2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步練習-第二章 圓錐曲線綜合拔高練

2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊

綜合拔高練

五年高考練

考點1橢圓

1.(2021新高考I,5)已知FbF2是橢圓C:1+4=l的兩個焦點，點M在C上,則

94

|MF,|?IMF2I的最大值為()

A.13B.12

C.9D.6

2.(2019課標全國1,10)已知橢圓C的焦點為件(-1,0),F2(l,0),過F2的直線與

C交于A,B兩點.若|AF2|=2|FzB|,|AB|=|BFj,則C的方程為()

A.—+y2=lB.上+匕=1

232

C.-+^=1D.-+^=1

4354

22

3.(2021全國乙卷,H)設B是橢圓C:^+^=l(a>b>0)的上頂點,若C上的任意一

點P都滿足|PB|W2b,則C的離心率的取值范圍是()

A卷,1)B.悖,1)

。?(向g]

22

4.(2021浙江,16)已知橢圓言+卷=1(a>b>0),焦點F.(-c,0),F(c,0)(c>0).若過F.

a2b22

2

的直線和圓kJc)+y2=c2相切，與橢圓在第一象限交于點P,且PF21X軸,貝IJ該直

線的斜率是,橢圓的離心率是.

2

5.(2018浙江,17)已知點P(0,1),橢圓^+y2=m(m〉l)上兩點A,B滿足9=2萬,則

4

當m=時，點B橫坐標的絕對值最大.

考點2雙曲線

6.（2021全國甲卷,5）已知件,Fz是雙曲線C的兩個焦點,P為C上一點,且

ZF,PF2=60°,|PF』二3|PF21，則C的離心率為（）

A.—B.—C.V7D.V13

22

22

7.（2020全國H,8）設0為坐標原點，直線x=a與雙曲線C邑-卷=1（a>0,b>0）的兩

a2bz

條漸近線分別交于D,E兩點.若AODE的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

22

8.（2019課標全國HI,10）雙曲線C:--^=l的右焦點為F,點P在C的一條漸近線

42

上,0為坐標原點.若IP01=IPF|,則APF0的面積為（）

A.—B.—C.2V2D.3V2

42

2_

9.（2021全國乙卷,13）已知雙曲線C:--y2=l（m>0）的一條漸近線為遮x+my=0,則

m

C的焦距為.

22

10.（2020全國I,15）已知F為雙曲線C：9-（a>0,b>0）的右焦點,A為C的右

a2b2

頂點,B為C上的點,且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3,則C的離心率

為.

考點3拋物線

11.（2021新高考H,3）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點到直線y=x+l的距離為近，

則p=（）

A.1B.2C.2V2D.4

12.（2020全國m（文），7）設0為坐標原點，直線x=2與拋物線C:y2=2px（p>0）交于

D,E兩點,若OD_LOE,則C的焦點坐標為（）

A.&0）B.&0）

C.(1,0)D.(2,0)

22

13.(2019課標全國n,8)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓5+匕=1的一個焦點,

3PV

則P=()

A.2B.3C.4D.8

14.(2021北京，⑵已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,點M在C上，且|FM|=6,則M

的橫坐標是;作MNJ_x軸于N,則S△!?=.

考點4圓錐曲線的綜合應用

2222

15.(2018北京,14)已知橢圓M邑+芻=1(a>b>0),雙曲線N:內(nèi)唱=1.若雙曲線N

的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂

點,則橢圓M的離心率為;雙曲線N的離心率為.

16.(2021新高考1,21)在平面直角坐標系xOy中，已知點件(-

V17,0),Fz(舊,0),點M滿足|MF,|-|MF2|=2.記M的軌跡為C.

⑴求C的方程；

⑵設點T在直線x=|上,過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點,且

|TA|?|TB|=|TP|?|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

17.(2021全國甲卷,20)拋物線C的頂點為坐標原點0,焦點在x軸上,直線1:x=l

交C于P,Q兩點,且OP±OQ.已知點M(2,0),且OM與1相切.

(1)求C,OM的方程；

⑵設A”A2,A3是C上的三個點，直線A也,AA均與OM相切.判斷直線A2A3與OM

的位置關系,并說明理由.

22—

18.(2021新高考II,20)已知橢圓C:^+^=l(a>b>0),若右焦點為F(&,0),且離

心率為當

⑴求橢圓C的方程；

(2)設M,N是C上的兩點,直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切.證明:M,N,F三點共

線的充要條件是

三年模擬練

應用實踐

22

1.(2022山西大同第一中學月考)已知F/2分別為雙曲線今號的左、

z

ab乙

右焦點,過F,作y=--x的垂線,分別交雙曲線的左、右兩支于B,C兩點(如圖).若

a

ZCBF2=ZCF2B,則雙曲線的漸近線方程為()

A.y=±V3:B.y=±V2:

C.y=±（V3+1）xD.y=±（V3-1）x

22

2.（2022江西科技學院附屬中學月考）已知雙曲線±方l（a>0,b>0）的左、右焦

點分別為F?F2,過Fi作圓x2+y2=￡的切線,交雙曲線右支于點M,若NEMF2=6O°,

則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±（3+V3）xB.y=+2x

C.y=+34^xD.y=+（1+V3）x

3.（多選）（2022吉林梅河口第五中學月考）已知4ABC是一個等腰直角三角形,如

果圓錐曲線以AABC的兩個頂點為焦點,且經(jīng)過另外一個頂點，則該圓錐曲線的離

心率可以等于（）

A.V2B.yC.V2-1D.V2+1

4.（2020湖南九師聯(lián)盟）人利用雙耳可以判定聲源在什么方位，聽覺的這種特性叫

作雙耳定位效應（簡稱雙耳效應）.根據(jù)雙耳的時差,可以確定聲源P必在以雙耳

為左、右焦點的一條雙曲線上,若聲源P所在的雙曲線與它的漸近線趨近,則聲

源P對于測聽者的方向偏角a就近似地由雙曲線的漸近線與虛軸所在直線的夾

角來確定.一般地，甲測聽者的左、右兩耳相距約為20cm,聲源P的聲波傳到甲

的左、右兩耳的時間差為3X105s,聲速為334m/s,則聲源P對于甲的方向偏

角a的正弦值約為（）

A.0.004B.0.04C.0.005D.0.05

2

5.侈選）（2022山東濟寧育才中學開學考試）已知雙曲線C:土y2=l（a>0）,若圓

（x-2）2+y2=l與雙曲線C的漸近線相切，則（）

A.C的實軸長為6

B.C的離心率6二手

c.P為C上任意一點,若點P到C的兩條漸近線的距離分別為d?d2,則d,d2=；

D.直線1:y=Lx+m與C交于A,B兩點,D為弦AB的中點，若0D（0為坐標原點）的

斜率為k2,則kk三

6.侈選）（2022安徽淮北樹人高級中學月考）拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線1

過點F,其斜率k>0,且交拋物線C于A,B（點A在x軸的下方）兩點,拋物線C的準

線為m,AA」m,BB,±m(xù),垂足分別為A?Bb下列結(jié)論正確的是（）

A.若麗=3貝!Jk=V3

B.—+—=1

|FA|\FB\

口若1<=1,則|人8|=12

D.NAFB尸90°

22

7.（2022重慶第八中學校月考）若0和F分別為橢圓的中心和左焦點,P

43

為橢圓上的任意一點，則而?麗的最大值為.

22

8.（2022四川綿陽月考）已知直線1:kx-y-2k+l=0與橢圓G』+￡=1（a>b>0）交于

a2b2

A,B兩點，與圓Cz：（x-2）2+（y-l）2=l交于C,D兩點.若存在k￡[-2,-1],使得

|而|=|礪I,則橢圓G的離心率e的取值范圍是.

22

9.（2022吉林遼源第一次階段檢測）已知橢圓C：5+3=l（a>b>0）,其離心率為

a2b2

手，且點（丹I）在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若橢圓C上的任意一點M（除短軸的端點外）與短軸的兩個端點B?B2的連線分

別與x軸交于P,Q兩點，求證|OP|?|與|為定值.

22

10.(2022河南焦作第一次模擬考試)已知雙曲線E:"為1(a>0,b>0)經(jīng)過點

(四,8)，其一條漸近線的傾斜角為60°.

⑴求雙曲線E的標準方程；

⑵若斜率為k(k#0)的直線1與雙曲線E交于兩個不同的點M,N,線段MN的中

垂線與y軸交于點(0,4),求實數(shù)k的取值范圍.

遷移創(chuàng)新

11.閱讀下列有關光線的入射與反射的兩個現(xiàn)象：

現(xiàn)象(1):光線經(jīng)平面鏡反射滿足反射角與入射角相等；

現(xiàn)象(2):光線從橢圓的一個焦點出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個焦點.

試結(jié)合上述現(xiàn)象，回答下列問題：

有一橢圓形臺球桌,長軸長為2a,短軸長為2b.將一放置于焦點處的桌球擊此經(jīng)

過球桌邊緣的反射(假設球的反射完全符合現(xiàn)象(2))后第一次返回到該焦點時所

經(jīng)過的路程記為s,則s的值為(用a,b表示).

答案與分層梯度式解析

五年高考練

22

1.C在橢圓C:上+匕=1上，且a=3,

94

二|MFJ+|MF2|=6,

?IMF2I，

AIMF.I?IMFZ(嶼普戶9,

當且僅當|MF』=|MFz|=3時等號成立.

故選C.

2.B設|F?B|=x(x>0),則|AF2|=2X,IAB|=3x,|BFJ=3x,|AF,|=4a~

(lABl+lBF^Ma-Gx,

由橢圓的定義知IBFj+|BF2|=2a=4x,

所以|AF」=2x.

在△BFF2中，由余弦定理得|BF』2=|BF2r+|FF2「-2|BFz|?|F,F2|-cosZBF2F?

即9X2=X2+22-4XCOSZBF^^,

在△AFE中，由余弦定理得|AF』2二|AF2|2+|FF2|2-2|AF2|?|F,F2|-cosZAF2F?

222

即4X=4X+2+8XCOSZBF2F1(2),

由①②，得x4，

所以2a=4x=2-\/3,a=V3,所以b2=a2-c2=2.

22

故橢圓的方程為彳故選B.

3.C由題意知,B(0,b),設P(x。,y。),則普喀=1,則稔a?(l一居).

22

IPB|=%o+(y0-b)=a~(l-粉+yQ2byo+b2=

2

22

-^y^-2by0+a+b,

???C上任意一點P都滿足|PB|W2b,y°￡[-b,b],.?.當y°=-b時，|PB12取得最大值,

,。迅即b22c2,

又a/%；...a'c'c；即a'^2c2,e2^1,

又?.飛￡(0,1),.,.eG(0,y],

即離心率的取值范圍為(0,闿,故選C.

4.答案延;在

解析設切點為B,圓心為A,連接AB,

如圖，易知|FiA|考，|FEl=2c,|BF』=名，|AB|=c,|PFz|=Q,.?.直線P3的斜率

22a

k=tanZPF,F2=^=^=—,

IBFil罵5

在△PFF2中，tanNPFFz=之差，

即而b?=4ac=V5(a,-c?)=4ac,

方程兩邊同時除以a\整理可得而e?+4e-遙=0,

解得e考或e=-V5(舍)，.二e=y.

5.答案5

解析設B(t,u),由而=2而，易得A(-2t,3-2u).

t2

——I-u2=m,

?點A,B者B在橢圓上，

9+(3—2u)2m,

o*24-2

從而有土+3/1211+9=0,gp-+2=4u-3,

44u

.o?m+3

??4Au-3=m,??u=-----,

4

.t2,(m+3)2

??一十-----------=m,

416

??.代中聲河小5)2+4.

當m=5時，*)耐=4,即1111rax=2,

即當m=5時，點B橫坐標的絕對值最大.

22

6.A設雙曲線C的標準方程為J-2=l(a>0,b>0),由題意知|PF』-

azbz

IPF2|=2a,IPF.|=3|PF2|,兩式聯(lián)立解得|PF,|=3a,|PF21=a，又|F,F2|=2c,所以在

△PFF2中由余弦定理得EF2「=|PF/2+|PF2|2-2|PF』IPF2ICOSNFFF2,即

4c2=9a2+a2-2X3aXaXcos60°,可得巳二,所以雙曲線C的離心率e=J”故選

a2a2

A.

7.B直線x=a與雙曲線C的兩條漸近線y=±-x分別交于D,E兩點,貝I」|DE|=|y「

a

y』=2b,所以SAODE=|,a,2b=ab,即ab=8.

所以c2=a?+b222ab=16(當且僅當a=b時取等號)，即c,?in=4,

所以雙曲線的焦距2c的最小值為8,故選B.

22

8.A由雙曲線的方程為土-J與，知a=2,b=V2,故c=Va2+b2=V6,漸近線的方程

42

為y=土?x.

令NPOF=。，由tan。邛得|PQ|=|0Q|tan§專吟普，

.,?△PFO的面積S二|OF|?|PQ|=X遙X立'學故選A.

2224

9.答案4

解析由雙曲線C:立-y2=l(m>0),得漸近線方程為y=土畫x,

mm

結(jié)合題設得-竺-絲...m=3,.?.雙曲線C的方程為，y2=l,「.C的焦距為

mm3

2Vm>4.

10.答案2

解析點B為雙曲線的通徑位于第一象限的端點,其坐標為《,9)，點A的坐標為

(a,0).

2

b22

VAB的斜率為3,.，.q=3,即0一J+a=e+]=3,.-.=2.故離心率e=2.

c-aa(c-a)ae

11.B拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標是《,0),由點6,0)到直線x-y+l=0的距離

為應,可得睜=魚,即與+1=2,解得p=2或p=—6,XVp>0,.\p=-6不合題意,舍

V22

去，，p=2.故選B.

12.B由拋物線的對稱性,不妨設D在x軸上方、E在x軸下方.

由心2—：得D(2,2四),E(2,-2膽),

V0D10E,：.~OD?屁=4-4p=0,.\p=l,

AC的焦點坐標為C，。)，故選B.

13.D1拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標為(l，0),

.,.由已知得橢圓導f的一個焦點為信0),

n2

3p-p=—,又p>0,/.p=8.

4

14.答案5;4V5

解析設點M的坐標為(xo,y0),則有|FM|=Xo+l=6,解得x0=5,所以M的橫坐標是5.

將x0=5代入y=4x,得|y°|=2圾由題意得SA?=|x(5-1)X26=4病

15.答案V3-l;2

解析如圖是一個正六邊形,A,B,C,D是雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個

交點,FbF2為橢圓M的兩個焦點.

?.?直線AC是雙曲線N的一條漸近線,且其方程為尸岳,.?唱S.

H+（回）2

設Im|=k，則|n|=8k,則雙曲線N的離心率叱一―=2.

連接FC,在正六邊形ABF2CDF1中，可得NF￡F2=90°,NCFF2=30°.

設橢圓的焦距為2c,則|CF2|=C,ICF.|=V3c,再由橢圓的定義得ICFiI+1CF21=2a,即

(遍+l)c=2a,.?.橢圓M的離心率$*=高=77等著=gT.

CLV3+1(V3+1)(V3-1)

16.解析⑴由題意知IFF21=2后,因為|MFiHMF?|=2<|FEI=2后,所以結(jié)合

雙曲線的定義知，點M的軌跡C是以品,Fz為焦點的雙曲線的右支.

設其方程為丁為1(a>0,b>0,x2a),則2a=2,2c=2g,

解得a=l,c=V17,則b2=c*-a2=(V17)2-l2=16,

所以M的軌跡c的方程為y=i(x?

/、/.、fy=自(%」)+m,

⑵如圖，設T&m),直線AB的方程為y-m=k(W),由112j得(16-

\1O

/cf)x2+(k>2klm)x」卷+kim-m2T6=0.

*4

Tv

0

設A（xi,設，B（X2,y2）,

IJIllX+X-七2的m_滔+./內(nèi)+16

人IXiX?416，12好-16，

則|TA|41+<(%]-3"TBI+好(%2-J，

2

所以|TA|?[以|=(1+般)?(%2-|)='(7n+12)(l+/cf)

好-16

設直線PQ的方程為y-m=k2(%-1),

同理得|TP|?m|=(蘇+丫)(1+”

抬-16

因為|TA|?|TB|=|TP|?|TQ|,

(m2+12)(l+fc?)(7n2+12)(l+kj)

所以

抬-16kj-16J

所以常7?需I，即般=必，由題意知kiWk2,

所以ki+k2=0,

即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

17.解析(1)由題意可設拋物線C的方程為y2=2px(p>0),則P,Q的坐標為

(1,±j2p),

V0P10Q,：.OP?麗=1-2P=0,

/.p=p.??拋物線C的方程為y2=x.

OM的圓心為⑵0),OM與直線x=l相切，

.??G)M的半徑為1,

OM的方程為(x-2￥+y2=L

(2)直線A2A3與。M相切.理由如下：

設Ai(7o,y0),A2(yf,yj,A3(yf,y2),

???直線A1A2,A也均與OM相切,

y()W±l,yH±l,y2H±1,

由A”A,的坐標可得直線AA的方程為廠療蕊&-粉整理得x-

(yo+yi)y+yoyi=O,

由于直線A島與0M相切，

AM至I」直線AA2的總巨離d=|2+y°yd=1,

2

Vi+(y0+yi)

整理得(必T)比+2y()yi+3-%=0,①

同理可得，(羽-1)比+2y0y2+3-光=0,②

觀察①②,得y>,y?是關于x的一元二次方程(yQl)x2+2y°x+3-光=0的兩根,

2yo

%+為=f

-%2-11

3■■據(jù)

.=而

同理,得直線A2A3的方程為x-(yi+y2)y+yiy2=0,

|2+yiyl

則點M(2,0)到直線AA3的距離d'=2，把(*)代入，得

22

Vi+(yi+y2)

J,直線AA與。M相切.

(c=V2,(a2=3,

18.解析(1)由題意得［?=￡=漁，解得卜2=1：

U=b4c\3=2,

2c

故橢圓c的方程為?vy=i.

(2)證明：設M(xi,yi),N(X2,y2).

①先證必要性.

易知直線MN的斜率不為0,

因為M,N,F三點共線,F(VI0),

所以設直線MN:x=my+V2.

2

由題意知0(0,0)到直線MN的距離d=7^=l,解得m=l,故m=±l,所以直線

vm2+l

MN:x+y-V2=0,

根據(jù)對稱性,不妨令直線MN:y=x-VI

y=x-y/2,2

聯(lián)立久29消y整理得4X-6V2X+3=0.

b+y=L

2

故X1+X2=當,X1X2=^,所以|MN|=V1+l?IX1-X21=V2XY(X]+%2)2-4%[%2=V5,即

24

必要性成立.

②再證充分性.

易知直線MN的斜率存在,設其方程為y=kx+t.

由題意得碧/b=l,即t2=l+k2.

(y=kx+t,

由1消去y并整理，得(l+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0,

ly+7-1，

Mil.6kt3t2-3

則X1+X2=-^X1X2=^

所以IMNI=J(1+N2)[(11+%2)2-4%1%21

=」(1+妙)[(-舟)2-4義品]

_512(t2-i_3H)(l+[2)_124k2(1+H5

―1(l+3fc2)2J(l+3/c2)2*

因為|MN|=V3,所以81,解得k2==l,則t"=2.

因為Xi+X2=-'^>O,即kt<0,

所以k=l,t=-V^或k=T,t=V2,

所以直線MN的方程為y=x-&或y=-x+V2.

無論哪一種情況,直線MN恒過焦點F,所以M,N,F三點共線.

故M,N,F三點共線的充要條件是IMN|=8.

三年模擬練

1.C因為NCBF2=NCFzB,所以|BC卜=|CF2］，由|CFiHCF2|=|BF2|-|BF』=2a,得

IBF,|=2a,|BF21=4a,

故C°SNBFF=眼^亞血=生金尤，

2|FF1||F1F2|8ac

由/tFiC=tanNBFF2=*得cosZBFiF2=p

所以4a2+y16a22令整理，得b2_2b_2=())解得b=l+遮(負值舍去)，所以雙

8acc

曲線的漸近線方程為y=±(V3+l)x,故選C.

2.C如圖，作OA_LFM于點A,作F2B±F,M于點B.因為F,M與圓x?+y2=a2相切,所

以10A|=a，所以|&A|=J|OFi|2-|OA|2=b,又0為FR的中點,0A〃F2B,所以

IF2B|=210A|=2a,|RB|二2|FA|=2b,

在RtABMF,中，ZBMF2=60°，所以|BM仁小史H3竺|F2M|=—,又點M在雙曲

tan60V333

線的右支上,所以IF1MHFM=|RBI+1BMHF2Ml=2b+竽-竽=2a,整理,得

b=^a,所以絲絲

3a3

所以雙曲線的漸近線方程為y=±等x.故選c.

3.BCD不妨設4ABC的直角邊長為m,則斜邊長為&m,

如果圓錐曲線是橢圓,

當橢圓以兩個非直角頂點為焦點且經(jīng)過直角頂點時,離心率e蚩要哼

當橢圓以一個非直角頂點和直角頂點為焦點且經(jīng)過另一個非直角頂點時，離心率

e==&-1.

2am+V2m

如果圓錐曲線是雙曲線,則雙曲線只能以一個非直角頂點和直角頂點為焦點且經(jīng)

過另一個非直角頂點，離心率e二親焉：魚+1.

故選BCD.

4.D設兩耳所在雙曲線的實軸長為2a,焦距為2c,虛軸長為2b,

則2a=3*10-5*334=0.01002(m),2c=0.2m,

b

tan一,

a

所以sin-=—-001002^0.0501^0.05.故選D.

5.BCD由題意知,雙曲線C的漸近線方程為x土ay=0,因為圓（x-2）2+y2=l與漸近

線相切，所以舟口，解得a=B（負值舍去），所以實軸長2a-「2,

所以e金乎,故A錯誤,B正確;設P（x。,y。），則d尸如孚”&上呼型所以

a322

d&=!空辿,壓吐警［上用q故C正確；設A（XI,y.）,B（X2,y2）,則

2244

yi+y2.,聯(lián)立直線1與雙曲線C的方程,消去y,得（1-3幅）x2-6kjnx-

22

2

(3m+3)=0,所以xi+x2=半瞿,山+丫2=-，貝Ik2=—即kk=；,故D正確.故

1一3峪1-3爛％i+%23kl3

選BCD.

6.ABD延長BA,交準線m于點Q.設|FA|=|AAj=t,|FB|=|BB/=3t,|AQ|=x，則

△QAA|S^QBBi=^=^n3/nx=2t,又NAAQ=90°,

\QB\x+4t3t

.?.k=B，故A正確；

由題知F(l,0),則直線1的方程為y=k(x-1)(k>0),設A3,由，B3,yl,聯(lián)立

『2=5"1)'消去y并整理，得k2x2-

(片=4x,

22+=

(2k+4)x+k=0,2x1x2=l,?>-——%:"*、=L故B

k\FA\\FB\Xi+1x2+lx1x2+(x1+x2)+l

正確；若k=l,則XI+X2=6,IABI=XI+X2+2=8,故C錯

^;VZBB1F=ZB1FB,NAAF=NAFA,AZB1FB+ZA1FA=^^+^^=9

0°,即NAFB尸90°,故D正確.故選ABD.

7.答案6

解析由題意得0(0,0)析(-1,0).設P(x,y),-2Wx<2,

則而,麗=(x,y)?(x+1,y)=x2+x+y2,

又點P在橢圓上,所以x2+x+y2=x2+x+(3—-%2)=^