平面向量的線性運(yùn)算及基本定理（完整版講）

10.1平面向量的線性運(yùn)算及基本定理（精講）一．向量的有關(guān)概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2.零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．3.單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任意向量共線．5.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．6.相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．二．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法交換律：＋＝＋結(jié)合律：(＋)＋＝＋(＋)減法－＝＋(－)數(shù)乘|λ|＝|λ|||當(dāng)λ>0時(shí)，λ的方向與的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λ的方向與的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λ＝0λ(μ)＝(λμ)(λ＋μ)＝λ＋μλ(＋)＝λ＋λ三．向量共線定理向量(≠0)與共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使＝λ①向量共線定理中規(guī)定向量≠，因?yàn)槿绻?，?dāng)＝時(shí)，＝λ，λ可以是任意實(shí)數(shù)；當(dāng)≠時(shí)，b＝λ，λ值不存在．②當(dāng)向量，同向時(shí)，λ>0，當(dāng)向量，反向時(shí)，λ<0.四．平面向量基本定理?xiàng)l件，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1＋λ2基底若，不共線，把{，}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底五．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.設(shè)＝(x1，y1)，＝(x2，y2)則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)－＝(x1－x2，y1－y2)λ＝(λx1，λy1)||＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)3．平面向量共線的坐標(biāo)表示（1）設(shè)＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0，則∥?x1y2－x2y1＝0（2）已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))（3）已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))考點(diǎn)一平面向量的概念辨析【例11】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出如下命題：①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對(duì)于①，向量與向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，故①正確；對(duì)于②，向量與平行時(shí)，或?yàn)榱阆蛄繒r(shí)，不滿足條件，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；對(duì)于④，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，向量與是共線向量，點(diǎn)，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯(cuò)誤．綜上，正確的命題是①③．故選：B．【例12】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）下列各命題中正確的命題是．①所有的單位向量都相等；②向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；③中，必有：④若均為非零向量，則與一定相等；⑤若與同向，且，則；⑥由于的方向不確定，故不與任何非零向量平行；⑦若，則存在唯一實(shí)數(shù)，使成立；⑧設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)已知向量，則對(duì)平面內(nèi)的任意向量，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)x，y，使得，成立；⑨中，D，E，F(xiàn)分別是邊的中點(diǎn)，則；【答案】③⑨【解析】①單位向量都是模長(zhǎng)為1的向量，但方向不一定相同，錯(cuò)；②零向量的模為0，錯(cuò)③中，對(duì)；④若均為非零向量，僅當(dāng)同向共線時(shí)，錯(cuò)；⑤若與同向，且，由于向量沒有大小之分，不存在，錯(cuò)；⑥由于的方向不確定，故與任何非零向量平行，錯(cuò)；⑦若，且為非零向量時(shí)存在唯一實(shí)數(shù)，使成立，錯(cuò)；⑧設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)已知向量，僅當(dāng)為不共線向量時(shí)，對(duì)平面內(nèi)的任意向量，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)x，y，使得，成立，錯(cuò)；⑨中，D，E，F(xiàn)分別是邊的中點(diǎn)，則，對(duì)；故答案為：③⑨【一隅三反】1．（2023秋·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列命題不正確的是（

）A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長(zhǎng)度等于0C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線D．若，，則【答案】A【解析】A選項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)榕c都是單位向量，所以只有當(dāng)與是相反向量，即與是反向共線時(shí)才成立，故C正確；D選項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.故選：A2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對(duì)于任意向量，必有D．若滿足且與同向，則【答案】C【解析】依題意，對(duì)于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行向量就是共線向量，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若同向共線，，若反向共線，，若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知.綜上可知對(duì)于任意向量，必有，故正確；對(duì)于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤.故選：C.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（）①有向線段三要素是始點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度；

②向量?jī)梢厥谴笮『头较?；③同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量；

④在平行四邊形中，．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【解析】由有向線段、向量、同一向量的定義可以判斷①②③正確，由平行四邊形的性質(zhì)可知，顯然④正確，故選：D考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算及基本定理【例21】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知的重心為，則向量（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)分別是的中點(diǎn)，由于是三角形的重心，所以.故選：B.【例22】（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）在中，點(diǎn)D在邊BC所在直線上，，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】，，，又，所以．故選：B．【一隅三反】1．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？级＃┤鐖D，在中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，設(shè)，由，可得，故．又是的中點(diǎn)，，所以，所以．由點(diǎn)三點(diǎn)共線，可得，解得，故．故選：A．2．（2022·四川成都·雙流中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，，，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在平行四邊形中，，，所以，若，則，則．故選：D．3．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，，則.【答案】【解析】依題意，又點(diǎn)在上，且，所以，所以，解得，即，所以，又，所以，，所以.故答案為：考點(diǎn)三平面向量的共線定理【例31】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是不共線向量，且，，，則（

）A．，，三點(diǎn)共線 B．，，三點(diǎn)共線C．，，三點(diǎn)共線 D．，，三點(diǎn)共線【答案】A【解析】因?yàn)?，，，所以，所以，，三點(diǎn)共線，故A正確，因?yàn)椋遣还簿€向量，若存在實(shí)數(shù)使得，則，所以，顯然方程無解，所以不存在實(shí)數(shù)使得，所以，，三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；同理，，三點(diǎn)也不共線，故C錯(cuò)誤；又，所以不存在實(shí)數(shù)使得，故，，三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤；故選：A【例32】（2022秋·四川綿陽·高三鹽亭中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量?為平面向量的一組基底，且?，若?三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)?應(yīng)該滿足的條件為（

）A．? B．?C．? D．?【答案】D【解析】若三點(diǎn)共線，又又為平面向量的一組基底故選：D.【例33】（2022秋·新疆巴音郭楞·高三八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，若與共線，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由向量，，，可得，因?yàn)榕c共線，可得，解得.故選：D.【一隅三反】1．（2022·四川成都·高三四川省成都市新都一中統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，，則（

）A．M，N，P三點(diǎn)共線 B．M，N，Q三點(diǎn)共線C．M，P，Q三點(diǎn)共線 D．N，P，Q三點(diǎn)共線【答案】B【解析】，，，，，由平面向量共線定理可知，與為共線向量，又與有公共點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，故選：B．2．（2023·陜西榆林）在下列各組向量中，可以作為基底的一組是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】對(duì)于A，，所以，共線，不能作為基底；對(duì)于B，，所以，共線，不能作為基底；對(duì)于C，，所以，共線，不能作為基底；對(duì)于D，，所以，不共線，可以作為基底．故選：D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，平面內(nèi)三個(gè)不共線的向量滿足，若點(diǎn)在同一條直線上，則.【答案】【解析】三點(diǎn)共線，，即，又，，數(shù)列為：，，，，，，，，，，，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故答案為：.考點(diǎn)四平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例41】（2023秋·黑龍江牡丹江）（多選）已知向量，則（

）A． B．C．可以作為平面向量的一個(gè)基底 D．【答案】BC【解析】選項(xiàng)A，，即，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，B正確；選項(xiàng)C，，即不共線，即可以作為平面向量的一個(gè)基底，C正確；選項(xiàng)D，，由，即與不共線，D錯(cuò)誤．故選：BC【例42】（2023春·江西宜春）（多選）已知平面向量，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則向量在上的投影向量為 D．若，則向量與的夾角為銳角【答案】AB【解析】對(duì)于A，若，則解得，故A正確；對(duì)于B，若，可得，即，解得，故B正確；對(duì)于C，若，，則向量在上的投影向量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以，但當(dāng)時(shí)，，此時(shí)同向，其夾角為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【一隅三反】1．（2023秋·山東青島·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)，，若，則（

）A．5 B． C．20 D．25【答案】A【解析】，，若，則有，解得，則有，得.故選：A2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，且，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．0 C．1 D．任意實(shí)數(shù)【答案】B【解析】.由，得，解得.故選：B.3．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知向量，，若∥，，