廣東省佛山市禪城區(qū)2024屆高三統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試題含答案

禪城區(qū)2024屆高三統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試（二）數(shù)學(xué)本試卷共5頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必填涂答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答穼涂在答題卷相應(yīng)的位置上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．4．請(qǐng)考生保持答題卷的整潔．考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，且，則的值為（）A． B． C．0 D．12．某人在“全球購(gòu)”平臺(tái)上購(gòu)買了件商品，這些商品的價(jià)格如果按美元計(jì)算，則平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，如果按人民幣計(jì)算（匯率按1美元＝7元人民幣），則平均數(shù)和方差分別為（）A．， B．， C．， D．，3已知與為兩個(gè)不共線的單位向量，則（）A． B．C．若，則 D．若，則4．如圖，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記位于直線（）左側(cè)的圖形的面積為．則函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．5．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足（），則（）A． B． C． D．6．若函數(shù)（）既有極大值也有極小值，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．7．2020年12月17日，嫦娥五號(hào)的返回器攜帶1731克月球樣本成功返回地球，我國(guó)成為第三個(gè)實(shí)現(xiàn)月球采樣返回的國(guó)家，中國(guó)人朝著成功登月又邁進(jìn)了重要一步．下圖展示了嫦娥五號(hào)采樣返回器從地球表面附近運(yùn)行到月球表面附近的大致過程．點(diǎn)表示地球中心，點(diǎn)表示月球中心．嫦娥五號(hào)采樣返回器先沿近地球表面軌道作圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑約為地球半徑．在地球表面附近的點(diǎn)處沿圓的切線方向加速變軌后，改為沿橢圓軌道運(yùn)行，并且點(diǎn)為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．段時(shí)間后，再在近月球表面附近的點(diǎn)處減速變軌作圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)軌道半徑約為月球半徑．已知月球中心與地球中心之間距離約為月球半徑的222倍，地球半徑約為月球半徑的3.7倍．則橢圓軌道的離心率約為（）A．0.67 B．0.77 C．0.87 D．0.978．已知函數(shù)在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且，則圖象的一條對(duì)稱軸是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分．共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中．有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分．部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)，均不為0，則（）A． B． C． D．110．已知函數(shù)與，記，其中，且．下列說法正確的是（）A．一定為周期函數(shù) B．若，則在上總有零點(diǎn)C．可能為偶函數(shù) D．在區(qū)間上的圖象過3個(gè)定點(diǎn)11．對(duì)于棱長(zhǎng)為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)），下列說法正確的是（）A．底面半徑為，高為的圓錐形罩子（無底面）能夠罩住水平放置的該正方體B．以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為C．該正方體內(nèi)能同時(shí)整體放入兩個(gè)底面半徑為，高為的圓錐D．該正方體內(nèi)能整體放入一個(gè)體積為的圓錐三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．13．甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)下車，且在每一個(gè)公交站點(diǎn)最多只有兩人同時(shí)下車，從同一公交站點(diǎn)下車的兩人不區(qū)分下車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是______．14．若函數(shù)（）有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖，在直三棱柱形木料中，為上底面上一點(diǎn)．（1）經(jīng)過點(diǎn)在上底面上畫一條直線與垂直，應(yīng)該如何畫線，請(qǐng)說明理由；（2）若，，，為的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．16．（15分）聯(lián)合國(guó)將每年的4月20日定為“聯(lián)合國(guó)中文日”，以紀(jì)念“中華文字始祖”倉(cāng)頡[jié]造字的貢獻(xiàn)，促進(jìn)聯(lián)合國(guó)六種官方語言平等使用，為宣傳“聯(lián)合國(guó)中文日”，某大學(xué)面向在校留學(xué)生舉辦中文知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為“個(gè)人賽”和“對(duì)抗賽”，競(jìng)賽規(guī)則如下：①個(gè)人賽規(guī)則：每位留學(xué)生需要從“拼音類”、“成語類”、“文化類”三類問題中隨機(jī)選1道試題作答，其中“拼音類”有4道，“成語類”有6道，“文化類”有8道，若答對(duì)將獲得一份獎(jiǎng)品．②對(duì)抗賽規(guī)則：兩位留學(xué)生進(jìn)行答題比賽，每輪只有1道題目，比賽時(shí)兩位參賽者同時(shí)回答這一個(gè)問題，若一人答對(duì)且另一人答錯(cuò)，則答對(duì)者獲得1分，答錯(cuò)者得分；若兩人都答對(duì)或都答錯(cuò)，則兩人均得0分，對(duì)抗賽共設(shè)3輪，累計(jì)得分為正者將獲得一份獎(jiǎng)品，且兩位參賽者答對(duì)與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響．（1）留學(xué)生甲參加個(gè)人賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗(yàn)，留學(xué)生甲答對(duì)“拼音類”、“成語類”“文化類”的概率分別為，，，求留學(xué)生甲答對(duì)了所選試題的概率．（2）留學(xué)生乙和留學(xué)生內(nèi)參加對(duì)抗賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗(yàn)，每道題留學(xué)生乙和留學(xué)生丙答對(duì)的概率分別為，，求留學(xué)生乙獲得獎(jiǎng)品的概率．17．（15分）在中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，點(diǎn)在邊上，且滿足，．（1）求的值；（2）若，求．18．（17分）已知數(shù)列滿足，，且．（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．19．（17分）已知以下事實(shí)：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸是其兩條漸近線．（1）（?。┲苯訉懗龊瘮?shù)的圖象的實(shí)軸長(zhǎng)；（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)，得到曲線，直接寫出曲線的方程．（2）已知點(diǎn)是曲線的左頂點(diǎn)．圓：（）與直線：交于、兩點(diǎn)，直線、分別與雙曲線交于、兩點(diǎn)．試問：點(diǎn)到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時(shí)的值；若不存在，說明理由．禪城區(qū)2024屆高三統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試（二）數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1—4BDDA5—8CBDC7．【解析】D．設(shè)此橢圓的半長(zhǎng)軸為，半焦距為，月球半徑為，地球半徑為，月球中心與地球中心距離為，則，，所以，，所以離心率為．8．【解析】C．依題意，則，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，解得．綜上，，，因?yàn)?，且，所以圖象的一條對(duì)稱軸是，由，，得，結(jié)合范圍可得，，，此時(shí)圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，故選C．二、選擇題9．ABD10．ABD11．BCD10．【解析】ABD．對(duì)于A，，，A正確；對(duì)于B，，，，因?yàn)椋?，同?hào)，所以，由零點(diǎn)存在定理知在上總有零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，，，由得對(duì)恒成立，則與題意不符，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，即，，故所有定點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，又因?yàn)?，所以函?shù)過定點(diǎn)，，，故D正確；故選ABD．11．【解析】BCD．對(duì)于A，若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面，如圖，，因?yàn)?，所以，所以，圓錐底面圓半徑最小為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，以，，三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為平面，等價(jià)于求與平面所成角的正切值，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為，正切值為，B正確；對(duì)于C，如圖，以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，分別以，的中點(diǎn)，為兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)，每個(gè)圓錐高的最大值為，C正確；對(duì)于D，如圖，的中點(diǎn)作垂線，分別交，于點(diǎn)，，則，以正方體的體對(duì)角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的直徑時(shí)，該圓錐的體積為，D正確．事實(shí)上，以正方體的體對(duì)角線作為軸，為頂點(diǎn)的圓錐的體積最大值，顯然底面圓心在線段上（不含點(diǎn)），設(shè)，當(dāng)與（為的四等分點(diǎn)）重合時(shí)，，因此，因?yàn)?，所以，則，，，圓錐體積（），，所以在上單調(diào)遞增，體積的最大值為，D正確．三、填空題12．；13．120；14．．14．【解析】（）．設(shè)，明顯單增，且，，所以存在唯一的，使，如，．設(shè)，在上單增，且時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，存在唯一的，使，即但若時(shí)，有，則何．綜上所述，的取值范圍為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【解析】（1）連結(jié)，在平面上作，因?yàn)闉橹比庵?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?）因?yàn)?，所以，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空向直角坐標(biāo)系，，，，，則，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，，所以，，則，取，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則因此點(diǎn)到平面的距離為．16．【解析】（1）設(shè)留學(xué)生甲選1道“拼音類”試題為事件，選1道“成語類”試題為事件，選1道“文化類”試題為事件，答對(duì)試題為事件，則，，，，，，所以．（2）每一輪中留學(xué)生乙得1分的概率為，每一輪中留學(xué)生乙得0分的概率為，每一輪中留學(xué)生乙得的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得3分的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得2分的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得1分的概率為，所以乙最終獲得獎(jiǎng)品的概率為．17．【解析】（1）方法1：如圖，在中，由正弦定理知，所以，所以，因?yàn)?，所以，則①，由，則，因?yàn)?，所以，則，在中，由余弦定理知，則②，由①②．萬法2：在中，由正弦定理知，所以，又因?yàn)?，所以，由，則，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以由，則，因?yàn)椋?，則，由正弦定理知，因?yàn)椋?，則．（或：在6分點(diǎn)后，因?yàn)?，由正弦定理知，所以．）?）方法1：因?yàn)?，所以，，在中，由余弦定理知同理在中，，因?yàn)?，所以，則，由（1）知，，所以，（注：若學(xué)生得到，則，也能得分）在中，由余弦定理知，所以．方法2：因?yàn)?，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，均為銳角，所以，則，所以．方法3：因?yàn)椋?，，所以．所以，由?）知，，．在中，由余弦定理知，所以．18．【解析】（1）證明：因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)椋允堑缺葦?shù)列，首項(xiàng)，公比，所以．（2）由（1）可得，先證明左邊：即證明，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，再證明右邊：，因?yàn)?，所以，即，下面證明，即證，即證設(shè)，，則，設(shè)，，因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，即，，所以，所以．綜上，．19．【解析】（1）（?。?shí)軸長(zhǎng)為；（ⅱ）曲線的方程為．（2）方法一：設(shè)，，，顯然直線的斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立：得所以，，①因?yàn)椋海?，則，同理，，②依題意得，③由①②③得，，所以即或若，則：過點(diǎn)，不合題意；若，則：．所以，恒過，所以，．當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得，此時(shí)方程為，解得，，．綜上所述，點(diǎn)到直線距離的最大值為2，此時(shí)圓的半徑為方法二：設(shè)，，，，，則：，：，聯(lián)立，得．為此方程的一根，另外一根為，則代入