2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)同步練習(xí)-第一章 數(shù)列綜合拔高練

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)

第一章數(shù)列

綜合拔（W）練

五年高考練

考點(diǎn)1等差數(shù)列及其應(yīng)用

1.（2022新高考n,3）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),AA',BB，,CC',DD'是桁相

鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，

其中DDi,CCi,BBi,AAi是舉QDi,DCi,CBi,BAi是相等的步相鄰桁的舉步之比分

別為黑=05察=ki,等=k2,箸=k3.已知ki,k2,k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直

UU\L/CIGDI

線OA的斜率為0.725廁1<3=（）

圖1圖2

A.0.75B.0.8

C.0.85D.0.9

2.（2022新高考1,17）記Sn為數(shù)列0｝的前n項(xiàng)和，已知ai=L恃是公差為駒等

差數(shù)列.

Q）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）證明:工+工+...+!<2.

。2an

3.(2021全國(guó)甲理,18)已知數(shù)列&｝的各項(xiàng)均為正數(shù)記Sn為&｝的前n項(xiàng)和，從下

面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛an淀等差數(shù)列;②數(shù)列｛房｝是等差數(shù)列;③d2=3ai.

注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

4.(2021全國(guó)乙理,19)記Sn為數(shù)列同｝的前n項(xiàng)和,bn為數(shù)列0｝的前n項(xiàng)積，已

知卷+止=2.

Snbn

(1)證明:數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列；

(2)求｛an｝的通項(xiàng)公式.

考點(diǎn)2等比數(shù)列及其應(yīng)用

全國(guó)乙理已知等比數(shù)歹」面｝的前項(xiàng)和為啟廁

5.(2022,8)131682a=42a6=()

A.14B.12

C.6D.3

6.(2022北京,15)已知數(shù)列0｝的各項(xiàng)均為正數(shù)其前n項(xiàng)和Sn滿足

an￡=9(n=L2,...).給出下列四個(gè)結(jié)論:

①&｝的第2項(xiàng)小于3;

②｛an｝為等比數(shù)列；

③｛加｝為遞減數(shù)列；

④｛an｝中存在小于擊的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

全國(guó)設(shè)&｝是公比不為的等比數(shù)列為的等差中項(xiàng).

7.(20201,17)1J,aia2,a3

(1)求｛aj的公比;

⑵若ai=l,求數(shù)列｛naj的前n項(xiàng)和.

課標(biāo)全國(guó)已知數(shù)歹」｛和｛｝滿足

8.(2019n,19)iajbnai=l,bi=0,4an+i=3an-

bn+4,4bn+i=3bn-an-4.

⑴證明:｛an+bn淀等比數(shù)列｛a「bn｝是等差數(shù)列；

(2)求｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式.

考點(diǎn)3數(shù)列的綜合應(yīng)用

9.（2021全國(guó)新高考1,16）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿

紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20dmxl2dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以

得至I」10dmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和Si=240

dm"對(duì)折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)

格的圖形它們的面積之和S2=180dm2以此類(lèi)推.則對(duì)折4次共可以得至懷同規(guī)

n

格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折n次，那么ISk=dm2.

k=l

an+l,n為奇數(shù),

10.（2021全國(guó)新高考1,17）已知數(shù)歹i」｛an｝滿足ai=lzan+i=

an+2,n為偶數(shù).

⑴記bn=a2n,寫(xiě)出bl,b2,并求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式；

（2）求｛an｝的前20項(xiàng)和.

11.（2020全國(guó)新高考1,18）已知公比大于1的等比數(shù)列3｝滿足

32+34=20,33=8.

Q）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）記bm為｛an｝在區(qū)間（0,m］（m￡N+）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)求數(shù)列｛bm｝的前100項(xiàng)和

Sioo.

12.(2021全國(guó)乙文,19)設(shè)&｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛&｝滿足bn=等.已知

ai,3a2,9a3成等差數(shù)列.

(1)求同｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式;

(2)記Sn和Tn分別為｛加｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和.證明:Tn嚶

考點(diǎn)4數(shù)學(xué)歸納法*

13.(2020全國(guó)印,17)設(shè)數(shù)列｛an｝滿足ai=3,an+i=3an-4n.

⑴計(jì)算a"為猜想同｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)求數(shù)列｛2昭/的前n項(xiàng)和Sn.

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.（2021廣東深圳翠園中學(xué)月考）設(shè)a>0,b>0,lga是lg4a與lg2b的等差中項(xiàng),

貝！J|+梆］最小值為（）

A.2V2B.3

C.9D.3V2

2.侈選）（2021湖北部分重點(diǎn)中學(xué)期末）設(shè)數(shù)列｛an｝,｛>｝的前n項(xiàng)和分別為

Sn,Tn,ai=LSn+l=WSn,且bn=3-，則下列結(jié)論正確的是（）

nanan-i-2

2

A.a2020=2020B.SB”

C.bn=l--^—D.|<Tn-n<^

n（n+2）34

3.（多選）（2022福建福州第一中學(xué)期末）已知等差數(shù)列｛an｝與等比數(shù)列｛&｝的前n

項(xiàng)和分別為Sn,Tn,則下列結(jié)論正確的有（）

A.數(shù)列｛2而｝一定是等比數(shù)列

B.Tn可能為2n+2

C.數(shù)列｛?｝一定是等差數(shù)列

D.數(shù)列｛購(gòu)｝一定是等比數(shù)列

4.（多選）（2020廣東中山期末）意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契是第一個(gè)研究了

印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列

｛an｝滿足ai=La2=l,an=an-i+an-2（n23,ri￡N+）若將該數(shù)列中的每一項(xiàng)按照如圖

所示的方法放進(jìn)格子里,每個(gè)小格子的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)記前n項(xiàng)所占的格子的面積之和

為Sn,每段螺旋線與其所在的正方形圍成的扇形面積為金,則下列結(jié)論正確的是

()

A?Sn+i=W+i+an+ian

B.ai+a2+a3+.??+an=加+2-1

C.ai+a3+as+...+a2n-i—a2n-l

D.4(Cn-Cn-i)=TTan-2an+i(n>3)

5.(2021安徽示范高中培優(yōu)聯(lián)盟聯(lián)考)已知^ABC中,tanA,sinB,cosB成公比為g

的等比數(shù)列，則tanC的值為.

6.(2022安徽蕪湖期末)已知數(shù)列斜｝滿足an蟲(chóng);?eN定義:使

ara203?…6(定N+)為整數(shù)的k叫作"幸福數(shù)"，則區(qū)間［L2整2］內(nèi)所有"幸福

數(shù)"的和為.

7.(2021廣東汕頭金山中學(xué)南區(qū)學(xué)校期末)已知等差數(shù)列｛an｝的公差為d(dwO),前

n項(xiàng)和為Sn,且滿足.

⑴求an；

⑵設(shè)bn=—數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證:Tn<1.

anan+lJ

從①Sio=5(aio+1)；②a皿2,a6成等比數(shù)列;③S5=35這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充

到題干中的橫線處，并作答.

8.(2021浙南名校聯(lián)盟期末)已知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù),記數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和

為Sn,數(shù)歹I」｛忌｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n,且3Tn=S/+2Sn,n￡N+.

⑴求ai的值及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=-^77,求證:b2+b3+...+bn礙

an+1+l21

遷移創(chuàng)新

9.

張敏同學(xué)利用暑假時(shí)間到一家手機(jī)賣(mài)場(chǎng)勤工儉學(xué)，該手機(jī)賣(mài)場(chǎng)向她提供了三種

付酬方案：

方案一，每天支付50元，沒(méi)有獎(jiǎng)金；

方案二，每天底薪32元，另有獎(jiǎng)金，第一天沒(méi)有獎(jiǎng)金，第二天獎(jiǎng)金2元，以后每天支

付的薪酬中獎(jiǎng)金比前一天的獎(jiǎng)金多2元；

方案三，每天無(wú)底薪，只有獎(jiǎng)金，第一天獎(jiǎng)金0.4元，以后每天支付的獎(jiǎng)金是前一天

獎(jiǎng)金的1.5倍.

⑴工作n(nw[L61],n￡N+)天,記三種方案所得錢(qián)數(shù)依次為An、Bn、品,寫(xiě)出An、

Bn、Cn關(guān)于n的表達(dá)式；

(2)若張敏同學(xué)決定從前兩種方案中選擇一種，則她選擇哪種方案所得薪酬更高？

(3)若張敏同學(xué)在暑假期間共工作20天,則她選擇哪種方案更合適？

20

?*3325.26.

答案與分層梯度式解析

綜合拔高練

五年高考練

l.Pv,ODi=DCi=CBi=BAi=a,

則CCi=kia,BBi=k2a,AAi=k3a,DDi=0.5a,

所以A的坐標(biāo)為(4a,kia+k2a+k3a+0.5a),

所以koA_Zcia+Zc2a+^3a+0-5a-的+*2+矽+0.5_0725

所以ki+k2+k3+0.5=2.9.

因?yàn)閗i,k2,k3成公差為0.1的等差數(shù)列，

所以ki+k2+k3+0.5=3k3-0.3+0.5=2.9,

所以k3=09故選D.

2.解析(1)解法一:依題意得,Si=ai=l.

.,.3Sn=(n+2)an,

貝U3Sn+i=(n+l+2)an+i=(n+3)an+i,

.,.3Sn+i-3Sn=(n+3)an+i-(ri+2)an,

即3an+i=(n+3)an+i-(n+2)an,

???r)an+i=(n+2)an很喈=彳，

由累乘法得舒=誓產(chǎn)，

又ai=L.a+i=^^,

.-.an=^)(n>2),Xai=l滿足上式，

,-.an=^(nGN+).

解法二:同解法一求得nan+i=(n+2)an,

*'n+2-T7KI(71+1)(九+2)-.(71+1)'

??數(shù)列｛島｝是常數(shù)列，又遂舟，

?a_1?a_n(n+l)

-n-an-~~-

⑵證明:由⑴知廣島=2(9言)，

*+看+…+廣2、(冷)+2'(泊+…+2(；扁)=2(1一點(diǎn))=2-亮<2.

3.解析選①②作為條件，證明③.

證明:設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,

因?yàn)椋辏堑炔顢?shù)列，所以2底=國(guó)+店，

即2j2al+[1=后+,3%+3d,兩邊同時(shí)平方彳導(dǎo)

4(2ai+d)=ai+3ai+3d+2>/a1(3a1+3d),

整理得4a1+d=2皿1(3%+3d),

兩邊同時(shí)平方彳導(dǎo)16a：+8aid+d2=4(3a：+3aid),

化簡(jiǎn)得4^-4aid+d2=0,gp(2ai-d)2=0,

所以d=2ai,則a2=ai+d=3ai.

選①③作為條件，證明②.

證明:設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d.

因?yàn)閍2=3ai,BPai+d=3ai,所以d=2ai.

所以等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=nai+^d=nai+^-2ai=n2ai.

又ai>0,所以離二na.

則斤？店=(n+1)何7a二師所以數(shù)列｛圖｝是首項(xiàng)為⑸公差為何的等差數(shù)列.

選②③作為條件，證明①.

證明:設(shè)等差數(shù)列｛圖｝的公差為d,

因?yàn)?^7,"/^7=迎1++3a1=287,

所以d二6-叵=2屈-病=病,

則等差數(shù)列｛后｝的通項(xiàng)公式為店=病+(41)后力⑸所以Sn=n2ai,

當(dāng)n>2時(shí),an=Sn-Sn-i=r12aLm-l)2ai=(2n-Dai,且當(dāng)n=l時(shí),上式也成立，

所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為30=(211-1)31,

貝!Jan+i-an=(2n+l)ai-(2n-l)ai=2ai,

所以數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為ai,公差為2al的等差數(shù)列.

4.解析⑴證明:由bn=SiS?…Sn可得,

僅i，n=1,

Sn=>,n>2.

VJn-l

由9戶(hù)2知，

°n

當(dāng)n=l時(shí)，9戶(hù)2,即“戶(hù)2,所以bi=Si=|,

當(dāng)n>2時(shí)備+戶(hù)2,即2bn=2bn-i+l,

黨

即bn-bn-l=^,

故數(shù)列｛bn｝是首項(xiàng)為|,公差為;的等差數(shù)列.

⑵由Q)知,bn=|+(n-l)xA亨

故當(dāng)n>2時(shí),Sn=^二篙S1也符合該式，

即Sn二富(n￡Z+),從而ai=Si=|,

當(dāng)n>2時(shí),an=Sn$-i嗤-平=-島21不符合該式，所以an=p，nf1,

n+1n2+i)—,n>2.

kn(n+l)

5.D解法一:設(shè)｛an｝的公比為q,

則『2-。5=ai(q-q，=42,①

+g+%=%(l+q+q2)=168,②

拜陪=蛆曙滬也qQ-q)得，即4q2-4q+l=0,即(2q-l)2=0,所以q=2,代入①

得ai=96,故a6=aiq5=96xg)=3,故選D.

解法二:設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為年前n項(xiàng)和為Sn.

由32-35—42,^qwl.

由題意得修=瞎=168,①

3

.a2-a5=a1q(l-q)=42,@

號(hào)得即4q2-4q+l=0,即(2q-l)2=0,所以q4代入①得ai=96,故

ae=aiq5=96xQ)=3,故選D.

6.答案①③④*

解析當(dāng)n=l時(shí),a「ai=9,由ai>0,得ai=3,

當(dāng)n=2時(shí),a2,S2=a2(a2+3)=9,即說(shuō)+3a2-9=0,

解得a2=哼I又a2>0,所以a2二蜉,所以a2<3,故①正確.

an+l-an=^V=等留，又&｝的各項(xiàng)均為正數(shù)所以Sn+l>Sn,所以Sn$+l<0,即

>n+l3n+l3n

加+廣加<0,

所以an+l<an,所以數(shù)列｛an｝為遞減數(shù)列故③正確.

由a-Sn=9得Sn=2,當(dāng)n>2時(shí),an=Sn$-l=2-2,兩邊同乘an得4=9-我若&｝

nananan-lan-l

為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,則B-q(n22)為常數(shù)則a池為常數(shù)由③知｛an｝是遞減數(shù)

列，所以&｝不為等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤.

假設(shè)&｝中所有項(xiàng)均大于或等于擊，即a侖擊取n>90000廁

Sn=ai+a2+...+an>擊x90000=900,「.an?Sn>擊x900=9,與已知an-Sn=9相矛盾,

所以④正確.

故正確結(jié)論的序號(hào)為①③④.

7.解析Q)設(shè)｛an｝的公比為q,且qwl,

由題設(shè)得2al=a2+a3,即2ai=aiq+aiq2,

所以q2+q-2=0,解得qi=l倍去),q2=-2.

故｛an｝的公比為-2.

(2)記Sn為｛naj的前n項(xiàng)和.

由(1)及題設(shè)可得,an=(-2)z.

所以Sn=l+2x(-2)+...+nx(-2)n-i,①

-2Sn=-2+2x(-2)2+...+m-l)x(-2)n-i+nx(-2)n,②

①一②可得3Sn=l+(-2)+(-2)2+...+(-2)nT-nx(-2)n=W￡rix(-2)n.

所以Sn得-歿厘.

8.解析Q)證明:由題意知4an+i=3an-bn+4①，

4bn+i=3bn-an-4②，①+②得4(an+l+bn+l)=2(an+bn),

即an+l+bn+l=|(an+bn).

又因?yàn)閍i+bi=L所以｛an+bn｝是首項(xiàng)為1,公比為掃勺等比數(shù)列.

①-②彳導(dǎo)4(an+l-bn+l)=4(an-bn)+8,

即an+l-bn+l=an-bn+2.

又因?yàn)閍”bi=l,所以｛arbn｝是首項(xiàng)為L(zhǎng)公差為2的等差數(shù)列.

(2)由⑴知,an+bn=3,arrbn=2n-L

所以an=1[(an+bn)+(an_bn)]=^+n-p

bn=1[(an+bn)-(an-bn)]=^~n+1.

9.答案5;240x(3—要)

解析對(duì)折3次可以得到與dmxl2dm搟dmx竽dm,勺dmx竽dm,20dmx^

o4224o

dm,共四種不同規(guī)格的圖形，

對(duì)折4次可以得到粵dmxl2dm,與dmx竽dm泮dmx號(hào)dm,^dmx^dm,20

dmxijdm,共五種不同規(guī)格的圖形，

由此可以歸納出對(duì)折n次可得到(n+1)種不同規(guī)格的圖形每種規(guī)格的圖形的面

積均為等dm2,

/.iSk=120x12x[lx2+Jx3+^x4+.?+^x(n+l)3<dm2,

k=l

記Tn=|+'+...+竽廁弟=|+計(jì)…+段，

?TIT-1"T一1上(111I,1\n+l_31n+l_3n+3

--ln--ln--ln-l+^+-+-+川-尹一廣再產(chǎn)7一廠科,

「.Tn=3-嘿,iSk=[24ox(3-^)1dm2.

k=l

10.解析Q)由題意得a2n+l=a2n+2,a2n+2=a2n+l+L

所以a2n+2=a2n+3,即bn+l=bn+3,

又bi=a2=ai+l=2,

所以數(shù)列｛&｝是以2為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列，

所以bi=2,b2=5,bn=2+(n-l)x3=3n-l.

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=an+”l.

設(shè)數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和為Sn,

貝US2o=ai+a2+...+a2o

=(31+33+...+319)+(32+34+...+320)

=[(82-1)+(34-1)+...+(320-1)]+(32+34+...+320)

=2(32+34+...+320)-10,

由⑴可知a2+a4+...+a2o=bi+b2+...+bio=lOx2+等x3=155,故$20=2x155-

10=300,

即&｝的前20項(xiàng)和為300.

11.解析⑴設(shè)｛an｝的公比為q,則q>l.

由題設(shè)得=201

解得|泊2或舍去)，

所以｛an｝的通項(xiàng)4式為an=2n.

(2)由于21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,所以由題設(shè)及⑴可得，

bi對(duì)應(yīng)的區(qū)間為（0,1],則bi=0;

b2h對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為Q2],（0,3]廁b2=b3=l,即有2個(gè)1;

54處5出6力7對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為。4],。5],。6],。刀,則b4=b5=b6=b7=2,即有22

個(gè)2;

b8,b9，…,也5對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為Q8],（0,9]，…,（0,15]廁b8=b9=...=bi5=3,即有2^

個(gè)3;

也6血7,…,b3i對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為則bi6=bi7=...=b3i=4,BP

有24個(gè)4;

532力33,...北63對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為。32],。33],...,。63],則b32=b33=...=b63=5,即

有25個(gè)5;

b64,b65,...,bioo對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為（0,64],（0,65],...,（0,100],則b64=b65=...=bioo=6,

即有37個(gè)6.

所以Sioo=lx2+2x22+3x23+4x24+5x25+6x37=48O.

12.解析⑴設(shè)等比數(shù)列&｝的公比為q.

..ai,3a2,9a3成等差數(shù)歹!）/.6a2=ai+9a3,

又?「&｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,

-■-6aiq=ai+9aiq2,

???9q2-6q+l=0解得qi=q2=1,

???an=arqn-i=（；y：

,.,bn=^,.-.bn=n-Qy.

（2）證明:?0為｛an｝的前n項(xiàng)和，

?0=畔=蟲(chóng)-即

,「Tn為｛bn｝的前n項(xiàng)和，

「.Tn=bl+b2+…+bn=lx（°+2x（。+—+"；），①

沁=以＞2哨:..+?：②3

①?②可彳新甲?+...+（＞（片

二陪（丁+M

???格-⑸+洸）兄,

??*滬56）"＜°，1咚

13.解析（1）由題意可得a2=3ai-4=9-4=5,

33=332-8=15-8=7,

由數(shù)列⑸｝的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列&｝是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列，即

an=2n+l,nG/\/+.

證明如下：

當(dāng)n=l時(shí),ai=3成立；

假設(shè)n=k(k>l,keM+)0tak=2k+l成立.

那么n=k+l時(shí),ak+i=3ak-4k=3(2k+l)-4k=2k+3=2(k+l)+l也成立.

則對(duì)任意的n￡N+,都有an=2n+l成立

而以⑸｝的通項(xiàng)公式為an=2n+l,neN+.

(2)由(1)得2nan=(2n+l)2n,

所以Sn=3x2+5x22+7x23+...+(2n+l)x2n,(D

從而2Sn=3x22+5x23+7x24+...+(2n+l)x2n+i,②

①-②得4=3x2+2x22+2x23+…+2x2n-(2n+l)*2n+i=Q-2n)2n+1-2.

所以Sn=(2n-l)2^i+2.

知識(shí)拓展

解決數(shù)列的求和問(wèn)題，首先要得到數(shù)列的通項(xiàng)公式有了通項(xiàng)公式，再根據(jù)其特

點(diǎn)選擇相應(yīng)的求和方法.數(shù)列求和的方法有以下幾類(lèi)：(1)公式法:等差或等比數(shù)列

的求和用公式法;(2)裂項(xiàng)相消法:形如而二/而，可裂項(xiàng)為2B軟；-強(qiáng));(3)錯(cuò)位相減

法:形如Cn=an-bn,其中｛an提等差數(shù)列,｛bn｝是等比數(shù)列;⑷分組求和法形如

Cn=an+bn,其中｛an｝是等差數(shù)列,｛bn｝是等比數(shù)列;(5)并項(xiàng)求和法.

三年模擬練

l.C-/a>Ozb>O,lg應(yīng)是lg4a與lg2b的等差中項(xiàng)，

/.21gV2=lg4a+|g2b,.Jg2=lg22a+b,.,.2=22a+b,/.2a+b=l,

?、i+戶(hù)C+J2a+b)=5+與+胃25+2言=9,當(dāng)且僅當(dāng)胃二彳,即a=bW時(shí)取等號(hào).故

選C.

2.ABP由題意得蜉=?〃?.當(dāng)n>2時(shí)嚕51=詈臺(tái)..41二用顯然

當(dāng)n=l時(shí),上式也成立,「&=卓，易得an=n,.-.32020=2020,故AZB均正確；

???bn=S^=l+^5=l+Y9擊)3,Tn=n+XiV++狀+…+—擊+~

+戶(hù)n+Yi+9+-+戶(hù)n+制(擊+專(zhuān))<n+%.Tn-n<a

又％-n隨著n的增加而增加，

??.Tn-n2Ti-lW，.?.夢(mèng)T『nq故C錯(cuò)誤,D正確.故選ABD.

易錯(cuò)警示

使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng)，切

不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)?未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是

此法的根源與目的.

3.AC設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d.

對(duì)于A,翼=2%…=2*為常數(shù)廁數(shù)列｛/｝一定是等比數(shù)列故A正確;

對(duì)于B,若仆=2~2,則當(dāng)n=l時(shí),Ti=bi=2i+2=4,當(dāng)n>2時(shí),Tn-i=2n-i+2,所以

nnn

bn=Tn-Tn-i=2+2-(2-i+2)=2-i^n=l時(shí),bi=4不滿足京22,所以

=2故心｝不是等比數(shù)列，與已知矛盾，故心不可能為2n+2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于CS仔邈抖，則滬*ai+an)廁鬻得W(ai+an+i-a「an)Wd,為常數(shù)，故數(shù)列閨

一定是等差數(shù)列，故C正確；

對(duì)于D,令bn=2n*則仆=2門(mén)口則則海=L1=反1二8,酒=僑1=濘

顯然那X海工(傷)2,故數(shù)列｛靄｝不一定是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選AC.

4.ABD前(n+1)項(xiàng)所占格子組成長(zhǎng)為am+an,寬為an+i的矩形，其面積為

Sn+i=(an+i+an)an+i=4+i+an+ran〃，A正確；

依題意得,a3=a2+ai,a4=a3+a2,,an+2=an+i+an,以上各式相加

得,a3+a4+...+an+2=(a2+a3+...+an+i)+(ai+a2+...+an),，an+2-a2=ai+a2+...+an,

BPai+a2+...+an=an+2-l;.,.B正確；

依題意得,21=22=1啟3=214=3a5=516=8,

.,.31+33+35=8,36-1=7,/.C不正確；

易知CnWTl*Cn-l=；T[a3，/.4(Cn-Cn-l)=Tl(aKa3)=TI(an-an-l)(an+an-l)=Tian-

2an+i(nN3),:D正確.故選ABD.

5.答案-g

解析因?yàn)閊ABC中,tanA,sinB,cosB成公比為g的等比數(shù)列，

所以黑書(shū)篝帶，則WnB=|,

因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以sinB>0,

cosB_4/3

據(jù);。B=l,解得Fl'

｛sinB>0,ms.，

所以tanA呼胃，

3

所以tanC…n(A+B)=$=-||.

6.答案2036

解析當(dāng)時(shí),an=logn(n+l)=喘，

所以ara2；.?ak=l懾修…?曙=管=1。92?+1).

若ara2；.?ak為正整數(shù),

則1<+1=2,即k=2n-l.

n

令2-l<2022,nWN+廁n<10,neN+/

所以在[L2022]內(nèi)的所有"幸福數(shù)”的和為21-1+22-1+…+21°-1二筆善-

10=2036.

7.解析(1)由①Sio=5(aio+1》得10ai+等d=5(ai+9d+l),即ai=l;

由②ai,a2,a6成等比數(shù)歹I」,得起二aiaa即A+2aid+d2=4+5aid,即d=3ai；

由③S5=35彳嬖歿?=5a3=35,即a3=ai+2d=7.

易知選擇①②、①③、②③均能得到ai=l,d=3,

故an=l+3(n-l)=3n-2.

⑵證明:由Q)知bn=止;=(3n-2)；3n+l)W島-Wl)，

.,.Tn=bi+b2+b3+...+bn=1[(i-i)+Q-i)+g-^)+?,?+(套*]W(i-高),

.：nWN

8.解析Q)因?yàn)?Tn=%+2Sn①，

所以令n=L得3嫉=嫉+2ai,即2al(ai-l)=0,

因?yàn)閍i>0,所以ai=l.

易知3Tn+l=S：+i+2Sn+l②，

②-①得3a?+1=an+l(Sn+l+Sn)+2an+l,

因?yàn)閍n+l>0,所以3an+l=Sn+l+Sn+2③，

所以3an=Sn+Sn-i+2(n>2)(4),

③-④得3an+i-3an=an+i+an(n>2),

所以n22時(shí)，學(xué)=2,