二輪復習專題四立體幾何第2講空間位置關(guān)系的判斷與證明課件（39張）

第2講空間位置關(guān)系的判斷與證明感悟高考明確備考方向1.[空間線線位置關(guān)系](2021·浙江卷,T6)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點,則(

)A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B1A2.[空間平面的平行與垂直](2022·全國乙卷,T7)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則(

)A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1DA解析:如圖,對于選項A,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因為E,F分別為AB,BC的中點,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,從而EF⊥平面BDD1,又EF?平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故選項A正確;對于選項B,因為平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由選項A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故選項B錯誤;對于選項C,由題意知直線AA1與直線B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC不平行,故選項C錯誤;對于選項D,連接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C與平面B1EF有公共點B1,所以平面A1C1D與平面B1EF不平行,故選項D錯誤.故選A.3.[空間線面平行的判定]

(2022·全國甲卷,T19)小明同學參加綜合實踐活動,設(shè)計了一個封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示:底面ABCD是邊長為8(單位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.(1)證明:EF∥平面ABCD;(1)證明:如圖,分別取AB,BC的中點M,N,連接EM,FN,MN,因為△EAB與△FBC均為正三角形,且邊長均為8,所以EM⊥AB,FN⊥BC,且EM=FN.又平面EAB與平面FBC均垂直于平面ABCD,平面EAB∩平面ABCD=AB,平面FBC∩平面ABCD=BC,EM?平面EAB,FN?平面FBC,所以EM⊥平面ABCD,FN⊥平面ABCD,所以EM∥FN,所以四邊形EMNF為平行四邊形,所以EF∥MN.又MN?平面ABCD,EF?平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.3.[空間線面平行的判定]

(2022·全國甲卷,T19)小明同學參加綜合實踐活動,設(shè)計了一個封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示:底面ABCD是邊長為8(單位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.(2)求該包裝盒的容積(不計包裝盒材料的厚度).4.[面面垂直與錐體體積](2021·全國乙卷,T18)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點,且PB⊥AM.(1)證明:平面PAM⊥平面PBD;(1)證明:因為PD⊥平面ABCD,AM?平面ABCD,所以PD⊥AM.因為PB⊥AM,且PB∩PD=P,PB?平面PBD,PD?平面PBD,所以AM⊥平面PBD.又AM?平面PAM,所以平面PAM⊥平面PBD.4.[面面垂直與錐體體積](2021·全國乙卷,T18)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點,且PB⊥AM.(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.高考對此部分內(nèi)容的考查,一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷,以選擇題、填空題的形式考查,屬于基礎(chǔ)題;二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題,一般以選擇題、填空題或解答題的第1問的形式考查,屬中檔題.突破熱點提升關(guān)鍵能力熱點一空間點、線、面的位置關(guān)系判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷,解決問題.(2)必要時可以借助空間幾何模型,如從長方體、正四面體等模型中觀察線、面的位置關(guān)系,并結(jié)合有關(guān)定理進行判斷.典例1

(1)(2022·河南焦作二模)設(shè)m,n,l是三條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題正確的是(

)A.若m?α,n∥β,α⊥β,則m⊥nB.若m∥α,α∩β=n,則m∥nC.若α∩β=l,α⊥β,m?α,m⊥l,m∥n,則n⊥βD.若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α∥β解析:(1)若m?α,n∥β,α⊥β,則m與n的位置關(guān)系可能是平行、相交或異面,故A錯誤;若m∥α,α∩β=n,則m與n的位置關(guān)系可能是平行或異面,故B錯誤;若α∩β=l,α⊥β,m?α,m⊥l,則m⊥β,因為m∥n,所以n⊥β,故C正確;因為m⊥n,m⊥α,n∥β,所以α與β相交或平行,故D錯誤.故選C.(2)(2022·浙江紹興模擬預測)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是線段CD1上的動點,則(

)∥平面BC1D∥平面A1BC1⊥平面A1BD⊥平面BB1D1解析:(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,由AA1與CC1平行且相等得四邊形ACC1A1是平行四邊形,則A1C1∥AC,AC?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,得AC∥平面A1BC1,同理AD1∥平面A1BC1,而AD1,AC是平面AD1C內(nèi)兩條相交直線,因此有平面AD1C∥平面A1BC1,AP?平面AD1C,所以AP∥平面A1BC1,故選B.(1)根據(jù)定理判斷空間線面位置關(guān)系,可以舉反例,也可以證明,要結(jié)合題目靈活選擇.(2)求角時,可借助等角定理先利用平行關(guān)系找到這個角,然后把這個角放到三角形中去求解.熱點訓練1

(1)(多選題)(2022·江蘇如東高三期末)已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則(

)A.若m∥n,n?α,則m∥αB.若m⊥n,n?α,則m⊥αC.若m⊥α,n⊥α,則m∥nD.若m∥α,m∥β,α∩β=n,則m∥n解析:(1)m∥n,n?α時,m?α或m∥α,A錯誤;m⊥n,n?α,m與α可能平行,可能相交,也可能m?α,不一定垂直,B錯誤;若m⊥α,n⊥α,由線面垂直的性質(zhì)定理知,C正確;m∥α,m∥β,α∩β=n,如圖,過m作平面γ交β于直線l,由m∥β得m∥l,同理過m作平面δ與α交于直線p,得m∥p,所以l∥p,而l?α,所以l∥α,又l?β,α∩β=n,則l∥n,所以m∥n,D正確.故選CD.(2)(2022·四川瀘州模擬)已知O1是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心O關(guān)于平面A1B1C1D1的對稱點,則下列說法中正確的是(

)1C1與A1C是異面直線1C1∥平面A1BCD11C1⊥AD1C1⊥平面BDD1B1解析:(2)連接A1C,AC1,交于點O,連接A1C1,B1D1,交于點P.連接AC,BD,A1B,D1C,O1O.由題可知,O1在平面A1C1CA上,所以O(shè)1C1與A1C共面,故A錯誤;在四邊形OO1C1C中,O1O∥C1C且O1O=C1C,所以四邊形OO1C1C為平行四邊形,所以O(shè)1C1∥OC.因為OC?平面A1BCD1,O1C1?平面A1BCD1,所以O(shè)1C1∥平面A1BCD1,故B正確;由正方體的性質(zhì)可得A1C1⊥B1D1,因為O1B1=O1D1,所以O(shè)1P⊥B1D1,又因為O1P∩A1C1=P,所以B1D1⊥平面O1A1C1,所以B1D1⊥O1C1,又因為B1D1∥BD,所以BD⊥O1C1,而AD與BD所成角為45°,顯然O1C1與AD不垂直,故C錯誤;顯然O1C1與O1B1不垂直,而O1B1?平面BDD1B1,所以O(shè)1C1與平面BDD1B1不垂直,故D錯誤.故選B.熱點二空間平行、垂直關(guān)系的證明1.平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化2.利用向量證明空間位置關(guān)系(1)利用向量證明平行問題.①線線平行:方向向量平行.②線面平行:平面外的直線的方向向量與平面的法向量垂直.③面面平行:兩平面的法向量平行.(2)利用向量法證明垂直問題的類型及常用方法.典例2如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,M為AB的中點,N為B1C1的中點,H是A1B1的中點,P是BC1與B1C的交點,Q是A1N與C1H的交點.(1)求證:A1C⊥BC1;典例2如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,M為AB的中點,N為B1C1的中點,H是A1B1的中點,P是BC1與B1C的交點,Q是A1N與C1H的交點.(2)求證:PQ∥平面A1CM.法二連接BH,MH.在正方形AA1B1B中,M為AB的中點,所以BM∥A1H且BM=A1H,所以四邊形BMA1H是平行四邊形,所以BH∥A1M.因為BH?平面A1CM,A1M?平面A1CM,所以BH∥平面A1CM.又H為A1B1的中點,所以四邊形AA1HM是矩形,所以MH∥AA1且MH=AA1.因為AA1∥C1C且AA1=C1C,所以MH∥CC1,MH=C1C,所以四邊形MHC1C為平行四邊形,所以C1H∥CM.因為C1H?平面A1CM,CM?平面A1CM,所以C1H∥平面A1CM,因為C1H∩BH=H,C1H?平面BHC1,BH?平面BHC1,所以平面BHC1∥平面A1CM,又PQ?平面BHC1,所以PQ∥平面A1CM.(1)證明線線平行的常用方法:①三角形的中位線定理等平面幾何中的定理;②平行線的傳遞性;③線面平行的性質(zhì)定理;④面面平行的性質(zhì)定理;⑤線面垂直的性質(zhì)定理.(2)證明線線垂直的常用方法:①等腰三角形三線合一等平面幾何知識;②勾股定理的逆定理;③利用線面垂直證線線垂直.熱點訓練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,E為CD的中點.(1)求證:BD⊥平面PAC;(1)證明:因為PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.因為底面ABCD為菱形,所以BD⊥AC.又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.熱點訓練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,E為CD的中點.(2)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE;(2)證明:因為PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以PA⊥AE.因為底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,且E為CD的中點,所以AE⊥CD.又因為AB∥CD,所以AB⊥AE.又AB∩PA=A,AB,PA?平面PAB,所以AE⊥平面PAB.因為AE?平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.熱點訓練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,E為CD的中點.(3)棱PB上是否存在點F,使得CF∥平面PAE?說明理由.熱點三翻折問題翻折問題的關(guān)鍵是分清翻折前后圖