2021學年八年級下冊數(shù)學專題專題1.5 數(shù)據(jù)的初步分析章末重難點題型

專題L5數(shù)據(jù)的初步分析章末重難點題型

【滬科版】

/\\考點5方差的計算

考點13從頻數(shù)分布直方圖獲取信息------\X.

\--------考點6方差的意義

考點14從頻數(shù)分布折線圖獲取信息----

考點7平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的命題判斷

考點15與輟歷布直方圖有關綜合題一

《融吩刑

【考點1平均數(shù)的計算】

【方法點撥】平均數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，用數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)就得到這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

【例1】（2019春?瓊中縣期末）如果一組數(shù)據(jù)-3,x,0,1,無，6,9,5的平均數(shù)為5,則彳為（）

A.22B.11C.8D.5

【分析】根據(jù)算術平均數(shù)的計算方法列方程求解即可.

【答案】解：由平均數(shù)的計算公式得：1（-3+x+0+l+x+6+9+5）=5

8

解得：x=ll,

故選：B.

【點睛】考查算術平均數(shù)的計算方法，利用方程求解，熟記計算公式是解決問題的前提，是比較基礎的

題目.

【變式1-1]（2019?邵陽縣模擬）如果兩組數(shù)據(jù)4,血......無"；yi，V2……為的平均數(shù)分別為彳和7,那么

新的一組數(shù)據(jù)2xi+yi，1x2+y2......2x”+y“的平均數(shù)是（)

A.2xB.2yC.2^+yD.4x+y

2

【分析】均數(shù)的計算方法是求出所有數(shù)據(jù)的和，然后除以數(shù)據(jù)的總個數(shù).

【答案】解：由已知，（%1+%2+…+初）=nx，

（yi+>2+…+必）=ny,

新的一組數(shù)據(jù)2xi+yi,2x2+”……2%+?的平均數(shù)為

（2xi+yi,2x2+y2...2xn+yn）+幾

=[2（xi+x2+…+%）+（yi+”+…+加）]+〃

=（2nx+ny）

=2x+y

故選：C.

【點睛】本題考查平均數(shù)的計算，可以先把它們都加起來，再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)，平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)

中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù).它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項指標.

【變式1-2]（2019春?永春縣期中）已知一組數(shù)據(jù)41，〃2，〃3，〃4，。5的平均數(shù)為5,則另一組數(shù)據(jù)41+5,

〃2-5,的+5,（24-5,恁+5的平均數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.10

【分析】根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)，所有數(shù)之和除以總個數(shù)即可得出平均數(shù).

【答案】解：依題意得：41+5+及一5+43+5+44-5+45+5

=。1+〃2+43+〃4+〃5+5

=30,

所以平均數(shù)為6.

故選：C.

【點睛】本題考查的是平均數(shù)的定義，本題利用了整體代入的思想，解題的關鍵是了解算術平均數(shù)的定

義，難度不大.

【變式1-3]（2018春?南寧期末）陽,如…，尤,的平均數(shù)為。，Xu，X12,乃0的平均數(shù)為6,則無1，

XI,X50的平均數(shù)為（）

A.a+bB.查C.儂+50bD.—40b

26050

【分析】先求前10個數(shù)的和，再求后40個數(shù)的和，然后利用平均數(shù)的定義求出50個數(shù)的平均數(shù).

【答案】解：前10個數(shù)的和為10。，后40個數(shù)的和為406,50個數(shù)的平均數(shù)為l°a+40b.

50

故選：D.

【點睛】正確理解算術平均數(shù)的概念是解題的關鍵.

【考點2加權平均數(shù)的計算】

【方法點撥】在通常計算平均數(shù)的過程中，各個數(shù)據(jù)在結果中所占的份量是相等的。而實際情況有時并非

如此，如果要區(qū)分不同的數(shù)據(jù)的不同權重，就需要使用加權平均數(shù).當我們改變一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)值所占的

權重時，這組數(shù)據(jù)的加權平均數(shù)就有可能隨之改變.

【例2】（2019?恩施州）某中學規(guī)定學生的學期體育成績滿分為100分，其中早鍛煉及體育課外活動占20%,

期中考試成績占30%,期末考試成績占50%.小桐的二項成績（百分制）依次為95,90,85.則小桐這

學期的體育成績是（）

A.88.5B.86.5C.90D.90.5

【分析】直接利用每部分分數(shù)所占百分比進而計算得出答案.

【答案】解：由題意可得，小桐這學期的體育成績是：

95X20%+90X30%+85X50%=19+27+42.5=88.5（分）.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了加權平均數(shù)，正確理解各部分所占百分比是解題關鍵.

【變式2-11（2019春?紅河州期末）某居民小區(qū)10戶家庭5月份的用水情況統(tǒng)計結果如表所示：

月用水量/加345689

戶數(shù)23311

這10戶家庭的月平均用水量是（）

A.2m3B.3.2m3C.5.8m3D.6.4m3

【分析】加權平均數(shù)：若〃個數(shù)XI,X2,尤3,…，尤"的權分別是Wl,W2,W3,…，Wn,則尤Iwl+x2w2+…

+xnwnwl+w2+—+wn叫做這n個數(shù)的加權平均數(shù).

【答案】解：這10戶家庭的月平均用水量工（4X2+5X3+6X3+8X1+9X1）=5.8（m3）,

10

故選：C.

【點睛】本題考查了加權平均數(shù)，熟練運用加權平均數(shù)公式計算是解題的關鍵.

【變式2-21（2019春?門頭溝區(qū)期末）兩位應聘者進行某公司一個英文翻譯崗位，以下是兩位應聘者的英

語聽、說、譯、寫四方面水平測試成績，公司決定在考慮整體水平的基礎上，側重對“聽說能力”的考查,

賦予了四方面水平的權重，其中合理的是（）

應聘者面試筆試平均

聽說譯寫成績

甲9790948792

乙8594979292

A.0.2,0.2,0.3,0.3B.0.25,0.25,0.25,0.25

C.0.3,0.3,0.2,0.2D.0.5,0.5,0.0,0.0

【分析】因為側重對“聽說能力”的考查，所以對“聽說能力”的考查應賦予較高的權重.

【答案】解：因為側重對“聽說能力”的考查，所以對“聽說能力”的考查應賦予較高的權重，

故選：C.

【點睛】本題考查了加權平均數(shù)，熟練運用加權平均數(shù)公式是解題的關鍵.

【變式2-3］（2019秋?河西區(qū)期末）某城市2017年公務員錄用考試是這樣統(tǒng)計成績的，綜合成績=筆試成

績x60%+面試成績X40%,小紅姐姐的筆試成績是82分，她的競爭對手的筆試成績是88分，小紅姐姐要

使自己的綜合成績追平競爭對手，則她的面試成績必須比競爭對手多（）

A.4.8分B.6分C.9分D.12分

【分析】設未知數(shù)，根據(jù)加權平均數(shù)的計算方法分別表示各自的最后總分，讓總分相等，求出兩個面試

成績的差即可.

【答案】解：設小紅的姐姐和對手的面試成績分布為yi、”，由題意得：

82X60%+jiX40%=88X60%+”X40%

yi-y2=（88X60%-82X60%）+40%=9,

故選：C.

【點睛】考查加權平均數(shù)的計算方法，權重的不同會對結果造成很大的影響.

【考點3中位數(shù)和眾數(shù)的認識】

【方法點撥】中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，位于正中間位置的數(shù)（或正中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

【例3】（2019春?開福區(qū)校級月考）某次數(shù)學趣味競賽共有10組題目，某班得分情況如下表.全班40名

同學的成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

人數(shù)25131073

成績（分）5060708090100

A.75,70B.70,70C.80,80D.75,80

【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進行解答即可.

【答案】解：把這些數(shù)據(jù)從小到大排列，最中間的兩個數(shù)是第20、21個數(shù)的平均數(shù),

...全班40名同學的成績的中位數(shù)是：巡迎_=75；

2

70出現(xiàn)了13次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是70；

故選：A.

【點睛】此題考查了中位數(shù)和眾數(shù)眾數(shù)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最

中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不

把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

【變式3-1］（2019春?永嘉縣月考）在“全民讀書月”活動中，小明調(diào)查了班級里40名同學本學期購買課外

書的花費情況，并將結果繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖，則這40名同學購買課外書花費的眾數(shù)和中位數(shù)分別

為（）

12

10二二#二.二二二二

8...

■■■■-■一■■)

020305080100費用元

A.30元，30元B.30元，50元C.50元，50元D.50元，80元

【分析】眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，據(jù)此即可判斷；中位數(shù)就是大小處于中間位置的數(shù)，根據(jù)定義判

斷.

【答案】解：?..購買課外書花費30元的有12人，人數(shù)最多，

，眾數(shù)是30元；

把這些數(shù)從小到大排列，最中間的數(shù)是20和21個數(shù)的平均數(shù),

則中位數(shù)是獨皿=50元；

2

故選：B.

【點睛】本題考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)的能力.一些學生往往對這個概念掌握不清楚，計算

方法不明確而誤選其它選項，注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定

中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).

【變式3-2］（2019?深圳模擬）若一組數(shù)據(jù)3,4,x,6,7的眾數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）

A.3B.4C.6D.7

【分析】根據(jù)眾數(shù)的意義求出x的值，再根據(jù)中位數(shù)的意義，從小到大排序后，找出處在第3位的數(shù)即

可.

【答案】解：一組數(shù)據(jù)3,4,x,6,7的眾數(shù)是3,因此尤=3,

將一組數(shù)據(jù)3,4,3,6,7排序后處在第3位的數(shù)是4,因此中位數(shù)是4.

故選：B.

【點睛】考查眾數(shù)、中位數(shù)的意義和求法，眾數(shù)指在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，而中位數(shù)是將一組

數(shù)據(jù)排序后處在中間位置的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)，理解眾數(shù)、中位數(shù)的意義是正確解答的前提.

【變式3-3］（2019春?廬陽區(qū)期末）某籃球隊10名隊員的年齡結構如表：

年齡/歲192021222426

人數(shù)11Xy21

已知該隊隊員年齡的中位數(shù)為21.5,則眾數(shù)是（）

A.21歲B.22歲C.23歲D.24歲

【分析】先根據(jù)數(shù)據(jù)的總個數(shù)及中位數(shù)定義得出x=3、y=2,再利用眾數(shù)的定義求解可得.

【答案】解：???共有10個數(shù)據(jù)，

??x+y59

又該隊隊員年齡的中位數(shù)為21.5,即空空=21.5,

2

；?x=3、y=2,

則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為21,

故選：A.

【點睛】本題主要考查中位數(shù)、眾數(shù)，解題的關鍵是根據(jù)中位數(shù)的定義得出x、y的值.

【考點4平均數(shù)和中位數(shù)結合】

【例4】（2019?眉山）某班七個興趣小組人數(shù)如下：5,6,6,x,7,8,9,已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.6B.6.5C.7D.8

【分析】直接利用已知求出X的值，再利用中位數(shù)求法得出答案.

【答案】解：：5,6,6,X,7,8,9,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7,

.*.x=7X7-C5+6+6+7+8+9）=8,

這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：5,6,6,7,8,8,9

則最中間為7,即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了中位數(shù)，正確得出尤的值是解題關鍵.

【變式4-1]（2019?株洲）若一組數(shù)據(jù)x,3,1,6,3的中位數(shù)和平均數(shù)相等，則x的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的定義分三種情況xWl,1（尤＜3,3W無＜6,龍》6時，分別列出方程，進

行計算即可求出答案.

【答案】解：當xWl時，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則得到：1（x+3+1+6+3）=3,

5

解得％=2（舍去）；

當1VXV3時，中位數(shù)與平均數(shù)相等，貝!J得至!J：—（x+3+1+6+3）=3,

5

解得X—2；

當3WxV6時，中位數(shù)與平均數(shù)相等，貝1J得至!J：—（x+3+1+6+3）=3,

5

解得x=2（舍去）；

當x26時，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則得到：1（x+3+1+6+3）=3,

5

解得x=2（舍去）.

所以尤的值為2.

故選：A.

【點睛】本題考查平均數(shù)和中位數(shù).求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)時，先將該組數(shù)據(jù)按從小到大（或按從大到小）

的順序排列，然后根據(jù)數(shù)據(jù)的個數(shù)確定中位數(shù)：當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，則中間的一個數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)；當數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，則最中間的兩個數(shù)的算術平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).同時運用分類

討論的思想解決問題.

【變式4-2]（2018?武昌區(qū)校級模擬）某中學籃球隊16名隊員的年齡如表：

年齡（歲）1314x16

人數(shù)2653

若這16名隊員年齡的中位數(shù)是14.5,則16名隊員年齡的平均數(shù)是（精確到0.1）（）

A.14.5B.14.6C.14D.14.7

【分析】根據(jù)中位數(shù)的意義和求法，可以推斷第9個數(shù)據(jù)是15,然后根據(jù)平均數(shù)的求法計算出結果，做

出判斷.

【答案】解：16名隊員的中位數(shù)是排序后的第8個和第9個數(shù)的平均數(shù)，而第8個數(shù)是14歲，中位數(shù)

是14.5,因此第9個數(shù)一定是15,表格中的x是15,

-=13X2+14X6+15X5+16X3?}46

16

故選：B.

【點睛】考查中位數(shù)、平均數(shù)的意義和求法，掌握方法和準確計算是解決問題的前提.

【變式4-3]（2018?正陽縣二模）某人打靶五次的環(huán)數(shù)如下：1,4,6,8,x,其中整數(shù)x是這組數(shù)據(jù)的中

位數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（）

A.4.8B.4.8或5

C.4.6或4.8D.4.6或4.8或5

【分析】根據(jù)1,4,居6,8這組數(shù)據(jù)中，x是數(shù)據(jù)的中位數(shù)知尤=4或尤=5或x=6,在根據(jù)平均數(shù)的

定義分別計算可得.

【答案】解：,??在1,4,小6,8這組數(shù)據(jù)中，x是數(shù)據(jù)的中位數(shù)，

.".x=4或x=5或尤=6,

當尤=4時，平均數(shù)為1+4+4+6+8=46；

5

當尤=5時，平均數(shù)為1+4+5+6+8=48；

5

當尤=6時，平均數(shù)為1+4+6+6+三；

5

故選：D.

【點睛】本題主要考查中位數(shù)、平均數(shù)，解題的關鍵是根據(jù)中位數(shù)的定義得出x的值.

【考點5方差的計算】

【方法點撥】計算方差的公式：設一組數(shù)據(jù)是為,孫、彳是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。則這組數(shù)據(jù)的方差是:

$2=1[R-7）2+（叼-前+?一+（/-州

n

【例5】（2019秋?蕭山區(qū)校級月考）已知一組數(shù)據(jù)xi，X2,制，平均數(shù)為2,方差為3,那么另一組數(shù)2巷

-1,2X2-1,2X3-1的平均數(shù)和方差分別是（）

A.2,2B.3,3C.3,12D.3,4

3

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的變化規(guī)律，即可得出答案.

【答案】解：?.?數(shù)據(jù)XI,XI,X3,平均數(shù)是2,

數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,2x3-1的平均數(shù)是2X2-1=3；

;數(shù)據(jù)xi,以，的方差是3,

數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,2x3-1的方差是3X22=12,

故選：C.

【點睛】此題考查了平均數(shù)與方差，關鍵是掌握平均數(shù)與方差的計算公式和變化規(guī)律，一般地設〃個數(shù)

據(jù)，XI,X2,…物的平均數(shù)為彳，則方差=（XI-X）2+（X2-x）2+-+X）勺，它反映了一組

n

數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.

【變式5-1]（2019春?海陽市期中）若一組數(shù)據(jù)的,az,……，斯的平均數(shù)為10,方差為4,那么數(shù)據(jù)2.+3,

2a2+3,…，2斯+3的平均數(shù)和方差分別是（）

A.13,4B.23,8C.23,16D.23,19

【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念、方差的性質(zhì)解答.

【答案】解:數(shù)據(jù)m,。2,……，的平均數(shù)為10,那么數(shù)據(jù)2m+3,2a2+3,…，2斯+3的平均數(shù)為2

X10+3=23,

數(shù)據(jù)m,ai,……，an,方差為4,那么數(shù)據(jù)2m+3,2a2+3,…，2斯+3的方差為4X2z=16,

故選：C.

【點睛】本題考查的是平均數(shù)和方差，當數(shù)據(jù)都加上一個數(shù)（或減去一個數(shù)）時，方差不變，當數(shù)據(jù)都

乘上一個數(shù)（或除一個數(shù)）時，方差乘（或除）這個數(shù)的平方倍.

【變式5-2]（2019春?自貢期末）若一組數(shù)據(jù)1,1,x,3,3的平均數(shù)為x,則這組數(shù)據(jù)的方差是（）

A.4B..1C.2娓D.2

55

【分析】先由平均數(shù)的公式計算出無的值，再根據(jù)方差的公式計算.

【答案】解：：數(shù)據(jù)1,1,尤，3,3的平均數(shù)為尤，

—（l+l+x+3+3）=x>

5

解得：x=2,

則這組數(shù)據(jù)的方差是$2=占（1-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（3-2）2]==X

55

故選：B.

【點睛】本題考查方差的定義：一般地設"個數(shù)據(jù)，無1,X2,…工”的平均數(shù)為彳，則方差e=（XI-彳）

n

22

+（X2-X）+-+（xn-X）為它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.

【變式5-3]（2019春?莒南縣期末）若一組數(shù)據(jù)無1+1,X2+1，…，尤.+1的平均數(shù)為17,方差為2,則另一

組數(shù)據(jù)xi+2,無2+2,…，尤.+2的平均數(shù)和方差分別為（）

A.17,2B.18,2C.17,3D.18,3

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的變化規(guī)律，即可得出答案.

【答案】解：：數(shù)據(jù)X1+1,尤2+1,…，尤”+1的平均數(shù)為17,

.'.xi+2,X2+2,???,xn+2的平均數(shù)為18,

.數(shù)據(jù)Xl+1,X2+1,初+1的方差為2,

數(shù)據(jù)xi+2,X2+2,???,x”+2的方差不變，還是2；

故選：B.

【點睛】本題考查了方差與平均數(shù)，用到的知識點：如果一組數(shù)據(jù)XI,X2,…，X”的平均數(shù)為彳，方差

為$2,那么另一組數(shù)據(jù)"i+b,ax2+b,???,的平均數(shù)為a肝6,方差為於。.

【考點6方差的意義】

【方法點撥】方差可以比較全面地反映一組數(shù)據(jù)相對于平均值的波動情況，方差越小越穩(wěn)定.

【例6】（2019秋?樂清市校級月考）甲，乙，丙，丁四名同學在學校演講選拔賽的成績平均數(shù)x與方差S2

如下表所示：

甲乙丙T

平均數(shù)q8.08.08.58.5

方差S13.515.53.516.5

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選一名成績好又發(fā)揮穩(wěn)定的同學參加市演講比賽，應該選擇（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的意義解答.

【答案】解：從平均數(shù)看，成績最好的是丙、丁同學，

從方差看，甲、丙方差小，發(fā)揮最穩(wěn)定，

所以要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學參加市級比賽，應該選擇丙，

故選：c.

【點睛】本題考查了平均數(shù)和方差，熟悉它們的意義是解題的關鍵.

【變式6-1］（2019春?樂清市期中）甲、乙、丙、丁四位選手各進行了10次射擊，射擊成績的平均數(shù)和方

差如下表：

選手甲乙丙T

平均數(shù)（環(huán)）9.09.09.09.0

方差0.251.002.503.00

則成績發(fā)揮最不穩(wěn)定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】根據(jù)方差的定義，方差越大數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定，從而得出答案.

【答案】解：由于S丁2<s丙2Vs乙2Vs甲2,則成績發(fā)揮最不穩(wěn)定的是??；

故選：D.

【點睛】本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離

平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離

平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

【變式6-2］（2019?河南模擬）某校要從甲、乙、丙、丁四名學生中選出一名學生參加數(shù)學競賽，對這四名

學生進行了10次數(shù)學測試，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析4人的平均成績均為95分，S甲2=。028,S乙2=0.06,S丙2=

0.015,S丁2=0.32.則應該選擇（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】根據(jù)方差的意義求解可得.

【答案】解：?..這4人的平均成績相等，而S丙2Vs甲2Vs乙2Vs丁2,

...這4人中丙的成績最穩(wěn)定，

???應該選擇丙，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了方差的含義和性質(zhì)的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：方差是反

映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與

其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.

【變式6-3］（2019春?西城區(qū)期末）12名同學分成甲、乙兩隊參加播體操比賽，已知每個參賽隊有6名隊

員，他們的身高（單位：cm）如表所示:

隊員1隊員2隊員3隊員4隊員5隊員6

甲隊176175174172175178

乙隊170176173174180177

設這兩隊隊員平均數(shù)依次為q甲，q乙，身高的方差依次為群甲，群乙，則下列關系中，完全正確的是()

A.KW>x乙，S?甲>W乙B.x+<x乙，群甲VS2乙

C.x>?=x乙，S，>s2乙D.x,r|=x^>$2甲<群乙

【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算公式先分別算出甲和乙的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式算出甲和乙的方差，然后

進行比較即可.

【答案】解：；二=(176+175+174+172+175+178)+6=175(cm),

~=(170+176+173+174+180+177)+6=175(cm),

*甲=x乙，

(176-175)2+2X(175-175)2+(174-175)2+(172-175)2+(178-175)2]=M,

63

S2z,=i[(170-175)2+(176-175)2+(173-175)2+(174-175)2+(180-175)2+(177-175)2]

6

=10,

22

：.Sv<Sz,.

故選：D.

【點睛】本題考查方差和平均數(shù)，一般地設"個數(shù)據(jù)，XI，X2,…%的平均數(shù)為q,則方差S2=L[(XI

n

-X)2+(X2-X)2+…+(物-X)2],它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也

成立.

【考點7平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的命題判斷】

【方法點撥】平均數(shù)的優(yōu)點：平均數(shù)的計算過程中用到了一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)，因此比中位數(shù)和眾數(shù)更

靈敏，反映了更多數(shù)據(jù)的信息.

平均數(shù)的缺點：計算較麻煩，而且容易受到極端值的影響.

中位數(shù)的優(yōu)點：計算簡單，不容易受到極端值的影響，確定了中位數(shù)之后，可以知道小于中位數(shù)的數(shù)值和

大于中位數(shù)的數(shù)值在這組數(shù)據(jù)中各占一半.

中位數(shù)的缺點：除了中間的值以外，不能反映其他數(shù)據(jù)的信息.

眾數(shù)的優(yōu)點：眾數(shù)很容易從直方圖中獲得，它可以清楚地告訴我們：在一組數(shù)據(jù)中哪個或哪些數(shù)值出現(xiàn)的

次數(shù)最多.

眾數(shù)的缺點：不能反映眾數(shù)比其他數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)多多少，而且也丟失了很多其他數(shù)據(jù)的信息.

【例71(2019?上海)甲、乙兩名同學本學期五次引體向上的測試成績(個數(shù))成績?nèi)鐖D所示，下列判斷

B.甲的最好成績比乙高

C.甲的成績的平均數(shù)比乙大

D.甲的成績的中位數(shù)比乙大

【分析】分別計算出兩人成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差可得出答案.

【答案】解：甲同學的成績依次為：7、8、8、8、9,

則其中位數(shù)為8,平均數(shù)為8,方差為"!><[(7-8)2+3X(8-8)2+(9-8)2]=0.4；

5

乙同學的成績依次為：6,7、8、9、10,

則其中位數(shù)為8,平均數(shù)為8,方差為Lx[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=2,

5

甲的成績比乙穩(wěn)定，甲、乙的平均成績和中位數(shù)均相等，甲的最好成績比乙低，

故選：A.

【點睛】本題考查了方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大，則平均值的離散程度越大，

穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.也考查了中位數(shù).

【變式7-1](2019春?門頭溝區(qū)期末)某校在“我運動，我快樂”的技能比賽培訓活動中，在相同條件下，

對甲、乙兩名同學的“單手運球”項目進行了5次測試，測試成績(單位：分)如圖所示：根據(jù)圖判斷正

確的是()

9

8

7

6甲同學

5

4乙同學

3

1

O次數(shù)(次)

第1次第2；欠第3次第4次第5次

A.甲成績的平均分低于乙成績的平均分

B.甲成績的中位數(shù)高于乙成績的中位數(shù)

C.甲成績的眾數(shù)高于乙成績的眾數(shù)

D.甲成績的方差低于乙成績的方差

【分析】通過計算甲、乙的平均數(shù)可對A進行判斷；利用中位數(shù)的定義對8進行判斷；利用眾數(shù)的定義

對C進行判斷；根據(jù)方差公式計算出甲、乙的方差，則可對。進行判斷.

【答案】解：A、甲的平均數(shù)(7+8+8+9+8)=8(分)，乙的平均數(shù)=工(10+7+9+4+10)=8(分)，

55

所以A選項錯誤；

3、甲的中位數(shù)為8(分)，乙的中位數(shù)為9(分)，所以2選項錯誤；

C、甲的眾數(shù)為8(分)，乙的眾數(shù)為10,所以C選項錯誤；

D、甲的方差=工[(7-8)2+3(8-8)2+(9-8)2]=X乙的方差=上[2(10-8)2+(7-8)2+(4

555

-8)2+(9-8)2]=空，所以。選項正確.

5

故選：D.

【點睛】本題考查了方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大，則平均值的離散程度越大，

穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.也考查了中位數(shù)和眾數(shù).

【變式7-2](2019?甘肅)甲，乙兩個班參加了學校組織的2019年“國學小名士”國學知識競賽選拔賽，他

們成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如下表所示，規(guī)定成績大于等于95分為優(yōu)異，則下列說法正確的是()

參加人數(shù)平均數(shù)中位數(shù)方差

甲4594935.3

乙4594954.8

A.甲、乙兩班的平均水平相同

B.甲、乙兩班競賽成績的眾數(shù)相同

C.甲班的成績比乙班的成績穩(wěn)定

D.甲班成績優(yōu)異的人數(shù)比乙班多

【分析】由兩個班的平均數(shù)相同得出選項A正確；由眾數(shù)的定義得出選項B不正確；由方差的性質(zhì)得出

選項C不正確；由兩個班的中位數(shù)得出選項。不正確；即可得出結論.

【答案】解：A、甲、乙兩班的平均水平相同；正確；

氏甲、乙兩班競賽成績的眾數(shù)相同；不正確；

C、甲班的成績比乙班的成績穩(wěn)定；不正確；

。、甲班成績優(yōu)異的人數(shù)比乙班多；不正確；

故選：A.

【點睛】本題考查了平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差；正確的理解題意是解題的關鍵.

【變式7-3］（2019?麒麟?yún)^(qū)模擬）為積極響應曲靖市政府“舉全市之力，集全民之智，力爭2020年奪得全國

文明城市桂冠”的號召，麒麟?yún)^(qū)某校舉辦了一次創(chuàng)文知識競賽，滿分10分，學生得分均為整數(shù)，成績達

到6分及6分以上為合格，達到9分或10分為優(yōu)秀，為了解本次大賽的成績，校團委隨機抽取了甲、乙

兩組學生成績作為樣本進行統(tǒng)計，繪制了如下統(tǒng)計圖表：

組別平均分中位數(shù)方差合格率優(yōu)秀率

甲組6.8a3.7690%30%

乙組b7.51.9680%20%

則下列說法錯誤的是（）

人數(shù)人

A

6-

.甲組

4-，一一7?細

°12345678910＞領分

A.。=6,b=1.2

B.甲組的眾數(shù)是5,乙組的眾數(shù)是3

C.小英同學說：“這次競賽我得了7分，在我們小組中排名屬中上游略偏上觀察上面的表格可以判斷,

小英屬于甲組

D.從平均數(shù)來看，乙組的平均分高于甲組，即乙組的總體平均水平高：從方差來看，乙組的方差比甲

組小，即乙組的成績比甲組的成績穩(wěn)定.所以從平均數(shù)和方差兩方面來看，乙組成績好于甲組成績

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義求出根據(jù)平均數(shù)的定義求出6,即可判斷A；根據(jù)眾數(shù)的定義分別求出甲、

乙兩組的眾數(shù)，即可判斷B；根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可判斷C；比較甲、乙兩組的平均數(shù)和方差，即可判

斷D

【答案】解：A、由折線統(tǒng)計圖可知，甲組成績從小到大排列為：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10,

??.其中位數(shù)a=6,

乙組學生成績的平均分6=2~（5X2+6X1+7X2+8X3+9X2）=7.2.

10

故本選項說法正確；

B、甲組的眾數(shù)為6,乙組的眾數(shù)為8,

故本選項說法錯誤；

C、：甲組的中位數(shù)為6,乙組的中位數(shù)為7.5,

而小英得了7分，在小組中排名屬中上游略偏上，

小英屬于甲組學生.

故本選項說法正確；

D,從平均數(shù)來看，乙組的平均分高于甲組，即乙組的總體平均水平高：從方差來看，乙組的方差比甲

組小，即乙組的成績比甲組的成績穩(wěn)定.所以從平均數(shù)和方差兩方面來看，乙組成績好于甲組成績.

故本選項說法正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查折線統(tǒng)計圖、加權平均數(shù)、中位數(shù)及方差，熟練掌握加權平均數(shù)、中位數(shù)及方差

的定義是解題的關鍵.

【考點8平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的綜合應用】

【例8】（2019秋?沙坪壩區(qū)校級月考）入學考試前，某語文老師為了了解所任教的甲、乙兩班學生假期向

的語文基礎知識背誦情況，對兩個班的學生進行了語文基礎知識背誦檢測，滿分100分.現(xiàn)從兩個班分

別隨機抽取了20名學生的檢測成績進行整理，描述和分析（成績得分用尤表示，共分為五組：

A.0<x<80,B.80<x<85,C.85<x<90,D90sx<95,E.95sxe100）,下面給出了部分信息：

甲班20名學生的成績?yōu)椋?/p>

甲組82859673919987918691

879489969691100939499

乙班20名學生的成績在。組中的數(shù)據(jù)是：93,91,92,94,92,92,92

甲、乙兩班抽取的學生成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計表

班級甲組乙組

平均數(shù)9192

中位數(shù)91b

眾數(shù)C92

方差41.227.3

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）直接寫出上述圖表中a,b,c的值：a—；b—；c=；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為甲、乙兩個班中哪個班的學生基礎知識背誦情況較好？請說明理由（一條理

由即可）；

（3）若甲、乙兩班總人數(shù)為125,且都參加了此次基礎知識檢測，估計此次檢測成績優(yōu)秀（*95）的學

生人數(shù)是多少？

乙班抽取的學生

【分析】（1）根據(jù)。組數(shù)據(jù)求得。組所占的百分比求出a,根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念求出c、d；

（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的性質(zhì)解答；

（3）用樣本估計總體，得到答案.

【答案】解：（1）1-5%-10%-10%-工=40%,

20

.,?〃=40；

由統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)可知6=92+93=92.5,

c=91；

故答案為：40,92.5,91；

（2）乙班的學生基礎知識背誦情況較好，理由：乙班的平均分，中位數(shù)都高于甲班；

（3）125X.§±2.^44,

40

答:估計此次檢測成績優(yōu)秀（x295）的學生人數(shù)是44人.

【點睛】本題考查的方差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、用樣本估計總體，掌握它們的概念和性質(zhì)是解題的

關鍵.

【變式8-1］（2019?九龍坡區(qū)校級三模）炎熱的夏天來臨之際.為了調(diào)查我校學生消防安全知識水平，學校

組織了一次全校的消防安全知識培訓，培訓完后進行測試，在全校2400名學生中，分別抽取了男生，女

生各15份成績，整理分析過程如下，請補充完整.

【收集數(shù)據(jù)】

男生15名學生測試成績統(tǒng)計如下：

68,72,89,85,82,85,74,92,80,85,76,85,69,78,80

女生15名學生測試成績統(tǒng)計如下：（滿分100分）

82,88,83,76,73,78,67,81,82,80,80,86,82,80,82

按如下分數(shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù)：

組別65.5?70.570.5?75.575.5?80.580.5?85.585.5?90.590.5?95.5

頻數(shù)

男生224511

女生115620

【分析數(shù)據(jù)】

（1）兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如下表所示:

班級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

男生80X8047.6

女生8080y26.2

在表中：x=

（2）若規(guī)定得分在80分以上（不含80分）為合格，請估計全校學生中消防安全知識合格的學生有

人；

（3）通過數(shù)據(jù)分析得到的結論是女生掌握消防安全相關知識的整體水平比男生好，請從兩個方面說明理

由.

【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解可得；

（2）用總人數(shù)乘以樣本中合格人數(shù)所占比例可得；

（3）根據(jù)平均數(shù)與方差的意義說明即可.

【答案】解：（1）68,72,89,85,82,85,74,92,80,85,78,85,69,76,80,

眾數(shù)是x=85,

67,73,76,78,79,80,80,80,80,82,83,83,84,86,89,

中位數(shù)是y=80；

（2）2400義至=1200（人），

30

即估計全校學生中消防安全知識合格的學生有1200人；

（3）女生掌握消防安全相關知識的整體水平比男生好，

???平均數(shù)相等，男生的方差〉女生的方差，

...女生掌握消防安全相關知識的整體水平比男生好.

故答案為：85,80；1200.

【點睛】本題考查了頻數(shù)分布直方表，眾數(shù)，中位數(shù)，正確的理解題意是解題的關鍵.

【變式8-2］（2019?河南模擬）隨著2019年全國兩會的隆重召開，中學生對時事新聞的關注空前高漲，某

校為了解中學生對時事新聞的關注情況，組織全校九年級學生開展“時事新聞大比拼”比賽，隨機抽取九年級

的25名學生的成績（滿分為100分）整理統(tǒng)計如下：

收集數(shù)據(jù)：25名學生的成績（滿分為100分）統(tǒng)計如下（單位；分）：

90,74,88,65,98,75,81,44,85,70,55,80,95,88,72,87,60,56,76,66,78,72,82,

63,100

整理數(shù)據(jù)：按如下分組整理樣本數(shù)據(jù)并補全表格：

成績X（分）90<x<10075<x<9060<x<75x<60

人數(shù)108

分析數(shù)據(jù)：補充完成下面的統(tǒng)計分析表：

平均數(shù)中位數(shù)方差

76190.88

得出結論

（1）若全校九年級有1000名學生，請估計全校九年級有多少學生成績達到90分及以上；

（2）若八年級的平均數(shù)為76分，中位數(shù)為80分，方差為102.5,請你分別從平均數(shù)，中位數(shù)和方差三

個方面做出評價，你認為哪個年級的成績較好？

【分析】整理數(shù)據(jù)：根據(jù)已知數(shù)據(jù)按分組計數(shù)可得，再根據(jù)中位數(shù)的概念可補全統(tǒng)計分析表；

得出結論：（1）總人數(shù)乘以樣本中成績達到90分及以上的學生人數(shù)所占比例；

（2）分別從平均數(shù)和中位數(shù)及方差的意義逐一分析可得.

【答案】解：整理數(shù)據(jù)：補全表格如下

成績x（分）90^x^10075WxV9060?75x<60

人數(shù)41083

分析數(shù)據(jù)：補充完成下面的統(tǒng)計分析表:

平均數(shù)中位數(shù)方差

7676190.88

得出結論

（1）估計全校九年級成績達到90分及以上的學生人數(shù)為1000X_3_=160（人）；

25

（2）從平均數(shù)看，八年級和九年級平均數(shù)相等，兩個年級的平均成績相等；

從中位數(shù)看，八年級的中位數(shù)大于九年級的中位數(shù)，所以八年級高分的人數(shù)多于九年級高分人數(shù)，八年

級的成績較好；

從方差看，八年級的方差小于九年級的方差，所以八年級的成績比九年級的成績穩(wěn)定，八年級的成績較

好；