湖南省2025屆高三數學沖刺試題三含解析

PAGE2第=!異樣的公式結尾頁，共=sectionpages2121頁湖南省2025屆高三數學沖刺試題（三）（含解析）已知p：?x0∈R，使得2x0A.?x∈R，2x<x2 B.?x0∈R，2x0>棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinA.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限已知奇函數y=f(x)為R上的增函數，且在區(qū)間[?2,3]上的最大值為9，最小值為?6，則f(?3)+f(2)的值為(?)A.3 B.1 C.?1 D.?3魏晉時期，數學家劉徽首創(chuàng)割圓術.他在《九章算術》之方田章之圓田術中指出：“割圓之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不行割，則與圓周合體而無所失矣.”這是一種無限與有限的轉化過程.數學中這類問題多著呢!比如：在正數121+121+中的“…”代表無限重復，設x=121+121+，則可列方程x=121+x，求得A.3 B.5 C.7 D.9某商場經營的某種包裝的大米質量ξ(單位：kg)聽從正態(tài)分布N(10,σ2)，依據檢測結果可知P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96，某公司為每位職工購買一袋這種包裝的大米作為福利，若該公司有1000名職工，則分發(fā)到的大米質量在9.9kg以下的職工數大約為A.10 B.20 C.30 D.40已知三棱錐P?ABC的底面是邊長為3的正三角形，且PA=3，PB=4，PC=5，則三棱錐P?ABC的體積為(?)A.3 B.10 C.11 D.2已知a>0，b<0，則x=2a，y=2b，z=A.x>z>y B.y>x>z C.z>y>x D.x>y>z已知函數f(x)=ex+e?x+2cosxA.f(a2+1)≥f(2a) B.f(a2+1)≤f(2a)一道四個選項的選擇題，趙、錢、孫、李各選了一個選項，且選的恰好各不相同.

趙說：“我選的是A.”

錢說：“我選的是B，C，D之一.”

孫說：“我選的是C.”

李說：“我選的是D.”

已知四人中只有一人說了假話，則說假話的人可能是(?)A.趙 B.錢 C.孫 D.李已知數列{an}滿意a1=a，an+1A.?a>0，?n≥2，使得an<2

B.?a>0，?n≥2，使得an<an+1

C.?a>0，?m∈N?，總有a已知焦點在x軸上的橢圓過點(3,0)且離心率為63，則(?)A.橢圓的標準方程為x29+y23=1

B.橢圓經過點(0,23)

某人確定就近打車前往目的地，前方開來三輛車，且車況分別為“好”“中”“差”.他確定按如下兩種方案打車.方案一：不乘第一輛車，若其次輛車好于第一輛車，就乘此車，否則干脆乘坐第三輛車；方案二：干脆乘坐第一輛車.若三輛車開過來的先后次序等可能，記方案一和方案二坐到車況為“好”的車的概率分別為p1，p2，則下列推斷不正確的是(?)A.p1=p2=12 B.p1=p已知函數g(x)的圖象向左平移π6個單位長度，得到函數f(x)=3cos2x+設a，b是正數，若兩直線l1：(m?1)x+(3?2m)y+1=0(m∈R)和l2：ax+by+2=0恒過同肯定點，則1a+已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin2A+sin2B?sin2C若關于x的方程2|x?1|+acos(1?x)=0只有一個實數解，則實數a如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，側面是正方形，∠DAB=60°，經過對角線AC1的平面和側棱BB1相交于點F，且B1F=2BF.

(1)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c=2，b=1，且(sinA+sinB+C2)(sinA?sinB+C2)=0.

(1)求∠A的大小和邊a的長；

(2)若點P在△ABC的內部或邊上運動記點P到邊BC，CA的距離分別為x，y，點P到△ABC三邊的距離之和為d，試用數學建模是中學數學核心素養(yǎng)的一個組成部分.數學建模實力是應用意識和創(chuàng)新意識的重要表現(xiàn).為全面推動數學建?；顒拥拈_展，某學校實行了一次數學建模競賽活動.已知該競賽共有60名學生參與，他們成果的頻率分布直方圖如圖.

(1)為了對數據進行分析，將60分以下的成果定為不合格，60分以上(含60分)的成果定為合格.為科學評估該校學生數學建模水平，確定利用分層抽樣的方法從這60名學生中選取10人，然后從這10人中抽取4人參與座談會.記ξ為抽取的4人中，成果不合格的人數，求ξ的分布列和數學期望；

(2)已知這60名學生的數學建模競賽成果X聽從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ可用樣本平均數近似代替，σ2可用樣本方差近似代替(用一組數據的中點值作代表)，若成果在46分以上的學生均能得到嘉獎.本次數學建模競賽滿分為100分，試估計此次競賽受到嘉獎的人數.(結果依據四舍五入保留到整數位)

解題中可參考運用下列數據：

P(μ?σ<X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ?3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.設m個互異的正偶數與n個互異的正奇數的和為99.

(1)求證：m2+m+n2≤99；

(2)求m+n已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B，且滿意BF1?BF2=0.

(1)求橢圓函數f(x)=lnex?1x，數列{an}滿意a1=1，an+1=f(an答案和解析1.【答案】C

【解析】解：命題為特稱命題，則命題的否定為?x∈R，2x≥x2，

故選：C.

【解析】解：由(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx，

得(cosπ5+i【解析】解：因為函數y=f(x)為R上的增函數，

則f(x)在[?2,3]上是增函數且最大值為f(3)=9，最小值為f(?2)=?6，

又∵f(x)是奇函數，

∴f(?3)=?f(3)=?9，f(2)=?f(?2)=6，

∴f(?3)+f(2)=?9+6=?3.

故選：D.

依據函數的奇偶性與單調性求解即可．

本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合，考查轉化思想與運算求解實力，屬于基礎題．

4.【答案】B

【解析】解：依題意，得5x=x

，解得x=5，

經過驗證滿意題意，

∴x=5.

故選：B.

依題意，得5x=x，x，即可得出．

本題考查了極限的思想、方程的解法，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎題．

5.【解析】解：∵考試的成果ξ聽從正態(tài)分布N(10,σ2).

∴考試的成果ξ關于ξ=10對稱，

∵P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96，

∴P(ξ<9.9)=1?0.962=0.02，

∴公司有2000名職工，則分發(fā)到的大米質量在9.9kg以下的職工數大約為0.02×21000=20.

故選：B.

依據考試的成果ξ聽從正態(tài)分布N(10,σ2).得到考試的成果ξ關于ξ=10對稱，依據P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96，得到P(ξ<9.9)=0.02，依據頻率乘以樣本容量得到分發(fā)到的大米質量在【解析】解：∵三棱錐P?ABC的底面是邊長為3的正三角形，PA=3，PB=4，PC=5，

∴PB2+BC2=PC2，∴PB⊥BC，∴△PBC是直角三角形，

如圖，由斜線長相等，則射影長相等，可得A在平面PBC內的射影H為直角三角形PBC的外心，

故H為△PBC斜邊PC的中點，

∵AP=AC=3，H為PC中點，且PC=5，則AH=32?(52)2=9?254=112，

∴該三棱錐P?ABC的體積為：VP?ABC=VA?PBC=【解析】解：∵a>0，b<0，

∴2a>2b>0，a+1>1，log12(a+1)<log121=0，

∴x>y>z.

故選：D.

依據指數函數的單調性及值域即可得出【解析】【分析】

本題考查了利用導數探討函數的單調性，函數的奇偶性以及不等式的性質，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．

由f(?x)=f(x)，可得f(x)在R上是偶函數，函數f(x)=ex+e?x+2cosx，利用導數探討函數的單調性即可得出．

【解答】

解：∵f(?x)=f(x)，

∴f(x)在R上是偶函數．

函數f(x)=ex+e?x+2cosx，

f'(x)=ex?e?x?2sinx，

令g(x)=ex?e?x?2sinx，

則g'(x)=【解析】解：假設趙說了假話，則錢、孫、李說的是真話，錢、孫、李分別選了B，C，D，因為選的恰不相同，故趙選A，即趙沒有說假話，沖突；

假設錢說了假話，則錢選的是A，而趙選A說的是假話，沖突；

假設孫說了假話，則趙、錢、李說的是真話，一種可能是孫選的是B，錢選的是C，沒有沖突；

假設李說了假話，則趙、錢、孫說了真話，一種可能性是李選了B，錢選了D，也沒有沖突．

故說假話的可能是孫、李．

故選：CD.

分別假設趙、錢、孫、李說了假話，由此進行推理，即可得到答案．

本題考查了簡潔的合情推理的實際應用，考查了學生分析問題的實力與邏輯推理實力，屬于基礎題．

10.【答案】ABC

【解析】解：對于A：由于?a1=a>0，

當n≥1時，an+1=an2+1an≥2an2?1an=2，當且僅當an=2時，等號成立，

所以對一切n≥2(n∈N+)都有an≥2【解析】解：焦點在x軸上的橢圓過點(3,0)且離心率為63，可得a=3，c=6，所以b=3，

所以橢圓方程為：x29+y23=1.所以A正確；

因為b=3，所以B不正確；

橢圓的焦點坐標(±6,0)，雙曲線x2?y2=3的焦點坐標為(±6,0)，所以C正確；

直線y?1=k(x?1)恒過(1,1)，(1,1)【解析】解：設“好”“中”“差”三輛車的序號分別為1，2，3，

三輛車出車的依次可能為：123，132，213，231，312，321，

方案一坐車可能為：213，231，312，∴P1=36=12，

方案二坐車可能為：123，132，∴P2=26=13.

【解析】解：函數f(x)=3cos2x+sinxcosx?3=3×1+cos2x2【解析】解：設a，b是正數，

若兩直線l1：(m?1)x+(3?2m)y+1=0(m∈R)和l2：ax+by+2=0恒過同肯定點，

而(m?1)x+(3?2m)y+1=0(m∈R)，即m(x?2y)?x+3y+1=0，經過定點(?2,?1)，

故ax+by+2=0也經過定(?2,?1)，故?2a?b+2=0，即2a+b=2，

∴2≥22ab，∴1ab≥12，當且僅當2a=b=1時，即a=12，b=1時，等號成立．

則1a+2b=2a+bab=2ab【解析】解：由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，

∵sin2A+sin2B?sin2Cc=sinAsinBacosB+bcos【解析】解：令t=|x?1|≥0，則原方程可化為2|t|=?acost，

又y=2|t|，y=?acost均為偶函數，其圖象關于y軸對稱，而方程只有一個解，

故?a=1，解得a=?1.

故答案為：{?1}.

令t=|x?1|≥0，則原方程可化為2|t|=?acost，而y=2|t|，y=?acost均為偶函數，由題意可知，方程的解只能為t=0，由此求得a的值．

本題考查函數零點與方程根的關系，考查對稱性，考查分析問題解決問題的實力，屬于基礎題．

17.【答案】解：(1)證明：設C1F的延長線交CB的延長線于點E，連接AE，

設四棱柱ABCD?A1B1C1D1的棱長為a，

∵B1F=2BF，△B1C1F∽△BEF，∴BE=a2，

由∠DAB=60°=∠ABE，∠ABC=120°，

得AE=3a2，AC=3a，

∵CE=3a2，∴AE2+CE2=AC2，∴AE⊥CE，

∵ABCD?A1B1C1D1是直四棱柱，C1C⊥平面ABCD，

又AE?ABCD，∴C1C⊥AE，

∵CE?CC1=C，∴AE⊥平面BCC1B1，

∵AE?平面AC1E，

∴平面AC1E⊥平面BC【解析】(1)設四棱柱ABCD?A1B1C1D1的棱長為a，由已知推導出AE⊥CE，由直四棱柱性質得C1C⊥ABCD，從而AE⊥平面BCC1B1，由此能證明平面AC1E⊥平面BCC1B1.

(2)過C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，連接GH，由已知得∠CGH是二面角E?AC1?C的平面角，由此能求出二面角E?AC1?C的平面角的余弦值．

本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查推理論證實力、運算求解實力等數學核心思想，是中檔題．

18.【答案】解：(1)∵(sinA+sinB+C2)(sinA?sinB+C2)=0，可得sin2A=sin2B+C2.

∴1?cos2A2=1?cos(B+C)2，即cos【解析】(1)利用三角函數的倍角公式，結合余弦定理進行求解即可．

(2)點P到AB邊的距離為z，依據S△ABC=S△PBC+S△PAC+S△PAB，建立方程關系，結合距離公式建立不等式組關系進行求解即可．

本題主要考查解三角形的應用，結合余弦定理，三角函數的倍角公式以及三角形的面積公式是解決本題的關鍵，考查學生的計算實力，屬于中檔題．

19.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖和分層抽樣的方法，可知抽取的10人中合格的人數為(0.01+0.02)×20×10=6，不合格的人數為10?6=4，因此ξ的可能取值為0，1，2，ξ01234

P

1

8

3

41∴ξ的數學期望為E(ξ)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85；

(2)由題意可知，μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64，σ2=(30?64【解析】(1)分析可知ξ的可能取值為0，1，2，3，4，求出對應的概率，進而得到分布列，由此求出期望；

(2)求出μ及σ的值，由X聽從正態(tài)分布N(μ,σ2)，可計算P(46<X≤82)，P(X>82)，P(X>46)，由此得解．

本題考查分層抽樣，頻率分布直方圖，離散型隨機變量的分布列及數學期望，正態(tài)分布等學問點，考查運算求解實力，屬于中檔題．

20.【答案】解：(1)證明：記m個互異的正偶數為a1，a2，...，am，n個互異的正奇數為b1，b2，...，bn，

則a1+a2+...+am+b1+b2+...+bn=99，

由a1+a2+...+【解析】(1)記m個互異的正偶數為a1，a2，...，am，n個互異的正奇數為b1，b2，...，bn，運用等差數列的求和公式和不等式的性質，即可得證；

(2)由均值不等式可得[(m+12)+n2]2≤(m+12)2+n22=99+142，化簡整理，結合m，n為正整數，可得所求最大值．

本題考查等差