【青松雪】中考數(shù)學(xué)幾何模型【模型08】費(fèi)馬點(diǎn)最值模型

初中數(shù)學(xué)（北師大版）中考數(shù)學(xué)幾何模型【模型08】費(fèi)馬點(diǎn)最值模型主講人：王建林【模型介紹】問(wèn)題：平面內(nèi)如何找一點(diǎn)

P，使得它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小?費(fèi)馬點(diǎn)是這樣確定的：(1)如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；(2)如果3個(gè)內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：(1)費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最?。?2)費(fèi)馬點(diǎn)連接三頂點(diǎn)所成的三夾角皆為120°．?dāng)?shù)學(xué)家費(fèi)馬最早解決了這個(gè)問(wèn)題，故而把這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”問(wèn)題．定義：數(shù)學(xué)上稱(chēng)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．【結(jié)論證明】已知△ABC，平面內(nèi)找一點(diǎn)

P

使

PA+PB+PC

最小?并指出點(diǎn)

P

的位置．快速方法：以△ABC任意一邊為邊，向外作等邊三角形，這條邊所對(duì)兩頂點(diǎn)的距離即為所求的最小值．解決費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的核心方法是旋轉(zhuǎn)法【模型介紹】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題在前面的問(wèn)題中，如果我們?cè)谄淝懊婕右幌孪禂?shù)，又如何解決呢？(1)已知△ABC，平面內(nèi)找一點(diǎn)

P，使

最小?【思路】由系數(shù)1:1:，可以聯(lián)想到等腰直角三角形，所以想辦法如何

構(gòu)造出

PC

邊的根號(hào)2倍來(lái)，而其他兩邊保持不變．【模型介紹】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題在前面的問(wèn)題中，如果我們?cè)谄淝懊婕右幌孪禂?shù)，又如何解決呢？(2)已知△ABC，平面內(nèi)找一點(diǎn)

P，使

最小?【思路】由系數(shù)1:1:，可以聯(lián)想120°

的等腰三角形，可以構(gòu)造出

PC

邊的根號(hào)3倍．但是此時(shí)∠ACB在出題時(shí)就必須限制小于60°．【模型介紹】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題在前面的問(wèn)題中，如果我們?cè)谄淝懊婕右幌孪禂?shù)，又如何解決呢？(3)已知△ABC，平面內(nèi)找一點(diǎn)

P，使3PA+4PB+5PC最小?【思路】把系數(shù)處理成：

，再利用旋轉(zhuǎn)放

縮構(gòu)造出

PB

的五分之四和

PA

的五分之三即可，需要用到旋轉(zhuǎn)雙相似的

原理．出題時(shí)數(shù)據(jù)要造好，不能太難算，初中階段不要人為加大難度．【典型例題】【例1】(1)如圖，在△ABC

中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC

內(nèi)一點(diǎn)，則

PA+PB+PC

的最小值為

．(2)若

P

為銳角△ABC

的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，則PB=

．(3)如圖，P

是邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC

內(nèi)的任意一點(diǎn)，求

t=PA+PB+PC

的取值范圍.【例2】已知，在△ABC中，∠ACB＝30°．(1)如圖1，當(dāng)

AB＝AC＝2時(shí)，求

BC的值；(2)如圖2，當(dāng)

AB＝AC，點(diǎn)

P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝2，PB＝

，PC＝3，

求∠APC的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)

AC＝4，AB＝(CB＞CA)，點(diǎn)

P是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，

求

PA+PB+PC的最小值．【典型例題】【典型例題】【例3】如圖1，在△ABC

中，∠ACB＝90°，點(diǎn)

P

為△ABC

內(nèi)一點(diǎn)．(1)連接

PB、PC，將△BCP

沿射線

CA

方向平移，得到△DAE，點(diǎn)

B、C、P

的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、A、E，連接CE．①依題意，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形；②如果

BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求

CE

的長(zhǎng)．(2)如圖3，以點(diǎn)A

為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接

PA、

PB、PC，當(dāng)

AC＝3，AB＝6時(shí)，根據(jù)此圖求

PA+PB+PC

的最小值．【典型例題】【例4】(1)如圖，四邊形

ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角

線

BD(不含

B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)

B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)

AG+BG+CG取最小值時(shí)，則

EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．(2)如圖，四邊形

ABCD

是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連

接

AM，BM，CM，則

AM+BM+CM

的最小值為_(kāi)_______．(3)如圖，正方形

ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)

E到

A、B、C三點(diǎn)距離之和的最小值為

，

則正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．(4)如圖，P為正方形

ABCD對(duì)角線

BD上一動(dòng)點(diǎn)，若AB=2，則

AP+BP+CP的最小

值為_(kāi)_______．【典型例題】【例5】如圖，四邊形ABCD

是正方形，△ABE

是等邊三角形，M為對(duì)角線BD上任

意一點(diǎn)

(不含

B點(diǎn))，將

BM

繞點(diǎn)B

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到

BN，連接EN、AM、CM.(1)求證：△AMB≌△ENB；(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最?。虎诋?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)AM+BM+CM

的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).【典型例題】【例6】(1)如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)

M

為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)

E

為BC

邊上任意一點(diǎn)，則

MA+MD+ME

的最小值為_(kāi)_____．(2)如圖，四個(gè)村莊坐落在矩形

ABCD

的四個(gè)頂點(diǎn)上，AB=10公里，BC=15公里，現(xiàn)