2021-2022學(xué)年新教材湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)1.2常用邏輯用語(yǔ)練習(xí)題

1.2常用邏輯用語(yǔ)練習(xí)題

1、命題.............................................................1

2、充分條件和必要條件...............................................5

3、全稱量詞和存在量詞..............................................10

1、命題

1.以下語(yǔ)句：①{0}WN；②/+丁=0；③/>x；④{x*+l=0},其中命題

的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B①是命題，且是假命題；②、③不能判斷真假，不是命題；④

不是陳述句，不是命題.

2.已知命題“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命題，那么

下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為（）

①M(fèi)中的元素都不是P的元素；②M中有不屬于P的元素；③M中有屬于P

的元素；④M中的元素不都是P的元素.

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B①③錯(cuò)誤；②④正確.

3.（多選）給出命題“方程/+以+1=0有實(shí)數(shù)根”，則使該命題為真命題

的。的值可以是（）

A.4B.2

C.0D.-3

解析：選ABD方程有實(shí)根時(shí)，應(yīng)滿足/=/一420.

4.下列命題中真命題有（）

①松2+2X—1=0是一元二次方程；

②函數(shù)y=2x—1的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；

③互相包含的兩個(gè)集合相等；

④空集是任何集合的真子集.

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：選B①中，當(dāng)"?=0時(shí)，是一元一次方程；②中，函數(shù)y=2x—1的

圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，②正確；③正確；④中空集不是本身的真子集.

5.（多選）下列命題中是假命題的為（）

A.面積相等的三角形是全等三角形

B.若孫=0,則|x|+|y|=0

C.若cob,貝Ua+c>/?+c

D.矩形的對(duì)角線互相垂直

解析：選ABDA錯(cuò)；B中若x=3,y=0,則盯=0,但國(guó)+|y|W0,故B

錯(cuò)；C正確；D中矩形的對(duì)角線不一定互相垂直.

6.下列語(yǔ)句中是命題的有（填序號(hào)），其中是假命題的有（填

序號(hào)）.

①垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？

②一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；

③大角所對(duì)的邊大于小角所對(duì)的邊；

④求證方程f+x+1=0無(wú)實(shí)根.

解析：①疑問(wèn)句.沒(méi)有對(duì)垂直于同一條直線的兩條直線是否平行作出判斷，

不是命題；

②是假命題，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)：

③是假命題，沒(méi)有說(shuō)明在同一個(gè)三角形內(nèi)；

④祈使句，不是命題.

答案：②③②③

7.（2021?江陰調(diào)研）設(shè)a,。是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a+b>2；②屋+

/>2.其中能推出“a,匕中至少有一個(gè)大于1"的條件是（填序號(hào)）.

解析：對(duì)于①，假設(shè)aWl,bWl,則與已知條件a+b>2矛盾，

故假設(shè)不成立，所以。中至少有一個(gè)大于1,①正確；對(duì)于②，若。=一2,b

=一3,則。2+/>2成立，故由②不能推出“小。中至少有一個(gè)大于1.”

答案：①

8.（1）若九2/9,則xW3的等價(jià)命題是.

⑵若方程/+2以+/+。一1=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則aW2的否命題是

解析：(1)原命題的等價(jià)命題就是該命題的逆否命題.若X2彳9,則xW3的等

價(jià)命題是：“若x=3,則『=9".

(2)原命題的否命題是否定原命題的條件作為該命題的條件，同時(shí)否定原命題

的結(jié)論作為該命題的結(jié)論.即“若方程/+2以+/+。―1=0有實(shí)數(shù)根，則

a>2”.

答案：(1)若x=3,則f=9(2)若方程/+2如+/+。-1=。有實(shí)數(shù)根，則

a>2

9.寫(xiě)出命題〃的否定^p,并判斷的真假.

(1)/2:當(dāng)機(jī)>；時(shí)，Zm2—元+1=0無(wú)實(shí)根；

(2)0一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)是0,這個(gè)數(shù)一定能被5整除.

解：(1)原命題可以改寫(xiě)成：若〃2〉今則如2—*+1=0無(wú)實(shí)根.可得^p:

若tn>3,則mx1~x+1=0有實(shí)根.

因?yàn)?=1—4m<0,所以是假命題.

(2)原命題改寫(xiě)成：若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)是0,則這個(gè)數(shù)一定能被5整除，此

命題為真命題.㈱p：若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)是0,則這個(gè)數(shù)不一定能被5整除.S

p為假命題.

10.已知A：5x-\>a,B-.x>\,請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)a,使得利用A,B構(gòu)

造的命題“若p,則/'為真命題.

解：若視A為p,則命題“若p,則為"若4青，則x>l”.由命題為

真命題可知牛》1,解得

若視B為p,則命題“若p,則為“若x>l,則心若由命題為真命

題可知手忘1,解得aW4.

故a取任一實(shí)數(shù)均可利用A,B構(gòu)造出一個(gè)真命題，比如這里取a=l,則有

2

真命題“若x>l,貝

11.（多選）在平面四邊形中，下列命題的逆命題是真命題的是（）

A.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

C.平行四邊形對(duì)角線互相平分

D.矩形的對(duì)角線相等

解析：選ABC選項(xiàng)A為平行四邊形的定義，該命題的原命題、逆命題、

否命題、逆否命題都為真；選項(xiàng)B的逆命題為“菱形的對(duì)角線互相垂直”，該

命題為菱形的性質(zhì)定理，是真命題；選項(xiàng)C的逆命題為“對(duì)角線互相平分的四

邊形為平行四邊形”即平行四邊形的判定定理，是真命題；選項(xiàng)D的逆命題為

“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”，此命題為假命題（如等腰梯形）.

12.A,B,C,D,E五名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)單元檢測(cè)，在未公布成績(jī)前他

們對(duì)自己的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行了猜測(cè).

A說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么8也得優(yōu)”；

8說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么。也得優(yōu)”；

C說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么。也得優(yōu)”；

。說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么E也得優(yōu)”.

成績(jī)揭曉后，發(fā)現(xiàn)他們都沒(méi)說(shuō)錯(cuò)，但只有三個(gè)人得優(yōu).請(qǐng)問(wèn)：得優(yōu)的是哪三

位同學(xué)？

解：如果A得優(yōu)，可推出3,C,D,E均得優(yōu),這與“只有三人得優(yōu)”相矛

盾，從而A不可能得優(yōu)；如果B得優(yōu)，可推出C,D,E也得優(yōu)，這與“只有三

人得優(yōu)”相矛盾，從而8也不可能得優(yōu)；因此，可以判定C,D,E三人得優(yōu).

2、充分條件和必要條件

1.。=1"是“/-4%+3=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

解析：選A若尤=1,則x2—4x+3=0,是充分條件，

若公一4x+3=0,則x=l或x=3,不是必要條件.故選A.

2.設(shè)A,B,C是三個(gè)集合，則是“B=C”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

解析：選B由不一定有B=C,

反之，由3=C,一定可得AC8=AnC

二"An8=AnC”是“B=C”的必要不充分條件.故選B.

3.（2021?蘇州高一月考）如果A是8的必要不充分條件，8是C的充要條件,

。是C的充分不必要條件，那么A是。的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

解析：選B根據(jù)題意列出A,B,C,。的關(guān)系如圖，

分弁

ABOCD

<=<=

顯然有即。nA;但故選B.

4.（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.“方程加+x+l=0有實(shí)數(shù)根"是％<0”的必要不充分條件

B.已知p：14<2,q：出+12,則〃是的充分不必要條件

C."a<0”是“方程f+x+a=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條

件

D.當(dāng)尤GR時(shí)，y=心一日+1的圖象恒在x軸上方，則左的取值范圍是（0,

解析：選AB對(duì)于A,由方程加+%+1=0有實(shí)數(shù)根，可得a=0或

（7*0,J

\所以aW1,故選項(xiàng)A的說(shuō)法正確；

.1—4心0,4

對(duì)于B,當(dāng)1，<2時(shí)，也不121成立；當(dāng)皿￥121時(shí)，解得x20,所以

〃是q的充分不必要條件，故選項(xiàng)B的說(shuō)法正確；

對(duì)于C,若方程》2+*+。=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，

貝U/=l-4a〉0,xixi=a<0^a<0,所以"。<0”是“方程f+x+a=0有一個(gè)正

根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件，故選項(xiàng)C的說(shuō)法錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若當(dāng)xGR時(shí)，，=任2一依+1的圖象恒在x軸上方，則當(dāng)4=0時(shí)，

>>0,

不等式化為1>0恒成立，故攵=0符合題意；當(dāng)ZW0時(shí)，只要<,解

,A=lc—4k<0,

得0cA<4,

則實(shí)數(shù)%的取值范圍是［0,4）,故選項(xiàng)D的說(shuō)法錯(cuò)誤，故選A、B.

5.下面四個(gè)條件中，使。泌成立的充分不必要條件是（）

A.B.a>b—1

C.a2>h2D.a3>b3

解析：選A由a2/?+l>Z?,從■而a2b+10a>b;反之，如a=4,8=3.5,

則4>3.5/臺(tái)423.5+1,故今匕+1,故A正確.

6."x<5”是"x<3”的條件.

解析：設(shè)A={x|x<5},{8={x|尤<3},

因?yàn)锳B,所以“x<5”是“x<3”的必要不充分條件.

答案：必要不充分

7.已知集合A={M—la<3},集合8=3尤<〃z+l},若〃2是滿足AC8=0

的一個(gè)充分不必要條件，則加可以為.

解析：因?yàn)榧螦={x|—l<x<3},

集合B={x\x<m-\-1},

所以ACl3=0O〃z+1W—1,即〃?<—2,

則m<一2.

答案：（一8,一2）（答案不唯一）

8.條件〃：1一x<0,條件q：x>a,若〃是<7的充分不必要條件，則a的取

值范圍是.

解析：p:%>1,若〃是q的充分不必要條件，則但q0/p,也就是說(shuō)，

p對(duì)應(yīng)集合是g對(duì)應(yīng)集合的真子集，所以a<l.

答案：{a|a<l}

9.指出下列各命題中，〃是,的什么條件，q是〃的什么條件：

(l)p：x2>。，q：x>0；

(2)p：x+2Wy,q：(x+2)2^y2；

(3)p：a能被6整除，q-.。能被3整除；

(4)p：兩個(gè)角不都是直角，q：兩個(gè)角不相等.

解：(l)p:J?>0,則x>0或x<0,q:x>0,故〃是g的必栗條件，g是〃的充

分條件.

(2)p:x+2Wy,q:(x+2)2=Ay2,則x+2Wy,且x+2W—y,故p是q的必

要條件，q是〃的充分條件.

(3)p:。能被6整除，故也能被3和2整除，q:a能被3整除，故p是q的

充分條件，q是p的必栗條件.

(4)p:兩個(gè)角不都是直角，這兩個(gè)角可以相等，q:兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)

角一定不都是直角，故p是q的必要條件，q是p的充分條件.

10.求方程*+丘+1=0與f+x+A=0有一個(gè)公共實(shí)根的充要條件.

x2-\-kx+1=0,fj?—(f+x)x+1=0,

臺(tái)

'[x24-x+Z：=0[x2+x+Z：=0

(X2+A+1)(x—1)=0,ix=1,

./+*+女=0[k=—2.

所以兩方程有一個(gè)公共實(shí)根的充要條件為k=-2.

11.(多選)給出下列四個(gè)條件：

?xi2>yt2；@xt>yt-,(§)x2>^2；@0<-<~.

xy

其中能成為x>y的充分條件的有()

A.①B.②

C.③D.@

解析：選AD①由可知戶>0,所以x>>,故婷>山2，;〉)?；

②當(dāng)z>0時(shí)，x>y,當(dāng)z<0時(shí)，x<y,故"x>>;

③由得故_?>y2#x>y;

④由OV；V；=x>>.故選A、D.

12.一次函數(shù)y=一%的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的必要不充分

條件是（）

A.m>0,n>0B.mn<0

C.m<0,〃<0D.mn>0

ni|

解析：選D因?yàn)橐淮魏瘮?shù)）>=一/:+；；的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，

mI

所以一且一解得m>

nvO*,n>0,

niI

0,〃>0.故由一次函數(shù)的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限可以推

/71I

出機(jī)〃>0.而由mn>0不一能得到一欠函數(shù)y=一節(jié)+"的圖象經(jīng)過(guò)第一■>二、四

VHI

象限，所以加〃〉0是一次函數(shù)）'=一中+［的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的

必栗不充分條件.

13.若p：d+x—6=0是q：tu+1=0的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的值為

解析：p:f+x—6=0,即x=2或x=-3.

q:<u+l=0,當(dāng)a=0時(shí)，方程無(wú)解；

當(dāng)“W0時(shí)，x=一《.

由題意知q今p,故a=0舍去；當(dāng)aWO時(shí)，應(yīng)有一｝=2或一>=—3,

解得a=或a=y

綜上可知，a=—；或a=g.

答案：一］或J

14.設(shè)a,b,c為△A3C的三邊，求證：方程X2+2QX+廬=0與f+Zcx—

b2=0有公共根的充要條件是NA=90。.

證明：必要性：設(shè)方程『+2以+〃=0與f+Zcx—〃=0有公共根x(),則向

+2oro+/?2=0,xi+2cxo—b2=O.

吩

兩式相減，得光O=(,_Q,將此式代入刀8+2函+。2=0,

可得房+/=屋，故NA=90°.

充分性：VZA=90°,/.b2+c2=a2,〃=/—c?.①

12

將①代入方程x-i-2ax+b=09

122

可得x+2cuc+a—c=Of即(尢+Q—C)(X+Q+C)=O.

將①代入方程/+2cx—〃=0,

可得f+23+c2—/=o,

即(x+c—〃)a+c+a)=O.

故兩方程有公共根x=—(〃+c).

/.方程x1+2ax+h2=0與x2+2cx—b2=0有公共根的充要條件是NA=90°.

15.已知a,b,c￡R,.判斷“Q—/?+C=O”是“二次方程a^+bx+c

=0有一根為一1"的什么條件？并說(shuō)明理由.

解：ua-b+c=^是“二次方程ax2+hx+c=O有一根為一1”的充要條

件.理由如下：

當(dāng)a,b,c￡R,Q=AO時(shí)，

若Q—0+c=0,則x=-1滿足二次方程加+云+。=0,即二次方程辦2+

"+c=0有一根為一1,

故"a—Z?+c=O”是"二次方程加+法+。=0有一^艮為一1”的充分條件，

1

若二次方程ax+bx+c=O有一根為一1,則a—b+c=O9

故“4一》+c=0”是“二次方程加+bx+c=O有一根為一1”的必要條件，

綜上所述，7一0+c=0”是“二次方程加+區(qū)+。=0有一根為一1”的充

要條件.

3、全稱量詞和存在量詞

1.下列命題中是全稱命題并且是真命題的是（）

A.3%>1,x2—lx—3=0

B.若2%為偶數(shù)，則xGN

C.所有菱形的四條邊都相等

D.兀是無(wú)理數(shù)

解析：選C對(duì)于A,是特稱命題，故A不正確；

對(duì)于B,是真命題，但不是全稱命題，故B不正確；

對(duì)于C,是全稱命題，也是真命題，故C正確；

對(duì)于D,是真命題，但不是全稱命題，故D不正確，故選C.

2.命題“每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓”的否定是（）

A.存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓

B.存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓

C.所有四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓

D.所有四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都不共圓

解析：選A根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，得命題“每一個(gè)四邊形的四

個(gè)頂點(diǎn)共圓”的否定是“存在一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓”，故選A.

3..25是命題“VxG[l,2],f-aWO”為真命題的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件

解析：選A2],有/金口，4],則由可得2],x2

一aWO成立；反之，Vxe[l,2],/-aWO成立，可得是命題“V

x￡[l,2],/-aWO”為真命題的充分不必要條件.故選A.

4.設(shè)非空集合尸，。滿足pnQ=p,則（）

A.Xfx^Q,有xGPB.V/Q,有依P

C.3x^Q,使得xWPD.Bx^P,使得遙Q

解析：選B'：PHQ=P,：.P^Q,如圖，

:.A、C、D錯(cuò)誤，B正確.故選B.

5.（多選）下列命題的否定中，是全稱命題且為真命題的有（）

A.EixGR,x2—x+（<0

B.所有的正方形都是矩形

C.3xGR,^+2%+2^0

D.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使V+1=O

解析：選AC命題的否定是全稱命題，即原命題為特稱命題，故排除B.再

根據(jù)命題的否定為真命題，即原命題為假命題.又D為真命題，故選A、C.

6.命題“VxdR,一\<0"的否定是_______________.

%—2

答案：3xE.R,—二>0或x—2=0

x~2

7.下列特稱命題是真命題的序號(hào)是.

①有些不相似的三角形面積相等；

②存在實(shí)數(shù)x,使r+ZvO;

③存在實(shí)數(shù)。，使函數(shù)的值隨x的增大而增大；

④有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身.

解析：①為真命題，只要找出等底等高的兩個(gè)三角形，面積就相等，但不一

定相似；②中對(duì)任意xGR,x2+2>0,所以不存在實(shí)數(shù)x,使f+2<0,為假命

題；③中當(dāng)實(shí)數(shù)“大于0時(shí)，結(jié)論成立，為真命題；④中如1的倒數(shù)是它本身，

為真命題.故真命題的序號(hào)是①③④.

答案：①③④

8.若命題p：\/a,bGR,方程加+6=0恰有一解,則^p：.

解析：全稱量詞的否定是存在量詞，恰有一解的否定應(yīng)包含兩個(gè)方面：一是

無(wú)解，二是至少有兩解.所以㈱〃為：3a,h&R,方程加+6=0無(wú)解或至少

有兩解.

答案：3?,OeR,方程加+》=()無(wú)解或至少有兩解

9.判斷下列命題的真假：

(1)每一條線段的長(zhǎng)度都能用正有理數(shù)來(lái)表示；

(2)至少有一個(gè)直角三角形不是等腰三角形；

(3)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得方程N(yùn)+x+8=O成立；

(4)3x^R,J?—3x+2=0；

(5)Vx，y0Z,(x—y)2=x1-2xy+y2.

解：(1)是假命題，如邊長(zhǎng)為1的正方形，對(duì)角線長(zhǎng)度為啦，就不能用正有

理數(shù)表示.

(2)是真命題，如有一個(gè)內(nèi)角為30。的直角三角形就不是等腰三角形.

(3)是假命題，方程/+》+8=0的判別式/=一31<0,故方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

(4)是真命題，尤=2或x=l,都能使3x+2=0成立.

(5)是真命題，因?yàn)橥耆椒焦綄?duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以對(duì)整數(shù)也成立.

10.(2021?南京高一期中考試)已知命題〃：任意2],N-a20,命題

q：存在xWR,f+Zox+Z—a=0.若命題〃與q都是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

解：由命題p為真，可得不等式/一在xG[l,2]上恒成立，

所以aW(/)min,xGfl,2],所以aWl.

若命題g為真，則方程x2+2ax+2—a=0有解，

所以判別式/=44一4(2—a)N0,所以或aW—2.

aW1,

又因?yàn)閜,q都為真命題，所以11所以aW—2或a=l,

[a21或aW—2,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|aW—2或a=l}.

11.(多選)下列命題錯(cuò)誤的是()

A.VxG{-1>1}，2x+1>0B.3%GQ,X2=3

C.VxeR,f-1>0D.3%eN,|A|^0

解析：選ABC對(duì)于A,x=-l時(shí)，不合題意;

對(duì)于B,x=±V§,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,比如x=0時(shí)，-1<0,錯(cuò)誤；D選項(xiàng)正確.

12.以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

①“若。+人22,則a,b中至少有一個(gè)不小于1”的逆命題；②存在正實(shí)數(shù)

a,b,使得a+b=ab；③“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”的否定是“至少有一個(gè)奇數(shù)不

是素?cái)?shù)”.

A.0B.1

C.2D.3

解析:選C①原命題的逆命題為若中至少有一個(gè)不小于1,則a+b22,

而a=2,/?=-2滿足條件a,中至少有一個(gè)不小于1,但此時(shí)a+b=O,故①

是假命題；②當(dāng)a=b=2時(shí)，a+b=ab,故②是真命題；③“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”

的否定為“至少有一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)”，故③是真命題.故選C.

13.某中學(xué)開(kāi)展小組合作學(xué)習(xí)模式，某班某組小王同學(xué)給組內(nèi)小李同學(xué)出題

如下：若