD=2，b=3，求△ABC的面積.16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA丄底面ABCD，PA=AB=2，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點.(1)證明：平面AEF丄平面PBC；(2)若直線AF與平面PAB所成的角的余弦值為求點P到平面AEF的距離.17．已知l1，l2是過點(0,2)的兩條互相垂直的直線，且l1與橢圓+y2=1相交于A，B兩點，l2與橢圓Γ相交于C，D兩點.(1)求直線l1的斜率k的取值范圍；(2)若線段AB，CD的中點分別為M，N，證明直線MN經(jīng)過一個定點，并求出此定點的坐標.18．已知函數(shù)=ex-ax2-x-1.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f,(x)的單調(diào)性；(2)若對任意x>0,f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.19．某企業(yè)的設(shè)備控制系統(tǒng)由2k-1(k∈N*)個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為p(0<p<1)，各元件之間相互獨立．當控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正常運行的概率為pk（例如：p2表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；p3表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概(1)若k=2，且每個元件正常工作的概率.①求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和期望；②在設(shè)備正常運行的條件下，求所有元件都正常工作的概率.(2)請用pk表示pk+1，并探究：在確保控制系統(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高設(shè)備正常運行的概率.參考答案：【分析】解分式不等式化簡集合N，再利用交集的定義求解即得.【詳解】解不等式得≥0，解得x≤-2或x>2，所以M∩N={-2}.故選：C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡，即可由模長公式求解.故選：B【分析】由向量線性運算的坐標表示以及向量共線可列方程求解.故選：A.【分析】根據(jù)已知角的范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出再利用和角的余弦公式進行求解.因為所以0<α-，A，C，D錯誤.故選：B.【分析】先依次求出圓錐的半徑、高，然后結(jié)合圓錐的體積公式求解即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則此圓錐體積為π.12.2=故選：B.【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分段函數(shù)在R上單調(diào)問題的處理方法.要一個分段函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則首先需要它在每一段上面是單調(diào)遞增的，其次需要它在兩段之間過度的位置也要是單調(diào)遞增的.如本題中x=1時，第一段函數(shù)值要不大于第二段函數(shù)值.【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移和伸縮變換可得=2sin進而可得f(x)，利用整體法求解單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可得=2sin=2sin由于f(x)與h(x)的圖象關(guān)于x軸對稱，所以f=-2sin故選：C【分析】由已知利用賦值法與等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性及方程解的存在條件檢驗各選項即可判斷.【詳解】對于A，因為函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x)+f(y)=f(x+y)-2xy+2,f(1)=2，取x=y=1，得f(1)+f(1)=f(2)一2+2，則f(2)=4，取x=y=2，得f(2)+f(2)=f(4)一8+2，則f(4)=14，故A錯誤；對于B，取y=1，得f(x)+f(1)=f(x+1)一2x+2，則f(x+1)一f(x)=2x，令f(x)=x2一x+2=x，得x2一2x+2=0，此方程無解，故B錯誤.對于CD，由B知f(x)=x2一x+2，(2,(2,(2,4(2,(2,(2,4222x+不是偶函數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用賦值法得到f(x+1)一f(x)=2x，再利用等差數(shù)列數(shù)列的求和公式得到f(x)=x2一x+2，從而得解.【分析】由正態(tài)分布的對稱性即可得出答案.【詳解】對于A，B,因為P(X>a)=0.3<P(X>0)=0.5，所以a>0，A正確，B錯誤D正確,,故選：AD.【分析】利用導(dǎo)數(shù)y與零點存在性定理求解三次函數(shù)的極值點，零點，對稱中心，切線問題.【詳解】選項A：f,(x)=3x2+1,則f,(x)>0恒成立，故f(x)單調(diào)遞增，故f(x)不存在兩個極值點，故選項A錯誤.選項B:f(一1)=1<0,f(1)=3>0,又f(x)單調(diào)遞增，故f(x)有一個零點，故選項B正確，選項C：f(一x)+f(x)=2,f(0)=1,故點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心，故選項C正確，當則當切線斜率為2切點為1)則切線方程為：y,與y=2x不相等，當時同樣切線方程不為y=2x，故選項D錯誤.故選：BC.11．ABD【分析】選項A，易得OA=3，OB≤4，從而判斷；選項B根據(jù)橢圓的性質(zhì)解決橢圓中兩點間距離問題；選項C由橢圓定義可得到|PA|、|PB|之和為定值，由基本不等式可以得到PA、|PB|乘積的最大值，結(jié)合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；選項D中分析蒙日圓的關(guān)鍵信息，圓心是原點，找兩條特殊的切線，切線交點在圓上，求得圓半徑得圓方程.【詳解】解：對于A，因為點A在半圓C1上，點B在半橢圓C2上，O為坐標原點，OA⊥OB，當B位于橢圓的下頂點時取等號，所以△OAB面積的最大值為6，故A正確；對于B，半圓C1上的點到O點的距離都是3，半橢圓C2上的點到O點的距離的最小值為3，最大值為4，所以曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7，故B正確；0,s7是橢圓的兩個焦點， 當且僅當PA=PB時取等號，1所以cos∠APB的最小值為，故C錯誤；8對于D，由題意知：蒙日圓的圓心O坐標為原點(0，0)，在橢圓中取兩條切線：x=3和y=4，它們交點為(3,4)，該點在蒙日圓上，半徑為32+42=5此時蒙日圓方程為：x2+y2=25，故D正確.故選：ABD.【分析】根據(jù)根據(jù)漸近線方程求出b，再根據(jù)離心率公式即可得解.a【詳解】因為雙曲線一的漸近線方程為y=2x，所以，a2故答案為：3.13．1或e【分析】設(shè)出兩曲線的切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用兩點間的斜率公式構(gòu)造方程即可求得斜率.【詳解】不妨設(shè)公切線與函數(shù)f(x)=2+lnx的切點為(x1,y1)，與函數(shù)g(x)=ex的切點為(x2,y2)；因此公切線斜率為=ex，因此x1ex2=可得ln(x1ex2 故答案為：1或e97【分析】利用組合的知識與隔板法，分類討論求得X=1與X=2對應(yīng)的概率，從而利用數(shù)學(xué)期望的計算公式即可求解.【詳解】設(shè)這三個正整數(shù)分別為x,y,z，則題意可得x+y+z=8(x,y,z∈N*)，所以隨機變量X可能取值為1和2，用隔板法可求得：事件總情況為C種，當X=1時，分兩種情況：①三個數(shù)中只有一個1，有CC種；②三個數(shù)中有兩個1，有C種，當X=2時，也分兩種情況：①三個數(shù)中只有一個2，有C種；②三個數(shù)中有兩個2，有C種，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于利用隔板法求得事件總情況為C種，再分類討論X=1與X=2對應(yīng)的概率，從而得解. 93(2)【分析】（1）由正弦定理實行角化邊，然后利用余弦定理即可得到答案（2）先利用三角形的面積關(guān)系S△ABC=S△ABD+S△CAD解出c，再根據(jù)三角形面積公式計算答案即可a2-b2-bc=c2，..由余弦定理得cosA=由S△ABC=S△ABD+S△CAD可得bcsinc×AD×sinb×AD×sin16．(1)證明見解析【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量數(shù)量積等于零證明；(2)利用坐標運算求點到平面的距離，或者用等體積法的思想求解.方法一：因為PA丄底面ABCD，BC平面ABCD，因為ABCD為正方形，所以AB丄BC，又因為PA∩AB=A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以BC丄平面PAB.因為AE平面PAB，所以AE丄BC.因為PA=AB，E為線段PB的中點，所以AE丄PB，又因為PB∩BC=B，PB平面PBC，BC平面PBC，所以AE丄平面PBC.又因為AE平面AEF，方法二：因為PA丄底面ABCD，PA平面PAB，所以平面PAB丄底面ABCD又平面PAB∩底面ABCD=AB，BC丄AB，BC平面ABCD，所以BC丄平面PAB.因為AE平面PAB，所以AE丄BC.因為PA=AB，E為線段PB的中點，所以AE丄PB.因為PB∩BC=B，PB平面PBC，BC平面PBC，所以AE丄平面PBC，又因為AE平面AEF，所以平面AEF丄平面PBC解法三：因為PA丄底面ABCD，AB丄AD，以A為坐標原點，以AB,AD,AP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)BF=t(t∈[0,2])，則F(2,t,0)，1,y1,z1)為平面AEF的法向量，則=(-t,2,t)，2,y2,z2)為平面PBC的法向量，則所以22所以平面AEF丄平面PBC.（基于（1）解法一、二）z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，所以|cos1,y1,z1)為平面AEF的法向量，則又因為AP=(0,0,2)所以點P到平面AEF的距離為所以點P到平面AEF的距離為.（另解）由（1）可知，上BAF是直線AF與平面PAB所成的角，解得BC，故F是BC的中點.△AEF的面積為S△AEF=AE.EF=因為PA=AB=2，△PAE的面積為S△PAE=S△PAB=PA.AB=1設(shè)點P到平面AEF的距離為h，則有解得所以點P到平面AEF的距離為.（基于（1）解法三）所以|cos所以點P到平面AEF的距離為所以點P到平面AEF的距離為.(2)證明見解析；定點【分析】（1）根據(jù)直線l1，l2均與橢圓Γ相交，聯(lián)立方程利用Δ求解2）利用韋達定理分別求M，N的坐標，進而求出直線MN的方程判斷定點.【詳解】（1）根據(jù)題意直線l1，l2的斜率均存在且不為0聯(lián)立1得x2 2-4所以k的取值范圍為2k22則直線MN的方程為化簡整理得(5,因此直線MN經(jīng)過一個定點(|0,2(5,18．(1)答案見解析；【分析】（1）先求出f(x)的導(dǎo)函數(shù)f,(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)分類討論分析函數(shù)f,(x)的單調(diào)性（2）對任意x>0,f(x)>0恒成立，求參數(shù)的取值范圍問題，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解函數(shù)f(x)的最小值，判斷最小值是否大于零即可.【詳解】（1）由題可知f,(x)=ex-ax-1.設(shè)g(x)=f,(x)，則g,(x)=ex-a.所以g(x)=f,(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.②當a>0時，令g,(x)>0，得x>lna，令g,(x)<0，得x<lna，所以g(x)=f,(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.綜上所述，當a≤0時，y=f,(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù)，當a>0時，y=f,(x)在(-∞,lna)上是減函數(shù)，在(lna,+∞)上是增函數(shù).（2）①當a≤0時，f,(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，f,(0)=0，則f,(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故f(x)>f(0)=0成立；則f,(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，故f(x)>f(0)=0成立；③當a>1時，當0<x<lna時，g,(x)=ex-a<0,f,(x)在(0,lna)上單調(diào)遞減，又f,(0)=0，所以f,(x)<0,f(x)在(0,lna)上單調(diào)遞減，則f(x)<f(0)=0不成立.19．(1)①分布列見解析，E(X)=2；②.(2)詳見解析.(3,【分析】（1）①由題意可知X~B(|3,2(3,據(jù)條件概率的公式求解在設(shè)備正常運行的條件下，求所有元件都正常工作的概率；（2）分類討論求出pk+1與pk的關(guān)系，做差比較大小即可得出結(jié)論.【詳解】