新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第31講 基本立體圖形及幾何體的表面積與體積（原卷版）

第31講基本立體圖形及幾何體的表面積與體積（精講）題型目錄一覽①空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征②空間幾何體的表面積③空間幾何體的體積一、知識點梳理一、知識點梳理一、構(gòu)成空間幾何體的基本元素（1）空間中，點動成線，線動成面，面動成體．（2）空間中，不重合的兩點確定一條直線，不共線的三點確定一個平面，不共面的四點確定一個空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）．二、簡單凸多面體—棱柱、棱錐、棱臺1．棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長都相等的長方體．2．棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐．3．棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示．三、簡單旋轉(zhuǎn)體—圓柱、圓錐、圓臺、球1．圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．2．圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．3．圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺．4．球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）．四、組合體由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．五、表面積與體積計算公式表面積公式表面積柱體SKIPIF1<0SKIPIF1<0為直截面周長SKIPIF1<0SKIPIF1<0錐體SKIPIF1<0SKIPIF1<0臺體SKIPIF1<0SKIPIF1<0球SKIPIF1<0體積公式體積柱體SKIPIF1<0錐體SKIPIF1<0臺體SKIPIF1<0球SKIPIF1<0六、空間幾何體的直觀圖1．斜二測畫法斜二測畫法的主要步驟如下：（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，建立直角坐標(biāo)系．（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于SKIPIF1<0軸的線段，在直觀圖中畫成平行于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），它們確定的平面表示水平平面．（3）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于SKIPIF1<0軸的線段，在直觀圖中畫成平行于SKIPIF1<0軸的線段，且長度保持不變；在已知圖形平行于SKIPIF1<0軸的線段，在直觀圖中畫成平行于SKIPIF1<0軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话悖珊喕癁椤皺M不變，縱減半”．（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫虛線．注：直觀圖和平面圖形的面積比為SKIPIF1<0．2．平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征策略方法需要熟悉幾何體的基本概念.【典例1】（單選題）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（

）A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）【典例2】（單選題）將表面積SKIPIF1<0的圓錐沿母線將側(cè)面展開，得到一個圓心角為SKIPIF1<0的扇形，則該圓錐的軸截面的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（單選題）圓臺SKIPIF1<0母線長為3，下底直徑為10，上底直徑為5，過圓臺兩條母線作截面，則該截面面積最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上都不對【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知直角梯形ABCD，現(xiàn)繞著它的較長底CD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（

）A．一個圓柱、一個圓錐 B．一個圓柱、兩個圓錐C．一個圓臺、一個圓柱 D．兩個圓柱、一個圓臺2．用一平面去截一長方體，則截面的形狀不可能是（

）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形3．在一個密閉透明的圓柱桶內(nèi)裝一定體積的水，將圓柱桶分別豎直、水平、傾斜放置時，圓柱桶內(nèi)的水平面所在平面截圓柱桶所成的截口曲線的所有類型有：（

）①矩形

②圓

③橢圓

④部分拋物線

⑤部分橢圓A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④4．如圖所示，在三棱臺SKIPIF1<0中，沿平面SKIPIF1<0截去三棱錐SKIPIF1<0，則剩余的部分是（

）

A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．組合體5．已知在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則過這三點的截面圖的形狀是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形6．圓錐的母線長為4，側(cè)面積是底面積的SKIPIF1<0倍，過圓錐的兩條母線作圓錐的截面，則該截面面積的最大值是（

）A．8 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．毛澤東在《七律二首?送瘟神》中有句詩為“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不動，由于地球的自轉(zhuǎn)，每晝夜會隨著地面經(jīng)過八萬里路程.詩中所提到的八萬里，指的是人坐在赤道附近所得到的數(shù)據(jù).設(shè)某地所在緯度為北緯SKIPIF1<0（即地球球心SKIPIF1<0和該地的連線與赤道平面所成的角為SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0.若將地球近似看作球體，則某人在該地每晝夜隨著地球自轉(zhuǎn)而經(jīng)過的路程約為（

）A．SKIPIF1<0萬里 B．SKIPIF1<0萬里 C．SKIPIF1<0萬里 D．SKIPIF1<0萬里8．羽毛球運(yùn)動是一項全民喜愛的體育運(yùn)動，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為SKIPIF1<0，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端所圍成圓的直徑是SKIPIF1<0，底部所圍成圓的直徑是SKIPIF1<0，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開圖的圓心角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．如下圖所示，在正方體SKIPIF1<0中，如果點E是SKIPIF1<0的中點，那么過點SKIPIF1<0、B、E的截面圖形為（

）A．三角形

B．矩形 C．正方形 D．菱形10．石碾子是我國傳統(tǒng)糧食加工工具，如圖是石碾子的實物圖，石碾子主要由碾盤、碾滾（圓柱形）和碾架組成．碾盤中心設(shè)豎軸（碾柱），連碾架，架中裝碾滾，以人推或畜拉的方式，通過碾滾在碾盤上的滾動達(dá)到碾軋加工糧食作物的目的．若推動拉桿繞碾盤轉(zhuǎn)動2周，碾滾的外邊緣恰好滾動了5圈，碾滾與碾柱間的距離忽略不計，則該圓柱形碾滾的高與其底面圓的直徑之比約為（

）A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：311．已知正方體SKIPIF1<0的棱長為3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上靠近點SKIPIF1<0的三等分點，則平面SKIPIF1<0截該正方體所得截面的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．在沒有其他因素影響時，飛機(jī)的航線往往選取的是兩地之間的最短距離．設(shè)地球為一半徑為R的球體，一架飛機(jī)將從A地東經(jīng)SKIPIF1<0飛至B地東經(jīng)SKIPIF1<0，且A，B兩地緯度都為SKIPIF1<0．若飛機(jī)始終在地球球面上運(yùn)動，則該飛機(jī)飛行的最短路程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個圓柱容球，SKIPIF1<0為圓柱上下底面的圓心，SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為底面圓SKIPIF1<0的一條直徑，若球的半徑SKIPIF1<0，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題14．下列關(guān)于棱柱的說法正確的是（

）A．棱柱的兩個底面一定平行B．棱柱至少有五個面C．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱D．正四棱柱一定是長方體15．下列命題正確的是（

）A．兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形C．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形D．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行16．如圖，SKIPIF1<0為正方體中所在棱的中點，過SKIPIF1<0兩點作正方體的截面，則截面的形狀可能為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形17．如果一個凸n面體共有m個面是直角三角形，那么我們稱這個凸n面體的直度為SKIPIF1<0，則（

）A．三棱錐的直度的最大值為1B．直度為SKIPIF1<0的三棱錐只有一種C．四棱錐的直度的最大值為1D．四棱錐的直度的最大值為SKIPIF1<0三、填空題18．設(shè)有以下四個命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長方體；③直四棱柱是直平行六面體；④棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點.其中正確命題的序號是.19．一圓錐的側(cè)面展開圖為一圓心角為SKIPIF1<0的扇形，該圓錐母線長為6，則圓錐的底面半徑為．20．長方體SKIPIF1<0的底面是邊長為1的正方形，若在側(cè)棱SKIPIF1<0上至少存在一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則側(cè)棱SKIPIF1<0的長的最小值為.21．如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0的中點．將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，在翻折過程中，直線SKIPIF1<0被三棱錐SKIPIF1<0的外接球截得的線段長的取值范圍為．22．在棱長為4的正方體SKIPIF1<0中，點P、Q分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，點M為正方體表面上一動點，若MP與CQ垂直，則點M所構(gòu)成的軌跡的周長為.23．如圖，某圓柱的高為4，底面周長為16，SKIPIF1<0，則在此圓柱側(cè)面上，從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的路徑中，最短路徑的長度為.題型二空間幾何體的表面積策略方法空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．【典例1】（單選題）在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹堵”的底面是斜邊長為SKIPIF1<0的等腰直角三角形，高為SKIPIF1<0，則該“塹堵”的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（單選題）一個正三棱錐的每一個面都是邊長是1的正三角形，則此正三棱錐的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（單選題）亭是我國古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場所，也是園林風(fēng)景的重要點綴．重檐圓亭（圖1）是常見的一類亭，其頂層部分可以看作是一個圓錐以及一個圓臺（圖2）的組合體．已知某重檐涼亭的圓臺部分的軸截面如圖3所示，則該圓臺部分的側(cè)面積為（）A．SKIPIF1<0m2 B．3.6SKIPIF1<0m2 C．7.2SKIPIF1<0m2 D．11.34SKIPIF1<0m2【題型訓(xùn)練】一、單選題1．在一個正六棱柱中挖去一個圓柱后，剩余部分幾何體如圖所示．已知正六棱柱的底面正六邊形邊長為3cm，高為4cm，內(nèi)孔半徑為1cm，則此幾何體的表面積是（

）SKIPIF1<0．

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知一個直棱柱與一個斜棱柱的底面多邊形全等，且它們的側(cè)棱長也相等．若直棱柱的體積和側(cè)面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，斜棱柱的體積和側(cè)面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系無法確定3．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹堵”的底面是斜邊長為SKIPIF1<0的等腰直角三角形，高為SKIPIF1<0，則該“塹堵”的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．位于徐州園博園中心位置的國際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個國際館中3個展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達(dá)了理性主義與浪漫主義的對立與統(tǒng)一.其中最大的是3號展館，其頂部所對應(yīng)的正四棱錐底面邊長為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）A．2 B．1.71 C．1.37 D．15．為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為SKIPIF1<0，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知兩個圓錐的軸截面均為等邊三角形，兩個圓錐的表面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，體積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．47．柷（zhù），是一種古代打擊樂器，迄今已有四千多年的歷史，柷的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂曲將開始.如圖，某柷（含底座）高SKIPIF1<0，上口正方形邊長SKIPIF1<0，下口正方形邊長SKIPIF1<0，底座可近似地看作是底面邊長比下口邊長長SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（SKIPIF1<0）（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成SKIPIF1<0的正四棱臺（如圖所示），其中上底面與下底面的面積之比為SKIPIF1<0，方亭的高為棱臺上底面邊長的SKIPIF1<0倍.已知方亭的體積為SKIPIF1<0，則該方亭的表面積約為（

）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知圓臺上下底面半徑之比為SKIPIF1<0，母線與底面所成的角的正弦值為SKIPIF1<0，圓臺體積為SKIPIF1<0，則該圓臺的側(cè)面面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知某圓臺的高為SKIPIF1<0，上底面半徑為1，下底面半徑為2，則其側(cè)面展開圖的面積為（

）A．9π B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．8π11．已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的正方形，側(cè)面均為腰長為SKIPIF1<0的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．我國元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤澤，底足露胎，胎質(zhì)致密．碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書有一文字，碗外壁繪有一周纏枝團(tuán)菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫．該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.3厘米，底徑2.8厘米，高4厘米，它的形狀可近似看作圓臺，則其側(cè)面積約為（單位：平方厘米）（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器.該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足.器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑22.5cm，足徑14.4cm，高3.8cm，其中底部圓柱高0.8cm，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（

）（附：圓臺的側(cè)面積SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩底面半徑，SKIPIF1<0為母線長，其中SKIPIF1<0的值取3，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，它是由正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐得到.已知SKIPIF1<0，若該半正多面體的表面積為SKIPIF1<0，體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<015．在2023年3月12日馬來西亞吉隆坡舉行的YongJunKLSpeedcubing比賽半決賽中，來自中國的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績打破了“解三階魔方平均用時最短”吉尼斯世界紀(jì)錄稱號.如圖，一個三階魔方由27個單位正方體組成，把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動了SKIPIF1<0之后，表面積增加了（

）

A．54 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看作一個多面體，圖2是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形ABFE和四邊形DCFE是兩個全等的等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是兩個全等的正三角形.已知該多面體的棱BF與平面ABCD所成的角為45°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該屋頂?shù)谋砻娣e為（

）A．100 B．SKIPIF1<0 C．200 D．SKIPIF1<0二、多選題17．如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑SKIPIF1<0相等，下列結(jié)論正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0 B．圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等 D．三個幾何體的表面積中，球的表面積最小18．等腰直角三角形直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．已知圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，母線SKIPIF1<0長為2，SKIPIF1<0為母線SKIPIF1<0中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓臺母線SKIPIF1<0與底面所成角為60° B．圓臺的側(cè)面積為SKIPIF1<0C．圓臺外接球半徑為2 D．在圓臺的側(cè)面上，從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短路徑的長度為520．在矩形ABCD中，以AB為母線長，2為半徑作圓錐M，以AD為母線長，8為半徑作圓錐N，若圓錐M與圓錐N的側(cè)面積之和等于矩形ABCD的面積，則（

）A．矩形ABCD的周長的最小值為SKIPIF1<0B．矩形ABCD的面積的最小值為SKIPIF1<0C．當(dāng)矩形ABCD的面積取得最小值時，SKIPIF1<0D．當(dāng)矩形ABCD的周長取得最小值時，SKIPIF1<021．?dāng)€尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑，園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為SKIPIF1<0，這個角接近SKIPIF1<0，若取SKIPIF1<0，側(cè)棱長為SKIPIF1<0米，則（

）A．正四棱錐的底面邊長為6米 B．正四棱錐的底面邊長為3米C．正四棱錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0平方米 D．正四棱錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0平方米三、填空題22．若一個圓錐的軸截面是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為.23．“幾何之父”歐幾里得最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書．《幾何原本》中提出了面積射影定理：平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積SKIPIF1<0乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦．已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為5、13，側(cè)面與底面成SKIPIF1<0角，則它的側(cè)面積等于．24．已知圓臺的下底面半徑是上底面半徑的2倍，其側(cè)面展開圖是一個面積為SKIPIF1<0的半圓環(huán)，則該圓臺的高為．25．陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，也稱陀羅，圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中SKIPIF1<0是圓錐的頂點，SKIPIF1<0分別是圓柱的上、下底面圓的圓心，且SKIPIF1<0，底面圓的半徑為1，則該陀螺的表面積是.

26．直四棱柱SKIPIF1<0的底面是菱形，其側(cè)面積是SKIPIF1<0，若該直四棱柱有外接球，則該外接球的表面積的最小值為．27．在正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該棱臺的表面積為．28．已知圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0，其外接球的表面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為．29．如圖所示，有兩個相同的直三棱柱，高為SKIPIF1<0，底面三角形的三邊長分別為3a，4a，SKIPIF1<0．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是．

30．已知球O的半徑為SKIPIF1<0，正三棱錐O－ABC的底面的各個頂點均在球O的球面上，當(dāng)正三棱錐O－ABC的體積取得最大值時，其側(cè)面積為題型三空間幾何體的體積策略方法求空間幾何體的體積的常用方法【典例1】（單選題）已知一個圓柱的側(cè)面展開圖內(nèi)切圓的半徑為1，則該圓柱的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（單選題）氣象學(xué)中，24小時內(nèi)降落在某面積上的雨水深度（無滲漏?蒸發(fā)?流失等，單位：SKIPIF1<0）叫做日降雨量，等級如下劃分：降水量SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0等級小雨?陣雨中雨大雨暴雨某同學(xué)用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖所示，則那天降雨屬于哪個等級（

）

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【典例3】（單選題）如圖，一種棱臺形狀的無蓋容器(無上底面SKIPIF1<0)模型其上、下底面均為正方形，面積分別為4cm2，9cm2，且SKIPIF1<0.若該容器模型的體積為SKIPIF1<0cm3，則該容器模型的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練】一、單選題1．端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．地區(qū)不同，制作的粽子形狀也不同，圖中的粽子接近于正三棱錐．經(jīng)測算，煮熟的粽子的密度為SKIPIF1<0，若圖中粽子的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則該粽子的重量大約是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.如圖“竹器驗雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度SKIPIF1<0器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位SKIPIF1<0），則平地降雪厚度的近似值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．《工程做法則例》是清朝雍正時期官方發(fā)布的一部較為系統(tǒng)全面的建筑工程專書，里面有一句話：“凡檐柱（支撐屋檐的柱子）以面闊十分之八定高，以百分之七定徑寸（直徑）．”這句話規(guī)定了房屋檐柱的高、直徑與房屋寬度之間的比例．假設(shè)某座房子的“面闊”為SKIPIF1<0，檐柱形狀為圓柱，根據(jù)書中這句話的要求，這座房子的一根檐柱的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知圓臺的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為1，則圓臺的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．遼寧省博物館收藏的商晚期饕餮紋大圓鼎（如圖1）出土于遼寧省略左縣小波汰溝．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分別飾單層獸面紋，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主體部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（忽略鼎壁厚度），如圖2所示．已知球的半徑為R，圓柱的高近似于半球的半徑，則此鼎的容積約為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中SKIPIF1<0分別是上?下底面圓的圓心，且SKIPIF1<0，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且面積為4，則圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．如圖，某種中藥膠囊外形是由兩個半球和一個圓柱組成的，半球的直徑是SKIPIF1<0，圓柱高SKIPIF1<0，則該中藥膠囊的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱體積比是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知圓錐的母線長為2，并且圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為SKIPIF1<0，則此圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．我國歷史文化悠久，“爰”銅方彝是商代后期的一件文物，其蓋似四阿式屋頂，蓋為子口，器為母口，器口成長方形，平沿，器身自口部向下略內(nèi)收，平底、長方形足、器內(nèi)底中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字.通高24cm，口長13.5cm，口寬12cm，底長12.5cm，底寬10.5cm.現(xiàn)估算其體積，上部分可以看作四棱錐，高約8cm，下部分看作臺體，則該文物的體積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水體積為盆體積的一半，則平地降雨量約是（

）寸.（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）A．3 B．4 C．5 D．613．如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)棱長為SKIPIF1<0cm．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝SKIPIF1<0（

）

A．1.5L B．1.7L C．2.3L D．2.7L14．公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，開創(chuàng)了秦朝統(tǒng)一度量衡的先河.如圖，升體是長方體，手柄近似空心的圓柱.已知銅方升總長是SKIPIF1<0，內(nèi)口長SKIPIF1<0，寬SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0（忽略壁的厚度，取圓周率SKIPIF1<0），若手柄的底面半徑為SKIPIF1<0，體積為SKIPIF1<0，則銅方升的容積約為（小數(shù)點后保留一位有效數(shù)字）（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．已知圓臺上下底面半徑之比為SKIPIF1<0，母線與底面所成的角的正弦值為SKIPIF1<0，圓臺體積為SKIPIF1<0，則該圓臺的側(cè)面面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．如圖，是SKIPIF1<0年在陜西寶雞賈村出土的一口“何尊”（尊為古代的酒器，用青銅制成），尊內(nèi)底鑄有SKIPIF1<0行、SKIPIF1<0字銘文．銘文中寫道“唯武王既克大邑商，則廷告于天，曰：‘余其宅茲中國，自之辟民’”，其中宅茲中國為“中國”一詞最早的文字記載．“何尊”可以近似看作是圓臺和圓柱組合而成，經(jīng)測量，該組合體的高約為SKIPIF1<0，上口的直徑約為SKIPIF1<0，圓柱的高和底面直徑分別約為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則“何尊”的體積大約為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．已知菱形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，則將菱形SKIPIF1<0以其中一條邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．）在馬致遠(yuǎn)的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風(fēng)迷宿草，穹廬夜月聽悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為SKIPIF1<0，圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0，則該氈帳的體積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時期的文物，現(xiàn)收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的4倍，若幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分別為SKIPIF1<0，則幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的體積之比為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．已知一個直棱柱與一個斜棱柱的底面多邊形全等，且它們的側(cè)棱長也相等．若直棱柱的體積和側(cè)面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，斜棱柱的體積和側(cè)面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系無法確定21．車木是我國一種古老的民間手工工藝，指的是用刀去削旋轉(zhuǎn)著的木頭，可用來制作家具和工藝品，隨著生產(chǎn)力的進(jìn)步，現(xiàn)在常借助車床實施加工．現(xiàn)要加工一根正四棱柱形的條木，底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0．將條木兩端夾住，兩底面中心連線為旋轉(zhuǎn)軸，將它旋轉(zhuǎn)起來，操作工的刀頭逐步靠近，最后置于離旋轉(zhuǎn)軸SKIPIF1<0處，沿著旋轉(zhuǎn)軸平移，對整塊條木進(jìn)行加工，則加工后木塊的體積為（

）SKIPIF1<0．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．古希臘亞歷山大時期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，S表示平面圖形的面積，SKIPIF1<0表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長）.如圖，等腰梯形SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則其重心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題23．折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧SKIPIF1<0所在圓的半徑分別是3和9，且SKIPIF1<0，則該圓臺的（

）A．高為SKIPIF1<0 B．體積為SKIPIF1<0C．表面積為SKIPIF1<0 D．上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為SKIPIF1<024．?dāng)€尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑，園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值近似為SKIPIF1<0，側(cè)棱長近似為SKIPIF1<0米，則下列結(jié)論正確的是（

）A．正四棱錐的底面邊長近似為3米B．正四棱錐的高近似為SKIPIF1<0米C．正四棱錐的側(cè)面積近似為SKIPIF1<0平方米D．正四棱錐的體積近似為SKIPIF1<0立方米25．正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱長為SKIPIF1<0，則下列敘述正確的是（

）A．正三棱錐高為3 B．正三棱錐的斜高為SKIPIF1<0C．正三棱錐的體積為SKIPIF1<0 D．正三棱錐的側(cè)面積為SKIPIF1<026．沙漏，據(jù)《隋志》記載：“漏刻之制，蓋始于黃帝”．它是古代的一種計時裝置，由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm，細(xì)沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的SKIPIF1<0（細(xì)管長度忽略不計）．假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下SKIPIF1<0的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆．以下結(jié)論正確的是（

）A．沙漏的側(cè)面積是SKIPIF1<0B．沙漏中的細(xì)沙體積為SKIPIF1<0C．細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cmD．該沙漏的一個沙時大約是837秒SKIPIF1<027．如圖，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別為圓臺上?下底面直徑，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（

）

A．圓臺的全面積為SKIPIF1<0B．圓臺的體積為SKIPIF1<0C．圓臺的中截面（過圓臺高的中點且平行底面的截面）面積為SKIPIF1<0D．從點SKIPIF1<0經(jīng)過圓臺的側(cè)面到點SKIPIF1<0的最短距離為SKIPIF1<028．在正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點