5.1-5.2任意角及其度量【教師版】

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家PAGEPAGE1東方教育網(wǎng)站：東方教育·教學(xué)管理部東方教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號SH12sx00021授課班級：年級：高一課時數(shù)：4學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：李生學(xué)科組長簽名及日期剩余天數(shù)天課題任意角及其度量授課時間：備課時間：教學(xué)目標(biāo)1.角的定義2.三角函數(shù)的定義3.弧度制4.同角三角函數(shù)的關(guān)系重點、難點三角函數(shù)的定義;同角三角函數(shù)的關(guān)系考點及考試要求弧度制、同角三角函數(shù)的關(guān)系教學(xué)內(nèi)容知識梳理【1】對“角”的認(rèn)識：1.角的概念角可以看成是由一條射線（起始邊）旋轉(zhuǎn)到一個新的位置（終邊）所形成的圖形。注：我們一般約定以原點和x的正半軸組成的射線為起始邊。我們規(guī)定：逆時針旋轉(zhuǎn)得到的角是正角。（2）順時針旋轉(zhuǎn)得到的角角負(fù)角。起始邊終邊（3）一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，就把它叫做零角起始邊終邊做一做①：與300終邊相同的角有________個，請寫出四個與300終邊相同的角（要求兩個正角，兩個負(fù)角）_____,_____,______,______。理解角的概念應(yīng)注意：（1）注意分清正角和負(fù)角；（2）角具有無界性；意思是說任意角的范圍是（3）角具有周期性：終邊相同的角不一定相等；終邊相同的角相差3600的整數(shù)倍。終邊相同的角的表示：啟問：與300終邊相同的角如何用一個式子表示？解答：把與300終邊相同的所有角看成一個集合，這個集合可表示為：于是我們有：與任意角終邊相同的所有的角構(gòu)成一個集合，這個集合可表示為：例如：與角的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：；）弧度制定義：長度等于半徑的弧所對的圓心角的大小叫做1弧度。1弧度記作1rad；1弧度(1rad).弧度制與角度制之間的轉(zhuǎn)化，記住核心關(guān)系：弧度制相比角度制的優(yōu)點在于：①公式的表達(dá)更簡潔；②可以省略單位不寫，與實數(shù)集建立了一一對應(yīng)關(guān)系，可用實數(shù)直接表示角的大小。是實數(shù)與角的統(tǒng)一。常用角的互化：角度00300450弧度【i】弧長公式：，扇形面積公式：例如：已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。（答：2）【練習(xí)】（1）已知扇形的周長為20cm，面積為9cm2,求扇形圓心角的弧度數(shù)；（2）若扇形的圓心角為750，半徑為15cm，求扇形的面積；（3）若扇形的周長為60cm,那么當(dāng)它的圓心角為多少時，扇形的面積最大？【ii】角與角的位置關(guān)系的判斷終邊相同的角對稱關(guān)系的角滿足一些常見關(guān)系式的兩角例如：若是第二象限角，則是第_____象限角：一、三）（1）終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上).（2）終邊與終邊關(guān)于軸對稱.（3）終邊與終邊關(guān)于軸對稱.（4）終邊與終邊關(guān)于原點對稱.（5）終邊在軸上的角可表示為：；（6）終邊在軸上的角可表示為：；（7）終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：.例如：的終邊與的終邊關(guān)于直線對稱，則＝____________。（答：）【3】三角函數(shù)的定義：高中階段對三角函數(shù)的定義與初中的定義從本質(zhì)上講不同。但既有聯(lián)系，又有區(qū)別。定義：設(shè)是任意一個角，P是的終邊上的任意一點（異于原點），它與原點的距離是，那么，，，，。三角函數(shù)值只與終邊的位置有關(guān)，而與終邊上點P的位置無關(guān)。例如：（1）已知角的終邊經(jīng)過點P(5，－12)，則的值為；（答：）；（2）設(shè)是第三、四象限角，，則的取值范圍是.（答：（－1，）；若，試判斷的符號（答：負(fù)）【同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要作用是：【同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要作用是：已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值.】（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：做一做：已知，求的值；已知，且在第三象限，求的值；（3）已知，且在第二象限，求的值。8.特殊角的三角函數(shù)值：30°45°規(guī)律：①同角的正弦和余弦成規(guī)律：①同角的正弦和余弦成平方關(guān)系；②若與互余，則一個角的余弦等于另一個角的正弦，一個角的正弦等于另一個角的余弦；經(jīng)典例題例1.(1)設(shè)，且的終邊與角的終邊相同，則＝____答：1提示:與角終邊相同的角的集合是(2)如果是第一象限角，那么①,②,③,④中恒成立的有_____個。答：1提示:利用三角函數(shù)線知②總成立.(3).若tanα＝3，則=_______答：提示:用公式(4)已知扇形的半徑為10㎝，圓心角為120°，則扇形的弧長為；面積為．答：㎝,㎝2提示:利用弧長公式及扇形面積公式,注意圓心角的單位化為弧度(5)已知．答：提示：利用誘導(dǎo)公式例2.若，求（1）的值；（2）的值．解（1）（2）原式例3.若的值．解：例4.已知．化簡；若是第三象限的角，且，求的值；若，求的值．解：（1）（2）（3）課堂練習(xí)：（1）若，則使成立的的取值范圍是____（答：）；（2）已知，，則＝____（答：）；（3）已知，則＝___；＝____（答：；）；（4）已知，則等于（）A、B、C、D、（答：B）；課堂練習(xí)：設(shè)分別是第二、三、四象限角，則點分別在第___、___、___象限.2.已知，求3．若角α的終邊在直線y＝－x上，則＝.4．使tanx－有意義的x的集合為.5．已知α是第二象限的角，且coseq\f(α,2)＝－eq\f(4,5)，則eq\f(α,2)是第象限的角.三、總結(jié)與角終邊相同的角弧度制表示角度制表示角度與弧度的基本轉(zhuǎn)換；；弧長公式 扇形面積公式角度制 角度制弧度制 弧度制象限角表示區(qū)間表示角度表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角坐標(biāo)軸上的角表示終邊所在位置弧度表示角度表示軸正半軸軸正半軸軸正半軸軸正半軸坐標(biāo)軸角終邊上任意一點的坐標(biāo)是，則三角比在各象限的符號第一象限第二象限第三象限第四象限特殊角的三角比值0與的象限在第一象限，在第象限，的取值范圍在第二象限，在第象限，的取值范圍在第三象限，在第象限，的取值范圍在第四象限，在第象限，的取值范圍四、練習(xí)一、選擇題1.設(shè)角屬于第二象限，且，則角屬于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.給出下列各函數(shù)值：①；②；③；④.其中符號為負(fù)的有（）A.①B.②C.③D.④3.等于（）A.B.C.D.4.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A.B.C.D.5．若θ∈（eq\f(5π,4)，eq\f(3π,2)），則eq\r(1－2sinθcosθ)等于A.cosθ－sinθ B.sinθ＋cosθC.sinθ－cosθ D.－cosθ－sinθ6．若tanθ＝eq\f(1,3)，則cos2θ＋sinθcosθ的值是A.－eq\f(6,5) B.－eq\f(4,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(6,5)三、解答題1.已知是關(guān)于的方程的兩個實根，且，求的值.2.設(shè)cosθ＝eq\f(m－n,m＋n)（m＞n＞0)，求θ的其他三角函數(shù)值.3．證明(1)eq\f(1＋2sinθcosθ,cos2θ－sin2θ)＝eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ【練習(xí)參考答案--僅供參考】一、選擇題1.C當(dāng)時，在第一象限；當(dāng)時，在第三象限；而，在第三象限；2.C；；3.B4.A5.A6.D二、填空題1.四、三、二當(dāng)是第二象限角時，；當(dāng)是第三象限角時，；當(dāng)是第四象限角時，；2.②3．04．{x|x∈R且x≠，k∈Z}5．三三、解答題解：，而，則得，則，.2.解：∵m＞n＞0，∴cosθ＝eq\f(m－n,m＋n)＞0∴θ是第一象限角或第四象限角.當(dāng)θ是第一象限角時：sinθ＝＝tanθ＝當(dāng)θ是第四象限