2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第3章 圓錐曲線與方程綜合拔高練

綜合拔高練

五年高考練

考點(diǎn)1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)’

22

1.（2021新高考1,5）已知F/2是橢圓C:2+-=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上則IMR?|MFz|的最

94

大值為（）

A.13B.12C.9D.6

2.（2019課標(biāo)全國I』0）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F,（-1,0）,F?（l,0）,過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).

若IAF2WIF2BI,|AB|=|BFj,則C的方程為（）

y*2y2-??2

A.—14-y2=1B.-+—=1

2）32

C.A+藝=1D.江+藝=1

4354

22

3.（2021全國乙理，11）設(shè)B是橢圓C』+9=l（a>b〉0）的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足

a2

|PB|W2b,則C的離心率的取值范圍是（）

A欄,1）8.假,1）

C?（哈D.（O司

4.（2021全國甲文，16）已知件,&為橢圓C:三+。=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

164

的兩點(diǎn),且IPQI=IFRI,則四邊形PRQH的面積為.

22

5.（2021浙江，16）已知橢圓J+3=l（a>b>0）,焦點(diǎn)FK-C,0）,F2（C,0）（c>0）.若過件的直線和圓

az匕2

2

C

（%4）+y2=T相切,與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,且PF2±X軸，則該直線的斜率是,橢圓

的離心率是.

考點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

6.（2021全國甲理,5）已知F“Fz是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn)，且

ZF,PF2=60°,|PF,|=3|PF/I,則C的離心率為（）

A.亙B,四

22

C.V7D.V13

22

7.（2021天津,8）已知雙曲線3-9=1（a〉0,b>0）的右焦點(diǎn)與拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)重合,拋

a2b2

物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),交雙曲線的漸近線于C,D兩點(diǎn)，若|CD|=a|AB|,則雙曲線的

離心率為（）

A.V2B.V3

C.2D.3

8.（多選）（2020新高考I,9）已知曲線C:mx2+ny2=l.（）

A.若m>n>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若m=n>0,則C是圓，其半徑為近

C.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±

D.若m=0,n>0,則C是兩條直線

22一

9.（2020全國III』1）設(shè)雙曲線C曝-臺(tái)1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為FbF2,離心率為低P

是C上一點(diǎn)，且F1P±F2P.若APFE的面積為4,則a=（）

A.1B.2C.4D.8

10.（2020全國I,11）設(shè)F1,F2是雙曲線C:x?q=l的兩個(gè)焦點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|=2,

則△PFE的面積為（）

A.-B.3

2

C.-D.2

2

考點(diǎn)3拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

11.（2021新高考II,3）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)到直線y=x+l的距離為則p=（）

A.1B.2

C.2V2D.4

12.（2020全國III,7）設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C:y2=2px（p>0）交于D,E兩點(diǎn)，若0D10E,

則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.&0）B.g,0）

C.（1,0）D.（2,0）

13.（2020北京,7）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為0,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,P是拋物線上異于0的一點(diǎn),過P作

PQ11于Q,則線段FQ的垂直平分線（）

A.經(jīng)過點(diǎn)0B.經(jīng)過點(diǎn)P

C.平行于直線OPD.垂直于直線0P

14.（2021新高考I,14）已知0為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn),PF

與x軸垂直,Q為x軸上一點(diǎn),且PQ10P.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

15.（2021北京，12）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上，且|FM|=6,則M的橫坐標(biāo)

是；作MN_Lx軸于N,貝I]SAFMN=.

16.（2021上海，11）已知橢圓x2+，=l（0〈bG）的左、右焦點(diǎn)為R、F2,以0為頂點(diǎn),F2為焦點(diǎn)作拋

物線交橢圓于P,且NPFE=45°,則拋物線的準(zhǔn)線方程是.

考點(diǎn)4直線與圓錐曲線的綜合問題

17.(2021新高考I,21)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)件(-舊,0),F2(VT7,0),點(diǎn)M滿足

IMRHMF?|=2.記M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)T在直線x=1上,過T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，且

|TA|?|TB|=|TP|?|TQI,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

18.(2021新高考II,20)已知橢圓亡m+容1(a>b〉O),若右焦點(diǎn)為F(V2,0),且離心率為粵.

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)M,N是C上的兩點(diǎn),直線MN與曲線/+丫2+&>0)相切,證明:M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件

是

19.(2020新高考I,22)已知橢圓C:馬+1=l(a〉b〉0)的離心率為名且過點(diǎn)A(2,1).

a2b22

(1)求C的方程；

⑵點(diǎn)M,N在C上，且AM1AN,AD±MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

2,、

20.(2020全國I,20)已知A,B分別為橢圓E:v^+y2=l(a>l)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂

點(diǎn),AG?GB=8.P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.（2022廣東廣州聯(lián)考）已知拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線與圓x2+y2-4y=0相交所得的弦的長為

2V3,則p的值為（）

2.如圖,從雙曲線?-9=1的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=3的切線FP,交雙曲線右支于點(diǎn)P,T為切點(diǎn),M

為線段FP的中點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則M0-MT=（）

A.V5-V3B.V3

C.V5D.V5+V3

3.已知拋物線y?=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,P,Q是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn),若4PQF是邊長為2的正三角

形，則P的值是（）

A.V3-1B.V3±1C.2±V3D.2+V3

22

4.（2022湘豫名校聯(lián)考）已知R（-c,0）,F2（c,0）分別是雙曲線C邑一￡=1的左、右焦點(diǎn),M關(guān)于

雙曲線的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為P,且點(diǎn)P在拋物線y2=4cx上,則雙曲線的離心率為（）

A.V2+1B.2C.V5D.年

22

5.（多選）（2022河北邯鄲一模）如圖，己知RE分別是橢圓今+￡=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P

a2b2

是該橢圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，NFFF2的平分線交x軸于Q點(diǎn),且滿足甌=4OQ,則橢圓的離心

率e可能是（）

6.（2020湖北荊州期末）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,點(diǎn)M（2,y。）在拋物線C

上，圓M與直線1相切于點(diǎn)E,且NEMF苦,則圓M的半徑為（）

A.-B.-C.-D,—

3333

7.（2020山東濟(jì)寧期中）已知拋物線y2=2px（p〉O）在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)A（3,b）到拋物線焦點(diǎn)F

的距離為4,若P為拋物線準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，則當(dāng)4PAF的周長最小時(shí)，點(diǎn)P到直線AF的距離

為.

8.（2021江蘇揚(yáng)州邢江中學(xué)期中）已知橢圓C:馬+^=l（a>b>0）的離心率ef,A,B分別是橢圓

a2b22

的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線PA、PB的傾斜角分別為a、B,滿

足tana+tanB=1,則直線PA的斜率為.

9.設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,過點(diǎn)F作直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足兩=

*瓦？+區(qū)），過M作y軸的垂線,與拋物線交于點(diǎn)P,若PF=2,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

為,AB=.

22

10.（2021江蘇南通啟東中學(xué)期中）已知橢圓C:^+^=l（a>b>0）的短軸長為2,橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)

a2b2

到左焦點(diǎn)的距離的最大值為a+L過點(diǎn)P（0,2）的直線1與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中

點(diǎn)為M,且不與原點(diǎn)重合.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若y軸上的一點(diǎn)Q滿足QA=QB,求證:線段QM的中點(diǎn)在定直線上；

⑶求"的取值范圍.

11.（2022浙江臺(tái)州第一中學(xué)期中）如圖，已知點(diǎn)P（4,4）在拋物線M:y2=2px（p〉0）上,過點(diǎn)P作三

條直線PA,PB,PC,與拋物線M分別交于點(diǎn)A,B,C,與x軸分別交于點(diǎn)D,E,G,且DE=EG.

（1）求拋物線M的方程；

⑵設(shè)直線PA,PC的斜率分別為kk,若;+求直線PB的方程；

b246

⑶設(shè)△PBC,四邊形PABC的面積分別為S?S2,在⑵的條件下,求能的取值范圍.

遷移創(chuàng)新

12.（2021江蘇鎮(zhèn)江期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中記載了用平面截圓錐得

到圓錐曲線的方法.如圖，將兩個(gè)完全相同的圓錐對(duì)頂放置（兩圓錐的頂點(diǎn)和軸都重合），已知兩

個(gè)圓錐的底面直徑均為4,側(cè)面積均為2事）n.記過兩個(gè)圓錐軸的截面為平面a,

平面a與兩個(gè)圓錐側(cè)面的交線為AC,BD.已知平面B平行于平面a,平面B與兩

個(gè)圓錐側(cè)面的交線為雙曲線C的一部分,且C的兩條漸近線分別平行于AC,BD,則

雙曲線C的離心率為.

答案全解全析

I)'.

五年高考練

l.CYM在橢圓C:互+二=1上，且a=3,

94

.".|MF,|+|MF2|=6,

.”21，

AIMF,I?IMFZ(3普y=9,

當(dāng)且僅當(dāng)|MF,|=|MF2|=3時(shí)等號(hào)成立.故選C.

易錯(cuò)警示

在用基本不等式求最值時(shí),要滿足“一正、二定、三相等”，三個(gè)條件缺一不可.

2.B設(shè)F2B|=X(X>0),則jAF21=2x,AB|=3x,

IBFi|=3x,AF,|=4a-(IABI+1BFj)=4a-6x,

由橢圓的定義知|BF」+|BF/=2a=4x,所以|AF」=2x.

在△BFE中,由余弦定理得出艮|2=麻2「+中正2「-2下小卜舊程|（：05/1^2九即9X2=X2+22-4X?cos/BF此①,

222

在△AFR中，由余弦定理可得|AFF=|AF2|2+|FIF23-2|AF2|?|FE|?cosZAF2Fb即4x=4x+2+8x-cosNBFzR②,

由①②得x—,所以2a=4x=2V3,a=V5,所以b2=a2-c2=2.

所以橢圓的方程為9+?=1.故選B.

3.C由題意知,B(0,b),設(shè)P(xo,yo),則1+*1,則詔=a2(1-黝,二|PB『W+(y0-b)2=a2(1-黝+

yl-2by0+b2=-^y^by.+a^,VC上任意一點(diǎn)P都滿足|PBW2b,y°e[-b,b],.?.當(dāng)y產(chǎn)-b時(shí)，|PB「取得最

大值，即b2>c',又a'b'+c；；.ay即a2>2c2,又YeW(0,1),

???ee(0,卦即離心率的取值范圍為(0,卦故選C.

4.答案8

解析如析設(shè)|PFj=m,|PFz|=n,由橢圓方程/+匕1可得,2a=|PR|+1PF/=m+n=8,2c=|FEI=48.

164

由P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得10P?=10QI,又10R|=10E],故四邊形PEQFz為平行四邊形.

依據(jù)IFR|=|PQ,得到四邊形PFQFz為矩形,故PF(±PF2.

在RtZ\FFFz中，NF2PM=90°,則m2+n2=(4V3)2=48,

由(m+n)J64得m°+n2+2mn=48+2mn=64,解得mn=8,

所以四邊形PRQR的面積為8.

5.答案等;g

解析設(shè)切點(diǎn)為B,圓心為A,連接AB,如圖，易知MA音,|F1F2|=2c,|BFl|=苧,網(wǎng)=c,|PF2|=9,；.直線PR

的斜率k=tan/PFR榔=2=當(dāng)，

|8卜1|—5

2c

出r

在△PFF2中，tanNPFF2y=竽，

2c5

BPV5b2=4ac=>V5(a2-c2)Mac,

方程兩邊同時(shí)除以a2,整理可得而e2+4e-V5=0,

解得e=g或e=-b（舍），.?.€=?.

6.A不妨設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為捻-3=1(a>0,b〉0),由題意知|PKHPFzI=2a,|PFJ=31PFz|,兩式聯(lián)立解得

|PFj=3a,|PF?|=a，又|FFz|=2c,所以在△PFE中,由余弦定理得|FE「=|PFj?+1PFIN|PFj?|PF?|cos/FFR,即

4c2=9a2+a-2X3aXaXcos60°,可得￡=亞,所以雙曲線C的離心率e，=亞.故選A.

a2a2

22

7.A設(shè)雙曲線今-$1(a>0,b>0)與拋物線y?=2px(p>0)的公共焦點(diǎn)為(c,0),

則拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-c,

令x=_c,則三?一巳^］，解得y=i—?所以|AB|二百

a2bzaa

又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為丫=±4,所以|CD|=@，

aa

2222

所以竺￡=且變,即c=V2b,所以a=c-b=ic,

aa2

所以雙曲線的離心率e=-=V2.

a

8.ACDA選項(xiàng)中，若m>n>0,則方程mx2+ny2=l可變形為畢+畢=1,因?yàn)閙>n>0,所以0己<所以此曲線表示橢

——mn

mn

圓,且焦點(diǎn)在y軸上,所以A正確.

B選項(xiàng)中，若m=n>0,則方程mx2+ny2=l可變形為x2+y2A所以此曲線表示圓，半徑為之,所以B不正確.

n7n

C選項(xiàng)中，若mn<0,則此曲線應(yīng)為雙曲線,mx2+ny2=0可化為y?=-竽,即y=+月x,即雙曲線的漸近線方程為

y=±產(chǎn)x,所以C正確.

D選項(xiàng)中，若m=0,n>0,則方程mx2+ny2=l可化為/-(xGR),即y=±2,表示兩條直線,所以D正確.故選ACD.

ny/n

9.A設(shè)PFi|=rb|PF21=r2,則|ri-r2|=2a,

Ar2+_2rir2=4a2.

2

VFIP±F2P,+r2=4c2y.-.4c-2rir2=4a,

**?rir2=2b.

?=%lr2=~X2b2=b2=4,

e=+1=11+-7=V5,解得a2=l,即a=l.故選A.

10.B由題易知a=l,b=V3,Ac=2,

又：|OP|=2,.?.△PFE為直角三角形，

易知|IPRHPFZI|=2,

22

.".|PF,|+|PF2|-2lPF,|?IPR|=4,

又IPFF+1PF?r=|FRI2=4C?=16,

.,.|PFi|?*三士6,

???SAPFIFZ=孑PF」TPF/=3,故選B.

11.B拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（J,。）,其到直線y=x+l的距離d與空=V2,

解得p=2（p=-6舍去）.

12.B由拋物線的對(duì)稱性,不妨設(shè)D在x軸上方、E在x軸下方.由［二：］%*得D（2,2/）,E（2,-2亦），；OD_LOE,

：.~0D-OF=4-4p=0,：.p=\,：.C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為G，0）,故選B.

2

13.B解法一:不妨設(shè)拋物線的方程為y=2px（p>0）,P（xo>yo）（Xo>O）,則Q（-^,y0）,Fg,0）,直線FQ的斜率為多從

而線段FQ的垂直平分線的斜率為￡又線段FQ的中點(diǎn)為（0修）,所以線段FQ的垂直平分線的方程為yg=

^（x-0）,即2Px-2y,y+羽=0,將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入,得2px0-2y°y+%=0,又2Px產(chǎn)據(jù)，所以丫=誓=丫。,所以點(diǎn)P在線段

FQ的垂直平分線上，故選B.

解法二：由已知及拋物線的定義得PQ=PF,所以4PQF是等腰三角形,所以底邊FQ的垂直平分線經(jīng)過頂點(diǎn)P,故選B.

14.答案x=-|

解析?.?點(diǎn)P在拋物線上且PF±X軸,不妨設(shè)點(diǎn)P位于x軸上方，r.p&p）,?.?OPUQ,

,由平面幾何知識(shí)可得IPF12=IOFI?|FQ,

又：F（21=6,二d=：*6,

p=3或p=0（舍）,

AC的準(zhǔn)線方程為x=-|.

15.答案5;4V5

解析設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為點(diǎn),y0),則有|FM|=xo+l=6,解得x0=5,所以M的橫坐標(biāo)是5.將x0=5代入y-4x,得|y0|=2"底

由題意得SAI?=1x(5-1)x2V5=4V5.

16.答案x=l-企

解析設(shè)F.(-c,0),Fz(c,0),點(diǎn)P在第一象限，則拋物線方程為yMcx,直線PR:y=x+c,

聯(lián)立P—丫*解得=c,y=2c,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(c,2c),所以PF±FIF,又PF2=FFI=2C,所以PFi=2V2c,所以

(y=%+c,x222

PF)+PF2=(2+2V2)c=2a=2,

則C=V2-1,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-c=l-&.

17.解析(1)由題意知|FE|=2g,因?yàn)閨MF/-|MF2|=2<|FE|=2g,所以結(jié)合雙曲線定義知，點(diǎn)M的軌跡C是以

件、F?為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

22___

設(shè)其方程為今-77=1(a>0,b>0,x》a),則2a=2,2c=2g,解得a=1,0=717,貝ij62=02-32=(717)2-12=16,

a2b2

所以M的軌跡C的方程為x2-^=l(x^l).

16

⑵如圖，設(shè)直線AB的方程為y-m=k,(x-i)-

y=ki用)+m,

由

\lo1(x21),

得(16-好)x2+(幅-2klm)x—^fcf+kim-m2-16=0,

設(shè)A(xbyi),B(X2,y2),

則X』符"=色鏟，

則?TA=ar%&彳),「BI=nr密卜2彳)，

所以|TA|?|TBl=(l+^)(X1-|)-3彳)=⑺耳:黑+也

設(shè)直線PQ的方程為y-m=k2(x-i),

同理得TP|-iTQl--z+i：)。+鹿)

kj-16

因?yàn)閨TA|?TB|=|TP|?|TQ|,

所以序a-kfl6'

所以熏=黑，即蜉=抬，由題意知ki#k2,所以卜+屋=0,即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

一題多解

(2)設(shè)Tg,rn),直線AB的傾斜角為0?直線PQ的傾斜角為02,由題不妨設(shè)方=3?焉，汴=tz?需,t,>0,30,則

\TA\=tl,甌％

設(shè)A(x,y),因?yàn)閍=3?嵩，所以K，y?m)=ti(cos0i,sin6J,所以x^+tcos0i,y=m+tsin0b

又因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線上,

所以16(；+Seos-(m+tisin0i)2=16,BP(16cos20i-sin20i)tf+(16cos8i-2msin0Jti-(m2+12)=0.

2

同理可得(16COS?0i-sin?0Jf+(16cos。「2msin0J,t2-(m+12)=0.

所以ti,t2即為方程(16cos?0i-sin20i)t2+(16cos0「2msin0Jt-(m2+12)=0的兩個(gè)根,

52+12)

則ITATB|=tit2=22,

16cos01-sin01

同理ITPI-ITQ廣懸瑞荻

結(jié)合|TA|?TB|=|TP|?：TQ|,得COSUFCOS,OZ,

又因?yàn)锳B與PQ是不同直線，

所以cos(?i=-cos02,于是9計(jì)。2=n，則kAB+kpq=O,

即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

c=V2,2

18.解析(1)由題意得［e=￡=漁，解得=，故橢圓C的方程為f+y2=l.

a3(爐=1,3

<a2=爐+c2,

(2)證明：①先證必要性.

易知直線MN的斜率不為0,

因?yàn)镸,N,F三點(diǎn)共線,F(VI0),

所以設(shè)直線MN:x=my+V2.

由題意知0(0,0)到直線MN的距離解得Hi』，故加=±1,所以直線MN:x±y-V2=0,

Vm2+1

根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)直線MN:y-x-V2.

y=x-V2,

2消y整理得4x'-6V2x+3=0.

fex=i,

設(shè)M(xi,y),N(X2,y2).

24XX

故Xi+X2二子,xlx2=*所以|MN|="1+1??X-X2|=V2X4-X2)'I2=國,即必要性成立.

②再證充分性.

因?yàn)橹本€MN與曲線x?+y2=l(x>0)相切,所以設(shè)切點(diǎn)為P(xo,y0)(Xo>O),M(xbyi),N(x?y2).

則直線MN:xox+yoy=l,且詔+y^=l.

號(hào)X+yoy=1,得"°y)2=(1_x°x)

2

三+y2=i,"I%/+3(yoy)=3%

則光x2+3(1—x0x)2=3yo,即(3好+羽)x2—6x0x+3-3%=0,即(2詔+1)x2—6x0x+3x§=0f所以

,6x103密

Xi+x尸一5-0,xlx2=?-

2x^+12xg+l

=小4陪24/=2痣"正袤=2限。仇|卜--包

所以|XLX2|+%2)2-4%I%2

2xg+1-2x^+1-2瑤+1'yQ

故I的=J1+(優(yōu))憧1—x2|=后?IXi-X21=妥:;=V3,即2就—2V2xo+l=O,即(V2xo-l)2=O,所以xo=y.故

yO=±Jl-詔=

由于MN:xox+y(>y=1,即MN:x+y=V2,

故直線MN過F(V2,0),即M,N,F三點(diǎn)共線.故充分性成立.

故M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是MN|=V5.

19.解析⑴由題設(shè)得*+*=1,答盤,解得染6,b?3.所以C的方程為=+*1.

⑵證明：設(shè)M(xi,yi),N(X2,y2).

若直線MN與x軸不垂直，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,代入日+匕1得(1+2。-x2+4kmx+2m2-6=0.

63

于是x“%xlx2=^e

由AM±AN知而？?麗=0,故(xi-2)3-2)+(y「l)(y2T)=0,(k2+l)XiX2+(km-k-2)(X1+X2)+(m-1)2+4=0.

將①代入上式可得(妙+1)僵|-(km-k-2)翟j+(m-1)2+4=0,

整理得(2k+3m+D(2k+m-1)=0.

因?yàn)锳(2,1)不在直線MN上，所以2k+m-lW0,

故2k+3m+l=0,k關(guān)1.

于是MN的方程為y=k(x-|)-g(kWl).

所以直線MN過點(diǎn)P(|,4).

若直線MN與x軸垂直,則N(xb-y,).

i\AM,7LN=0f#(x-2)(x-2)+(y,-l),(-y-l)=0.

又9+9可得3*-8XI+4=0.

解得Xi=2(舍去)或Xi=1.

此時(shí)直線MN過點(diǎn)P(|,-0.

令Q為AP的中點(diǎn),即QC，J.

若D與P不重合,則由題設(shè)知AP是RtAADP的斜邊,故DQ|m|AP|=誓.

若D與P重合，則DQ|=1|AP.

綜上,存在點(diǎn)QG，3,使得IDQ:為定值.

20.解析(1)由題設(shè)得A(-a,0),B(a,0),G(0,1),則彳5=(a,l),GB=(a,-l).由75?旗=8得不-1=8,即a=3.

所以E的方程為9+y'L

(2)證明：設(shè)C(xi,y】)，D(X2,y2),P(6,t).

若tWO,設(shè)直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3。＜3.

由于直線PA的方程為yJ(x+3),

所以y[(xi+3).

直線PB的方程為yq(x-3),

所以y2=1(x2-3).

可得3yt(x2-3)=y2(Xi+3).

由于胃+董=1，因此羽=一(&+3產(chǎn)3),

可得27yly2=~(XI+3)(X2+3),

即(27+m2)yiy2+m(n+3)(yi+y?)+(n+3)2=0.①

2

將x=my+n代入^'+丫2=1得(m'+g)y'+Zmny+rT'-gnO.

所以yi+y產(chǎn)-黑^,yly2=盍高代入①式得(27+m?)(n;;-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m;:+9)=0,

解得ni=-3(舍去)，n2=1.

故直線CD的方程為x=my+|,

即直線CD過定點(diǎn)住,0).

若t=0,則直線CD的方程為y=0,過點(diǎn)(|,0).

綜上,直線CD過定點(diǎn)(|,0).

三年模擬練

1.C拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-*

圓x2+y2-4y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=4,圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑為2,

圓心到準(zhǔn)線的距離為今所以有CT+(V3)3=22,解得p=2(負(fù)值舍去).故選C.

2.A設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F',連接PF',如圖.

則PF-PF'=2a=2g.在RtAOTF中，F(xiàn)O=c=2a,OT=a=V5,FT=b=V5,

。M為FP的中點(diǎn),0為FF'的中點(diǎn),

.?.MO為AFFI的中位線，

.,.MF-MO=a=V3,即MT+遍-MO=V3,

，MO-MT=V5-百.故選A.

3.C根據(jù)題意可得尸(或0),

設(shè)P塔，比八焉")6"),

由題意可得PF=QF,又PF=x"=葛+]QF=xQ+%著+；,

.胃+/各方則及=蝎又y",

，

?*.y.=-y2,,.PQ=2=2|y1|)

ly11=1,所以PF或+~2,解得p=2±V3,故選C.

4.D由題意可得雙曲線的漸近線方程為y=±4,不妨設(shè)R與點(diǎn)P關(guān)于漸近線y=-x對(duì)稱，易知點(diǎn)件到漸近線

aa

bx-ay=O的距離為戶三金,所以在△FFR中，PR=2b,FE=2c,PF?=2a,

>Ja2+b2

.".COSZFFP=-

I2c>

>2=4。、

由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線X-C的距離等于點(diǎn)P到桂的距離,

:.FE=PF2+PF2cosNF1F2P,

2c=2a+2acosZFiF2P,BPc2=ac+a\

/.e2-e-l=0,.故選D.

5.CD-：oK=4而，r.|麗I=：c,I而I=；c,則［禧I=7C.-/PQ平分NFFFz,.?.爭=霍=&又PFl+PF2=2a,/.

444PF?QF?3

252.92A2

PR丹,PF2=斗,在△PFR中，由余弦定理得cosNHPF,昆岳占=圣一次2,,.--KCOSZFPF<1,

442X—X—1515I215

44

/e、l,解得乂e〈l.故選CD.

154

6.C不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限,如圖，由拋物線的定義知圓M一定過焦點(diǎn)F,過焦點(diǎn)F作FN1ME,垂足為N,在RtAMNF

中,MN=2-泉

又因?yàn)镹NMF苫,所以NF=MNtang=V5x(2-9,所以y?=V3(2-0,因此［b(2-5『=2pX2,整理得

3P2-40p+48=0,解得或p=12,當(dāng)p=12時(shí),/>2,NEMF為鈍角，不合題意，舍去，故p?,因此圓M的半徑為2+晟=

解析由題意得3+舁4,解得p=2,故拋物線方程為y2=4x,從而A(3,2何.APAF的周長最小即PA+PF的值最小，設(shè)

F關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為R,則F,(-3,0),連接AF,.則AR與準(zhǔn)線的交點(diǎn)即為使PA+PF的值最小的點(diǎn)P,此時(shí)可求得

P(l,乎).又因?yàn)長嚴(yán)密=V3,所以直線AF的方程為y-0=V3(x-l),即gx-y-V3=0,故點(diǎn)P到直線AF的距離

d等同一附

J(V3)2+1

解析依題意知；=y=J1-g)2,則T=J,即a=2b,設(shè)P(x0,y。)(y°W0),則居+居=1,即溟+卷=1,化簡得=

Xg-a2.

由于A,B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),

所以A(-a,0),B(a,0),

所以tana+tanB卷+器

V2

—a,

2

r時(shí)，tan

-a+a

所以直線PA的斜率為"或上二.

9答案1;8

解析由y-4x,得2P=4,，p=2.

因此F(1,O),準(zhǔn)線l:x=T.如圖所示.

/=4x

設(shè)P(xo,y?),則PF=Xo+l=2=>xo=l.

由點(diǎn)P在拋物線上知,光=4xo=4,，y產(chǎn)±2.

不妨取y0=2,則P(l,2).

設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),

'.,OM=l(OA+OB),AM為線段AB的中點(diǎn)，

.?.M(牛，包.

VA.B均為拋物線上的點(diǎn)，

Ayf=4x1,禿二4x2,

從而(yi-yz)(yi+y2)=4(xi-x2).

又及產(chǎn)二2,???yi+y2=4.

因此?！鄙?,?,?直線AB的方程為y=x-l.

xl'x2

z

虱'-4：得x-6x+l=0,.",XI+X2=6,

ly=x-1,

因此AB=Xi+xz+p=6+2=8.

10.解析(1)由于橢圓C的短軸長為2,所以b=l,