河南省濮陽市2024屆高三下學期數(shù)學模擬試題（四）（解析版）

2024年高考數(shù)學模擬試題（四）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.用按比例分配的分層隨機抽樣方法，從某學校的600名男生和800名女生中選取14人參與某項研學活動，則女生比男生多選?。ǎ〢.8人 B.6人 C.4人 D.2人【答案】D【解析】【分析】確定抽樣比計算出男生和女生的人數(shù)即可得出結(jié)論.【詳解】依題意可知，分層抽樣比為，因此可得選取的男生為6人，女生為8人，所以女生比男生多選取2人.故選：D2.已知，，，，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量模長公式結(jié)合同角三角關(guān)系可得，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，若，則，可得，則，且，所以.故選：C.3.PA，PB，PC是從點P引出的三條射線，每兩條的夾角均為60°，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將PA,PB【詳解】如圖所示，把PA,PB,PC放在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為1，則，所以，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以n=(1,1,-1)，所以．設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以．故選：C．4.已知函數(shù)，滿足，則實數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】將的值依次代入解析式，解出的值即可求解.【詳解】，即，則.故選：.5.在平面直角坐標系中，點F的坐標為，以線段FP為直徑的圓與圓相切，則動點P的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分兩圓外切和內(nèi)切兩種情況，根據(jù)兩圓位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，設(shè)，以線段FP為直徑的圓的圓心為M，半徑為，若圓與圓外切，則，，可得；若圓與圓內(nèi)切，則，，可得；綜上所述：，可知動點P的軌跡是以為焦點的雙曲線，且，則，所以動點P的軌跡方程為.故選：B.6.已知是遞增的等比數(shù)列，且，等差數(shù)列滿足，，．設(shè)m為正整數(shù)，且對任意的，，則m的最小值為（）A.8 B.7 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出，設(shè)，利用錯位相減求出可得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，由得，①因為bn是等差數(shù)列，所以，即，可得，②由①②解得，或，因為an是遞增的等比數(shù)列，所以，即，設(shè)數(shù)列bn的公差為，由，，得，，解得，，所以，設(shè)，則，兩式相減可得，所以，因為，所以，若，則，可得，所以最小值為4.故選：D.7.設(shè)實數(shù)，若不等式對任意恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，先判斷得出恒成立，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得恒成立，進而求解即可.【詳解】，即，因為，所以，即恒成立，令，則，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，因為，所以，若時，不等式恒成立，則恒成立，若時，，恒成立，則也成立，所以當時，恒成立，所以得，即，設(shè)當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，所以，即正實數(shù)的最小值為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：運用同構(gòu)的基本思想將原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，再運用不等式的性質(zhì)，先得出恒成立，再運用導(dǎo)數(shù)討論恒成立進而求出結(jié)果.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個極值點，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間0,π上有且僅有3個不同的零點；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】令，，則,，結(jié)合條件可得有4個整數(shù)符合題意，可求出的取值范圍，再利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)逐項分析即可得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)，令，可得，，因為在區(qū)間上有且僅有4個極值點，即可得有且僅有4個整數(shù)符合題意，解得，即，可得，即，解得，即③正確；對于①，當時，，即可得，顯然當時，在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；當時，在區(qū)間上有且僅有4個不同的零點；即①錯誤；對于②，的最小正周期為，易知，所以的最小正周期可能是，即②正確；對于④，當時，；由可知，由三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，即④正確；即可得②③④正確.故選：C【點睛】方法點睛：求解三角函數(shù)中的取值范圍時，經(jīng)常利用整體代換法由圖象性質(zhì)限定出取值范圍即可求得結(jié)果，特別注意端點處的取值能否取到等號即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知方程，則下列說法正確的是（）A.若方程有一根為0，則且B.方程可能有兩個實數(shù)根C.時，方程可能有純虛數(shù)根D.若方程存在實數(shù)根，則或【答案】ACD【解析】【分析】將方程進行等價變形為，利用復(fù)數(shù)的定義，若復(fù)數(shù)為0，則實部為0，虛部也為0，判斷AB選項；結(jié)合基本不等式求解實根的范圍判斷D選項；舉例當且b=-4時，有純虛根判斷C.【詳解】解：A選項：若方程有一根為0，則代入方程有，則有，，即且，故A正確；B選項：方程可變形為：，即，則，只有一解，故B錯誤；C選項：當且b=-4時，方程為，是該方程的一個純虛根，故C正確；D選項：若方程存在實數(shù)根，則，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正確故選：ACD10.已知為雙曲線上一點，為其左右焦點，則（）A.若，則的面積為B.若，則的周長為C.雙曲線上存在一點，使得成等差數(shù)列D.有最大值【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意根據(jù)雙曲線定義及余弦定理，可對A、B判斷求解；根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及雙曲線定義可對C判斷求解；根據(jù)雙曲線定義及二次函數(shù)求最值可對D判斷求解.【詳解】由題意得，，，不妨設(shè)且在雙曲線的右支，如圖.對A、B：由雙曲線定義可得，設(shè)，在中由余弦定理得：，當時，可得，解得，故A錯誤；當時，，解得，所以的周長為，故B正確；對于C：假設(shè)存在點，不妨設(shè)在雙曲線的右支，則，所以公差，且，當三點不共線時，設(shè)則，即，又因為，所以，又因為三點不共線，所以，故此種情況不符合；當三點共線時，則，故此種情況不符合；綜上所述，則假設(shè)不成立，故不存在點，故C錯誤.對D：，令，則，因為，所以，所以，所以的最大值為，故D正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對C項利用雙曲線定義及幾何關(guān)系得到不成立，D項中利用二次函數(shù)法求出最值.11.函數(shù)，，，則下列說法正確的有（）A.函數(shù)有且僅有一個零點B.設(shè)方程的所有根的乘積為，則C.當時，設(shè)方程的所有根的乘積為，則D.當時，設(shè)方程的最大根為xM，方程的最小根為，則【答案】BCD【解析】【分析】A選項，求出恒過定點，當時，無交點；B選項，畫出，的圖象，由圖象可得，且，即，故；C選項，當時，，求出，，故，C正確；D選項，由題意得，，結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)得到答案.【詳解】A選項，令，則，其中恒過定點，當時，，畫出，的圖象，如下：可以看出兩函數(shù)無交點，沒有零點，A錯誤；B選項，畫出，的圖象，可以看出兩函數(shù)有2個交點，設(shè)交點橫坐標分別為，，其中，，由圖象可得，且，故，即，故，則，B正確；C選項，當時，，方程，即，時，，時，，故，C正確；D選項，當時，，畫出的圖象，可以看出，再畫出的圖象，的最小根為，則，由于與互為反函數(shù)，關(guān)于對稱，而也關(guān)于對稱，故與相加得，，解得，D正確.故選：BCD【點睛】函數(shù)零點問題：將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進行解決.三、本題共3小題，每小題5分，共15分．12.對一個四棱錐各個頂點著色，現(xiàn)有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連接的兩個頂點不能著相同的顏色，則不同的著色方法有______種（用數(shù)字作答）．【答案】420【解析】【分析】依題意按照分類分步計數(shù)原理直接計算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，需分五步進行著色，在四棱錐中，如下圖所示：按照的順序進行著色，則點有5種顏色可選，點有4種顏色可選；點有3種顏色可選，若點顏色與點相同，則點有3種顏色可選；若點顏色與點不同，則點有2種顏色可選，此時點有2種顏色可選；所以共有種.故答案為：42013.設(shè)實數(shù)x，y，z滿足，則的最大值是______．【答案】##0.75【解析】【分析】根據(jù)給定條件，消去并變形，借助二次函數(shù)最值求解即得.【詳解】實數(shù)x，y，z滿足，則，于是，當且僅當且時取等號，所以當時，.故答案為：14.過焦點為F的拋物線上一點A作其準線的垂線，垂足為B，直線BF與拋物線相交于C、D兩點，當時，三角形ABF的面積為___________．【答案】18【解析】【分析】根據(jù)題意，過點做垂直準線于點，過點做垂直準線于點，由條件可得，即可得到點坐標，從而得到直線方程以及點坐標，再由拋物線方程，代入計算，結(jié)合三角形面積公式，即可得到結(jié)果.【詳解】過點做垂直準線于點，過點做垂直準線于點，設(shè)準線與軸交于點，做出圖像如圖所示，由拋物線的定義可得，，，因為，則點為中點，為的中位線，即，所以，由可得，，且拋物線，則，則，則點的橫坐標為，將代入拋物線方程，可得，即，又F1,0，則直線的斜率為，由點斜式可得直線方程為，聯(lián)立，解得，即，則點的縱坐標為，代入拋物線方程可得其橫坐標為，則，所以.故答案為：18四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某老師在課余時間為緩解同學們的學習疲勞，組織了兩組摸球游戲，事先準備好兩個袋子，紅、白、黑三種顏色但質(zhì)地均勻且大小相同的球若干個.（1）一個袋子中有10個大小相同的球，其中紅球7個，黑球3個，每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.求第2次摸到紅球的概率；（2）另一個袋子中裝有5個大小相同的球，其中紅球2個，白球3個.每次從袋中隨機摸出1個球，摸出后把球放回，并再裝入與摸出球同色的球3個，共摸2次．求摸出的兩個球都是紅球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率結(jié)合全概率公式，即可求解.（2）設(shè)事件“第i次摸到紅球”為，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式即可求解【小問1詳解】記事件“第i次摸到紅球”為，則第2次摸到紅球的事件為，于是由全概率公式，得．【小問2詳解】記事件“第i次摸到紅球”為，則，，因此16.已知實數(shù)，函數(shù)．（1）若存在零點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當函數(shù)和有相同的最小值時，求a．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負得出函數(shù)的單調(diào)性再根據(jù)存在零點列出不等式求解；（2）分別求出函數(shù)的最小值，再列出方程化簡構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求值.【小問1詳解】因為，所以．由，得，，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，且，，若存在零點，則只需要即可，所以，故實數(shù)的取值范圍是．【小問2詳解】由（1）知，，且．函數(shù)的定義域為0,+∞，，當0<x<1a時，，故在上為減函數(shù)當x>1a時，，故在上為增函數(shù)，故．因為和有相同最小值，所以，整理得到，其中，設(shè)，，則故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為．綜上，．17.如圖，在四棱錐中，，且，，，，，為的中點.（1）求證：平面PDC；（2）在線段上是否存在點，使得平面與平面PDC的夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，1【解析】【分析】（1）取中點，連，證明為平行四邊形，得線線平行，進而證明線面平行；（2）由長度計算利用勾股定理證明垂直關(guān)系，建立空間直角坐標系，假設(shè)存在點，設(shè)，利用法向量方法得兩平面夾角的余弦值建立方程求得，則得的值.【小問1詳解】取中點，連，由為的中點，則，又，則，又，所以四邊形為平行四邊形，則，平面PDC，平面PDC，則平面PDC.【小問2詳解】取中點，連，由且，則四邊形是平行四邊形，故，又，則，所以，由，則，在中，，由余弦定理得，則，而，所以，則，即，又，所以平面，在平面內(nèi)作.以為軸正向建立空間直角坐標系，則，所以，假設(shè)存點滿足題意，設(shè)，則可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則；設(shè)平面PDC的法向量，則，令，則；所以，解得，所以假設(shè)成立，即存在，且時，使得平面與平面PDC的夾角的余弦值為.18.已知橢圓，點P是橢圓C上頂點，點A，B是橢圓C上的另外兩個點．（1）若點，分別是橢圓C的左、右焦點，，，，焦點在AB上，求橢圓C的離心率；（2）若，，其中，若，證明：滿足條件的有且只有一個充要條件是橢圓C的離心率的取值范圍為．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合橢圓定義結(jié)合已知條件計算離心率；（2）分類討論結(jié)合三角函數(shù)運算，再根據(jù)角的范圍得出滿足條件的角的唯一性,進而求出離心率范圍.【小問1詳解】在中，因為，，，所以由余弦定理，得．由橢圓的定義知解得．于是，由橢圓的定義知．在中，由余弦定理，可知所以．所以橢圓的離心率．【小問2詳解】（ⅰ）若，則易知直線PA和PB的斜率均存在，不妨設(shè)直線PA的傾斜角為，直線PB的傾斜角為，且，則．因為直線PA過橢圓的上頂點，所以可設(shè)直線PA的方程為，設(shè)，由，得則．又，所以，其中．同理，．因為，所以，整理，得，所以，或．又，，所以由，得，由，得．于是，有且只有一個的充要條件是關(guān)于的方程要么只有一個解，要么無解．若方程只有一個解，則，即．設(shè)橢圓離心率為，得若方程無解，則，或（舍去），整理，得．（ⅱ）若，則在直線PA和PB中，有一條的斜率可以不存在，不妨設(shè)直線