遼寧省撫順市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期二?？荚囋囶}文含解析

PAGE21-遼寧省撫順市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期二?？荚囋囶}文（含解析）一?選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】找兩個(gè)集合的公共元素.【詳解】∵，，∴故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查理解辨析實(shí)力，是基礎(chǔ)題.2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，遇到化為.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題.3.已知向量，，則向量，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，則（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】分子分母同除，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值.【詳解】.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與特殊值比較大小，再比較的大小.詳解】∵，，，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，先推斷正負(fù)，再看詳細(xì)狀況與特殊值比較，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題.6.下圖是甲、乙兩個(gè)工廠的輪胎寬度的雷達(dá)圖（虛線代表甲，實(shí)線代表乙）.依據(jù)下圖中的信息，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.甲廠輪胎寬度的平均數(shù)大于乙廠輪胎寬度的平均數(shù)B.甲廠輪胎寬度的眾數(shù)大于乙廠輪胎寬度的眾數(shù)C.甲廠輪胎寬度的中位數(shù)與乙廠輪胎寬度的中位數(shù)相同D.甲廠輪胎寬度的極差小于乙廠輪胎寬度的極差【答案】B【解析】【分析】通過(guò)雷達(dá)圖分別求出甲、乙輪胎寬度的平均數(shù)、眾數(shù)中位數(shù)和極差，比照選項(xiàng)選出錯(cuò)誤的答案.【詳解】由題意可知甲廠輪胎寬度的平均數(shù)是195，眾數(shù)是194，中位數(shù)是194.5，極差是3；乙廠輪胎寬度的平均數(shù)是194，眾數(shù)是195，中位數(shù)是194.5，極差是5；則A，C，D正確，B錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查用雷達(dá)圖計(jì)算平均數(shù)、眾數(shù)中位數(shù)和極差，需留意甲、乙數(shù)據(jù)不要搞混，考查理解辨析實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題.7.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行解除,再利用特殊取值推斷.【詳解】即，所以是奇函數(shù)，解除A，B；當(dāng)時(shí)，，，則，解除C.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式推斷函數(shù)圖像，考查理解辨析實(shí)力和推理論證實(shí)力，是基礎(chǔ)題.8.已知一個(gè)圓柱的側(cè)面積等于表面積的一半，且其軸截面的周長(zhǎng)是18，則該圓柱的側(cè)面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別設(shè)出圓柱的底面半徑和高，由已知列出關(guān)于底面半徑和高的方程，解方程，最終可求圓柱的側(cè)面積.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，高為，由題意可得，解得，則該圓柱的側(cè)面積是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱表面積和軸截面周長(zhǎng)的計(jì)算，考查運(yùn)算求解實(shí)力和直觀想象實(shí)力，是基礎(chǔ)題.9.如圖，，是函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，是函數(shù)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則函數(shù)的解析式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過(guò)，是等腰直角三角形，可得長(zhǎng)度，從而求出周期，由可得得值，再將代入計(jì)算的值，最終可得的解析式.【詳解】由題意可得，因?yàn)槭堑妊苯侨?，所以，所以，即則，故，將代入解析式得，可得，解得，因?yàn)?，所以，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)識(shí)圖求解析式，考查理解辨析實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題.10.祖沖之是我國(guó)南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家.他一生鉆研自然科學(xué)，其主要貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)、天文歷法和機(jī)械制造三方面，特殊是在探究圓周率的精確度上，首次將“”精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位，即，在此基礎(chǔ)上，我們從“圓周率”第三到第八位有效數(shù)字中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)字，，則事務(wù)“”的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把第三到第八位6個(gè)有效數(shù)字兩兩組合，列出全部可能狀況，找出符合要求事務(wù)個(gè)數(shù)，求概率.【詳解】由題意可知第三到第八位有效數(shù)字為4，1，5，9，2，6，則取到數(shù)字，的狀況有，，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中符合條件的有8種，故所求概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查用列舉法求古典概型的概率，考查數(shù)據(jù)處理實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題.11.已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且.若點(diǎn)到直線的距離是，則直線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由此得到的坐標(biāo)，求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式列方程，由此求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的斜率.【詳解】由題意可知，設(shè)，則，直線的方程為，即.因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離是，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以，整理得，解得，所以，即，故直線的斜率是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.12.若對(duì)隨意實(shí)數(shù)，恒成立，則（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求得，對(duì)進(jìn)行分類探討，結(jié)合恒成立，求得的值.【詳解】，則.當(dāng)，即時(shí)，，則在單調(diào)遞減，故，解得，所以不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.因?yàn)?，所?令，不等式可轉(zhuǎn)化，設(shè)，則，令，得；令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值0，即，因?yàn)?，所以，此時(shí)，故.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討不等式恒成立問(wèn)題，考查分類探討的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.二?填空題13.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的漸近線方程求得，結(jié)合求得的值，進(jìn)而求得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng).【詳解】由題意可得，解得，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.14.若實(shí)數(shù)，滿意約束條件，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)不等式組作出可行域，結(jié)合可行域求目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】如圖，可行域?yàn)閳D中陰影部分，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值，考查運(yùn)算求解實(shí)力和數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.15.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，且，則的面積的最大值是__________.【答案】4【解析】【分析】利用正弦定理把已知等式角化邊，并結(jié)合余弦定理可求得角；，利用基本不等式可得的最大值，最終可得的面積的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，則.因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故的面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用正、余弦定理解三角形，并求三角形面積的最值，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題.16.在直四棱柱中，，，四邊形的外接圓的圓心在線段上.若四棱柱的體積為36，則該四棱柱的外接球的體積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)四棱柱的體積求得側(cè)棱長(zhǎng)，利用勾股定理計(jì)算出四棱柱外接球的半徑，進(jìn)而計(jì)算出外接球的體積.【詳解】由題意可得和都是以為斜邊的直角三角形，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以四邊形的面積.因?yàn)樗睦庵捏w積為36，所以，所以該四棱柱的外接球的半徑，故該四棱柱的外接球的體積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.三?解答題：17.在數(shù)列中，，，（且）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用定義法證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）證明：∵，∴，又，，；∴（，且），故數(shù)列是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列；（2）解：由（1）可得，則（，且），故（，且），當(dāng)時(shí)，滿意上式，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的證明方法——定義法，等比數(shù)列通項(xiàng)公式，累加法求求通項(xiàng)公式，特殊是累加法求通項(xiàng)要驗(yàn)證首項(xiàng)，考查理解辨析實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題.18.某中學(xué)有老師400人，其中中學(xué)老師240人.為了了解該校老師每天課外熬煉時(shí)間，現(xiàn)利用分層抽樣方法從該校老師中隨機(jī)抽取了100名老師進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)其每天課外熬煉時(shí)間(全部老師每天課外熬煉時(shí)間均在分鐘內(nèi))，將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按，，，…，分成6組，制成頻率分布直方圖如下：假設(shè)每位老師每天課外熬煉時(shí)間相互獨(dú)立，并稱每天熬煉時(shí)間小于20分鐘為缺乏熬煉.（1）試估計(jì)本校老師中缺乏熬煉的人數(shù)；（2）若從參加調(diào)查，且每天課外熬煉時(shí)間在內(nèi)的該校老師中任取2人，求至少有1名初中老師被選中的概率.【答案】（1）人.（2）【解析】【分析】（1）先求得樣本中初中、中學(xué)老師缺乏熬煉的頻率，由此計(jì)算出該校老師中缺乏熬煉的人數(shù).利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】（1）由題意可得樣本中初中老師缺乏熬煉的頻率為，樣本中中學(xué)老師缺乏熬煉的頻率為，估計(jì)該校老師中缺乏熬煉的人數(shù)為.（2）由題意可參加調(diào)查初中老師每天課外熬煉時(shí)間在的人數(shù)為，記為，；中學(xué)老師每天課外熬煉時(shí)間在的人數(shù)為，記為，，.從這5人中選取2人的狀況有，，，，，，，，，，共10種；其中符合條件的狀況有，，，，，，，共7種.故所求概率.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用頻率分布直方圖進(jìn)行估計(jì)，考查古典概型概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊.若把沿邊折疊到的位置，使平面平面，如圖2.（1）證明：；（2）若為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明平面，則有；（2）等體積法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，為斜邊，∴.∵平面平面，平面平面，平面∴平面，∵平面，∴；（2）解：由（1）知，平面，由題意可得，，，則，，∵為棱的中點(diǎn)，∴，∴，在中，，，，∴，即，則的面積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，點(diǎn)到平面距離的求法，考查直觀想象實(shí)力、推理論證實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題.20.已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）探討在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類探討參數(shù)，得出的單調(diào)性；（2）轉(zhuǎn)化問(wèn)題，原函數(shù)有零點(diǎn)即函數(shù)有解，求導(dǎo)得出的單調(diào)性和極值，分類探討得出在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】解：（1）∵，∴，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，得，令，得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）令，得，設(shè)，則.令，得，令，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.當(dāng)時(shí)，在上無(wú)解，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有且僅一個(gè)解，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)解，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和極值探討函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查了分類探討思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想和運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題.21.已知橢圓的離心率為，且四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積是.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且不垂直于軸，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（是坐標(biāo)原點(diǎn)），若四邊形的面積為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）離心率供應(yīng)與的關(guān)系，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形對(duì)角線相互垂直，列出等量關(guān)系求，的值；（2）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),由直線點(diǎn)斜式方程設(shè)出直線的方程，并設(shè)出直線與橢圓交點(diǎn)、的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理可表示出的中點(diǎn)的坐標(biāo)；由中點(diǎn)的坐標(biāo)可得直線的方程，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理可求，再利用點(diǎn)到直線距離公式可求點(diǎn)、到直線的距離，由四邊形的面積為可列出等量關(guān)系，最終可求出直線的方程.【詳解】解：（1）由題意可得，解得，，故橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立，整理得，則，，從而，故，直線的斜率為，所以直線的方程為，即.聯(lián)立，整理得，則.設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離也為，從而.∵點(diǎn)，在直線的兩側(cè)，∴，∴，則，∵，∴，則四邊形的面積，∵四邊形的面積為，∴，解得，故直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想和運(yùn)算求解實(shí)力，是難題.22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求與的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）干脆利用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化公式，可得出與的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程，點(diǎn)在直線上，利用參數(shù)的幾何意義，可得的值.【詳解】解：（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以其直角坐標(biāo)方程為，∵直線的極坐標(biāo)方程為，∴，∴其直角坐標(biāo)方程為；（2）直線過(guò)點(diǎn)且參數(shù)方程可表示為（為參數(shù)），代入曲線的方程，得，則，，∴.【點(diǎn)睛】