第11講線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)面面面平行的證明（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)5種題型強(qiáng)化訓(xùn)練）

第11講線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行的證明（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）知識(shí)導(dǎo)圖知識(shí)清單知識(shí)點(diǎn)一、基本事實(shí)4文字表述：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行．這一性質(zhì)叫做空間平行線(xiàn)的傳遞性．符號(hào)表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c.知識(shí)點(diǎn)二、等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．知識(shí)點(diǎn)三、直線(xiàn)與平面平行的判定及性質(zhì)定理?xiàng)l件結(jié)論圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行該直線(xiàn)與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?α，,m?α，,且l∥m))?l∥α性質(zhì)一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線(xiàn)的平面與此平面相交該直線(xiàn)與交線(xiàn)平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,l?β，,α∩β＝m))?l∥m思考：若一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，則這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行，對(duì)嗎？[提示]根據(jù)直線(xiàn)與平面平行的判定定理可知該結(jié)論錯(cuò)誤．知識(shí)點(diǎn)四、平面與平面平行的判定(1)文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行．(2)符號(hào)語(yǔ)言：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.(3)圖形語(yǔ)言：如圖所示．知識(shí)點(diǎn)五、平面與平面平行的性質(zhì)定理(1)文字語(yǔ)言：兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線(xiàn)平行．(2)符號(hào)語(yǔ)言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.(3)圖形語(yǔ)言：如圖所示．(4)作用：證明兩直線(xiàn)平行．思考：如果兩個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面內(nèi)的所有直線(xiàn)都相互平行嗎？[提示]不一定．它們可能異面．知識(shí)復(fù)習(xí)題型1.平行公理、等角定理及其應(yīng)用一、單選題1．（2122高一·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）在三棱錐P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F(xiàn)分別是AB，PA，AC的中點(diǎn)，則∠DEF＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【分析】由分別為的中點(diǎn)，得到，結(jié)合題意得出，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)?，所以，所?故選：D.2．（2122高二下·湖南·階段練習(xí)）已知三條不同的直線(xiàn)l，m，n，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)線(xiàn)與線(xiàn)的位置關(guān)系，結(jié)合充要條件的定義即可求解.【詳解】解：若，又，則，故充分性成立，反之，若，又，則，故必要性成立.故“”是“”的充要條件.故選：C.3．（2122高一·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列命題：①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩條相交直線(xiàn)和另兩條直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成的銳角(或直角)相等；③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．其中正確的命題有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】對(duì)于①，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，據(jù)此判斷；對(duì)于②，根據(jù)等角定理判斷；對(duì)于③，空間兩條直線(xiàn)的垂直包括異面垂直，此時(shí)兩個(gè)角有可能不相等且不互補(bǔ)，據(jù)此判斷.【詳解】對(duì)于①，這兩個(gè)角也可能互補(bǔ)，故①錯(cuò)誤；根據(jù)等角定理，②顯然正確；對(duì)于③，如圖所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個(gè)角不一定相等，也不一定互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤．所以正確的命題有1個(gè)．故選：B4．（2122高二上·吉林松原·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，證明，把直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)F到直線(xiàn)的距離求解作答.【詳解】在棱長(zhǎng)為的正方體中，取中點(diǎn)G，連接，如圖，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，即有四邊形為平行四邊形，有，則四邊形為平行四邊形，有，又為的中點(diǎn)，則，四邊形為平行四邊形，則有，因此直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離等于點(diǎn)F到直線(xiàn)的距離，因?yàn)椋瑒t四邊形為平行四邊形，有，在中，，邊上的高，由三角形面積得：，，所以直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離為.故選：D二、填空題5．已知，，是空間中的三條相互不重合的直線(xiàn)，給出下列說(shuō)法：①若，，則；②若與相交，與相交，則與相交；③若平面，平面，則，一定是異面直線(xiàn)；④若，與成等角，則．其中正確的說(shuō)法是（填序號(hào)）．【答案】①【分析】根據(jù)平行公理可判斷①，在空間考慮兩直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)直線(xiàn)相交的所有可能情況可判斷②，考慮在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)的所有位置關(guān)系可判斷③，兩條直線(xiàn)與第三條直線(xiàn)成等角，這兩條直線(xiàn)可相交可平行可異面判斷④.【詳解】由公理4知①正確；當(dāng)與相交，與相交時(shí)，與可能相交、平行，也可能異面，故②不正確；當(dāng)平面，平面時(shí)，與可能平行、相交或異面，故③不正確；當(dāng)，與成等角時(shí)，與可能相交、平行，也可能異面，故④不正確．故答案為：①【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中線(xiàn)與線(xiàn)的位置關(guān)系，考查了空間想象力，屬于中檔題.6．（2122高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若直線(xiàn)，c，d為不重合的兩條直線(xiàn)，且，，則c與d的位置關(guān)系是．【答案】【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的傳遞性，排除重合情況即可得解.【詳解】因?yàn)榍腋鶕?jù)平行線(xiàn)的傳遞性知平行或重合，又因?yàn)?，再次利用平行線(xiàn)的傳遞性知平行或重合，因?yàn)閏，d為不重合的兩條直線(xiàn)所以.故答案為：.三、解答題7．（2223高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且，求證：直線(xiàn)EH與直線(xiàn)FG平行．【答案】證明見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)、平行線(xiàn)等分性質(zhì)結(jié)合平行線(xiàn)的傳遞性分析證明,【詳解】∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，則，又∵F、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且，則，∴，故直線(xiàn)EH與直線(xiàn)FG平行．8．已知棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．求證：四邊形是梯形．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】連接AC，利用正方體的性質(zhì)，得到四邊形AA′C′C為平行四邊形，再結(jié)合M，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，得到MN∥A′C′且MN=A′C′證明.【詳解】證明：如圖所示：連接AC，由正方體的性質(zhì)可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四邊形AA′C′C為平行四邊形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四邊形MNA′C′是梯形．題型2.判斷和證明線(xiàn)面平行一、單選題1．（2024·浙江·一模）已知直線(xiàn)和平面，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由線(xiàn)面平行的判定、面面平行的性質(zhì)以及充分不必要條件的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，則存在使得且，若且，則，又且，所以，充分性成立；設(shè)，，則有，但不平行，即必要性不成立.故選：A.二、多選題2．（2324高三上·江西南昌·開(kāi)學(xué)考試）在下列底面為平行四邊形的四棱錐中，A，B，C，M，N是四棱錐的頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn)，則MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AB【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可判斷A，B選項(xiàng)；假設(shè)平面面，利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理結(jié)合平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)平行可判斷C，D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，設(shè)為的中點(diǎn)，底面為平行四邊形，連接，則，而，,故，即四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，A正確；對(duì)于B，設(shè)為的中點(diǎn)，底面為平行四邊形，連接，

則，而，,故，即四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，B正確；對(duì)于C，設(shè)為的中點(diǎn)，底面為平行四邊形，連接，

設(shè)交于，連接，則，而,故，即四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，平面平面，假設(shè)平面，則，即在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)有兩條直線(xiàn)和都平行，這是不可能的，故此時(shí)平面不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)底面為平行四邊形，連接交于點(diǎn)，交于，

則為的中點(diǎn)，連接，由于為的中點(diǎn)，故；又平面，平面，平面平面，假設(shè)平面，則，即在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)有兩條直線(xiàn)和都平行，這是不可能的，故此時(shí)平面不成立，D錯(cuò)誤；故選：AB3．（2324高三上·湖南衡陽(yáng)·期末）若三個(gè)不同的平面兩兩相交，且，則交線(xiàn)的位置關(guān)系可能是（

）A．重合 B．相交于一點(diǎn) C．兩兩平行 D．恰有兩條交線(xiàn)平行【答案】ABC【分析】構(gòu)造長(zhǎng)方體模型，選擇其中的若干平面作為平面，即可依次判斷即得.【詳解】如圖，作出一個(gè)長(zhǎng)方體.對(duì)于A項(xiàng)，可把平面依次取為平面，它們兩兩相交于共同的交線(xiàn),故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，可把平面依次取為平面，此時(shí)，,,,而易得三條交線(xiàn)交于同一點(diǎn)D，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，可把平面依次取為平面,此時(shí)，,,,而易得三條交線(xiàn)兩兩平行，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，可把平面依次取為平面,此時(shí)，,,,若只有,因平面，而平面，則平面,又平面,而平面平面=，則有,即交線(xiàn)的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線(xiàn)平行，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.三、解答題4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面EAC．(2)若M是CD上異于C，D的點(diǎn)，連接PM交CE于點(diǎn)G，連接BM交AC于點(diǎn)H，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）連接交于，連接，利用中位線(xiàn)證明，然后根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理完成證明；（2）根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理完成證明.【詳解】（1）連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危詾橹悬c(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以是的中位線(xiàn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所?5．（2223高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)P，R分別為BC，上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P，R滿(mǎn)足什么條件時(shí)，平面？【答案】（答案不唯一）【分析】當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足要求，結(jié)合棱柱的幾何特征和線(xiàn)面平行的判定定理，可證得結(jié)論.【詳解】

如圖，當(dāng)時(shí)，平面.理由如下：因?yàn)?，所以因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，平面，平面，平?6．（2223高一下·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，E為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)設(shè)，，求點(diǎn)D到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）借助線(xiàn)面平行的判定定理即可得；（2）借助等體積法與體積公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)O，連接，∵四邊形是平行四邊形，∴是的中點(diǎn)，又∵E為的中點(diǎn)，∴是三角形的中位線(xiàn)，∴，又∵平面，平面，∴平面；.（2）∵平行四邊形中，，，，∴，則，故，又∵平面，∴，，都是直角三角形，∵，∴，，，∴，∴，∴，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得：，解得.題型3.補(bǔ)全線(xiàn)面平行的條件一、單選題1．（2324高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）在空間中，直線(xiàn)平面的一個(gè)充要條件是（

）A．內(nèi)有一條直線(xiàn)與平行 B．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行C．任意一條與垂直的直線(xiàn)都垂直于 D．存在一個(gè)與平行的平面經(jīng)過(guò)【答案】D【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)求解.【詳解】對(duì)于A，B，C，直線(xiàn)都可能在內(nèi)，故選:D．二、多選題2．（2122高一下·重慶酉陽(yáng)·階段練習(xí)）已知、是兩條互相平行的直線(xiàn)，是一個(gè)平面．若要使得，則需添加下列哪些條件（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由線(xiàn)面平行的判定定理即可得出答案.【詳解】由，所以需添加，.故選：AC.三、填空題3．（2122高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在上，，若點(diǎn)N在平面內(nèi)，且平面，則點(diǎn)N的位置是．（寫(xiě)出一種即可）【答案】N是線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)（答案不唯一）【分析】當(dāng)時(shí)，連接，利用線(xiàn)面平行的判定定理可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，所以，從而，又平面平面，所以平面．故答案為：N是線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)（答案不唯一）.四、解答題4．（2021高一下·安徽·期中）如圖，在正四棱錐中，．（1）求正四棱錐的體積；（2）若為三角形的重心，在邊上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】（1）；（2）存在；．【分析】（1）由已知條件結(jié)合勾股定理求出四棱錐的高，從而可求出正四棱錐的體積；（2）連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得，由為三角形的重心，可求得結(jié)果【詳解】（1）由，可得，因?yàn)闉檎睦忮F，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以該正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積；（2）存在這樣的點(diǎn)，使得平面，如圖，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉槿切蔚闹匦模裕?；所以?．（2122高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖，在五面體中，，底面ABC是正三角形，．四邊形是矩形，問(wèn)：D在AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D在何處時(shí)，有平面，并說(shuō)明理由．【答案】D為AC中點(diǎn)時(shí)，理由見(jiàn)解析【分析】連接與交于點(diǎn)O，平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，與過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)（兩平面的交線(xiàn)）平行，由此可得是中點(diǎn)滿(mǎn)足題意，由線(xiàn)面平行的判定定理證明即可．【詳解】解：當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí)，平面．理由：連接與交于點(diǎn)O，當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí)，，且OD是平面上的直線(xiàn)，而是平面外的直線(xiàn)，根據(jù)直線(xiàn)與平面平行的判定定理可知，平面．6．（2023高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且．將沿著DE折起，形成四棱錐，其中A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P．在線(xiàn)段PB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并證明；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】存在，【分析】通過(guò)構(gòu)造平行四邊形的方法，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理確定的值，使平面.【詳解】當(dāng)時(shí)，平面PDE，證明如下：過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，在PE上取一點(diǎn)M，使得，連接HM，F(xiàn)M，因?yàn)椋?，所以且，因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，且，所以且，所以且，所以四邊形CFMH是平行四邊形，即，又因?yàn)槠矫鍼DE，平面PDE，所以平面.

題型4.線(xiàn)面平行的性質(zhì)及應(yīng)用單選題1．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）正三棱錐的各棱長(zhǎng)均為2，D為的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，且，平面交于點(diǎn)Q，則截面的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)中位線(xiàn)可得線(xiàn)面平行，進(jìn)而根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得線(xiàn)線(xiàn)平行，進(jìn)而可得四邊形為等腰梯形，即可由邊角關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)镸，D分別為AB，BC的中點(diǎn)，故，又平面,平面，所以平面，由于平面,平面平面,故，又，故．在等腰梯形MDEQ中，，，在中，，，則，故梯形的高為，故．故選:D．二、填空題2．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，分別為上一點(diǎn)，且，當(dāng)平面時(shí)，.

【答案】/【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).

因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面平面平面，所以，所?故答案為：3．（2324高二上·上?！て谀┤鐖D所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，設(shè)分別是線(xiàn)段、上的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】作出輔助線(xiàn)，得到要使平面，則四邊形為平行四邊形，故，設(shè)，表達(dá)出，求出最小值.【詳解】過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，要想平面，則四邊形為平行四邊形，故，設(shè)，則，故，由勾股定理得，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.故答案為：三、解答題4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，且，點(diǎn)在線(xiàn)段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，設(shè)．當(dāng)平面時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】【分析】連接，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)，從而得解.【詳解】如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，且平面平面，平面，平面，，為的中點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的值為．5．（2223高一·全國(guó)·課堂例題）如圖，點(diǎn)A，B分別位于異面直線(xiàn)a，b上，過(guò)AB中點(diǎn)O的平面與a，b都平行，M，N分別是a，b上異于A，B的另外兩點(diǎn)，MN與交于點(diǎn)P．求證：P是MN的中點(diǎn)．

【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線(xiàn)的判定推理即得.【詳解】連接AN，設(shè)它與平面交于點(diǎn)Q，連接OQ，PQ，因?yàn)镺Q是平面與的交線(xiàn)，平面，，于是，同理，在中，O是AB的中點(diǎn)，，則Q是AN的中點(diǎn)，又因?yàn)椋渣c(diǎn)P是MN的中點(diǎn)．6．（2223高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）木工小羅在處理如圖所示的一塊木料時(shí)，發(fā)現(xiàn)該木料表面內(nèi)有一裂紋，已知平行于平面AC．他打算經(jīng)過(guò)點(diǎn)M和棱將木料鋸開(kāi)，卻不知如何畫(huà)線(xiàn)，你能幫助他解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

【答案】就是所要畫(huà)的線(xiàn)【分析】直接利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得線(xiàn)線(xiàn)平行，從而可得結(jié)果.【詳解】

由于//平面平面，平面平面，所以，如圖，過(guò)平面上一點(diǎn)作，所以，所以四點(diǎn)共面，連接和，則就是所要畫(huà)的線(xiàn).7．（2024高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐中底面是正方形，四條側(cè)棱均相等，點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH.求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，即可證明線(xiàn)線(xiàn)平行.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面，所以，同理可證，因此.8．（2223高一下·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，四面體被一平面所截，截面是一個(gè)平行四邊形.求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由線(xiàn)線(xiàn)平行得到線(xiàn)面平行，再由線(xiàn)面平行的性質(zhì)得到線(xiàn)線(xiàn)平行，證明出結(jié)論.【詳解】∵四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.而平面平面，平面，∴，∴.題型5.面面平行的證明一、單選題1．（2223高三上·江蘇泰州·階段練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)不重合的平面，下列選項(xiàng)中，是“”的充要條件的是（

）A．內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行 B．存在直線(xiàn)與所成的角相等C．存在平面，滿(mǎn)足且 D．內(nèi)存在不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)到的距離相等【答案】C【分析】利用空間想象，結(jié)合充要條件的含義即可判斷.【詳解】對(duì)于A，如果，在內(nèi)與平行的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，但此時(shí)不平行于，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果，在空間必存在直線(xiàn)與平行的直線(xiàn)，此時(shí)也與兩個(gè)平面平行，即直線(xiàn)與所成的角都等于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如果，則一定存在平面，滿(mǎn)足且；若且，則也一定有，則“”的充要條件的是存在平面，滿(mǎn)足且，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，內(nèi)必存在不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)到的距離相等，但當(dāng)時(shí)，同樣可以在內(nèi)找到不共線(xiàn)的三點(diǎn)到的距離相等，D錯(cuò)誤.故選：C2．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在正方體中，下列四對(duì)截面中，彼此平行的一對(duì)截面是（

）．A．截面與截面 B．截面與截面C．截面與截面 D．截面與截面【答案】B【分析】根據(jù)面面平行的判定并結(jié)合圖形判斷各選項(xiàng)．【詳解】如圖，選項(xiàng)A、B、C、D分別對(duì)應(yīng)圖1、圖2、圖3、圖4．

對(duì)于A，與相交，截面與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，截面與平行．證明：因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，，平面，所以平面平面．故B正確；對(duì)于C，截面與相交于D點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與相交，截面與相交，故D錯(cuò)誤；故選：B．二、填空題3．（2223高二下·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）在一次通用技術(shù)實(shí)踐課上，木工小組需要將正方體木塊截去一角，要求截面經(jīng)過(guò)面對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)（如圖），且與平面平行，已知，，則截面面積等于.【答案】【分析】連接交于點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作與平行的直線(xiàn)分別交、于點(diǎn)、，在上取點(diǎn)使，證明出平面平面，計(jì)算出的面積，即可得解.【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接、.因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，同理可證平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，故截面平行于平?過(guò)點(diǎn)作與平行的直線(xiàn)分別交、于點(diǎn)、，在上取點(diǎn)使.，，，.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，又因?yàn)椋矫?，平面，所以，平面，因?yàn)椋?、平面，所以，平面平面，易得，故，因?yàn)?，易知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以，，因此，.故答案為：.4．（2324高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）正方體中，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，若正方體的棱長(zhǎng)是2，則線(xiàn)段的最小值.

【答案】【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行證明平面平面，即可分析的軌跡，根據(jù)垂直即可求解最小值.【詳解】設(shè)平面與直線(xiàn)交于，連接，，則為的中點(diǎn)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，如圖，，平面，平面，平面，同理可得平面，又、是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，平面平面，而平面，故平面，得點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段，且,又,故時(shí)，線(xiàn)段取最小值，此時(shí)

故答案為：．三、解答題5．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，多面體中，四邊形與四邊形均為梯形.已知點(diǎn)四點(diǎn)共面，且.證明：平面平面.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明平面，平面，再根據(jù)面面平行的判定定理即可得證?！驹斀狻孔C明：四邊形與四邊形均為直角梯形，且有，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面，得證.6．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，分別是棱的中點(diǎn)．在棱上找一點(diǎn)，使得平面平面，并證明你的結(jié)論.【答案】存在為棱的中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析【分析】由中點(diǎn)找中點(diǎn)，取棱的中點(diǎn)，證明兩次線(xiàn)面平行即得平面平面.【詳解】存在為棱的中點(diǎn)，使平面平面．證明如下：如圖，連接．因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫驗(yàn)?，平面，所以平面平面，得證．7．已知平面平面，平面平面．求證：平面平面．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意利用面面平行的性質(zhì)定理，尋找過(guò)已知平行平面相交的第三個(gè)平面，轉(zhuǎn)化成線(xiàn)線(xiàn)平行，再利用面面平行的判定定理即可求證．【詳解】證明如圖，作兩個(gè)相交平面分別與平面，，交于直線(xiàn)a，c，e和直線(xiàn)b，d，f．且平面平面，，．平面平面，，．，，，．因?yàn)槠矫嫫矫妫军c(diǎn)睛】注意本例說(shuō)明平面與平面平行也具有傳遞性．8．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用三角形中位線(xiàn)證明線(xiàn)線(xiàn)平行，結(jié)合線(xiàn)面平行判定定理，從而得線(xiàn)面平行；（2）結(jié)合面面平行判定定理來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)位置，并證明面面平行.【詳解】（1）如圖，連接交于，連接.

因?yàn)闉檎襟w，底面為正方形，對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以在中，是的中位線(xiàn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）當(dāng)上的點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，即滿(mǎn)足平面平面，理由如下：連接，，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?由（1）知平面，又因?yàn)?，，平面，所以平面平?強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2324高二上·上海奉賢·期中）下列命題中，是真命題的選項(xiàng)為（

）A．平行于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行B．若兩個(gè)平面分別經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，則這兩個(gè)平面平行C．分別在兩個(gè)平行平面上的兩條直線(xiàn)平行D．與兩條異面直線(xiàn)都平行的兩個(gè)平面平行．【答案】D【分析】舉例說(shuō)明判斷ABC；利用面面平行的判定推理判斷D.【詳解】如圖，正方體，

對(duì)于A，平面與平面都與直線(xiàn)平行，而平面與平面相交，A是假命題；對(duì)于B，相交平面與平面分別經(jīng)過(guò)直線(xiàn)，且，B是假命題；對(duì)于C，直線(xiàn)平面，直線(xiàn)平面，且平面平面，而直線(xiàn)與直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，C是假命題；對(duì)于D，直線(xiàn)是兩條異面直線(xiàn)，是兩個(gè)不同平面，，過(guò)直線(xiàn)上的點(diǎn)作直線(xiàn)，則直線(xiàn)確定平面，由，得點(diǎn)，而，于是，因此，所以，D真命題.

故選：D2．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖是一個(gè)四棱錐的平面展開(kāi)圖，其中四邊形為正方形，四個(gè)三角形為正三角形，分別是的中點(diǎn)，在此四棱錐中，則（

）A．與是異面直線(xiàn)，且平面B．與是相交直線(xiàn)，且平面C．與是異面直線(xiàn)，且平面D．與是相交直線(xiàn)，且平面【答案】B【分析】畫(huà)出幾何體，證得四邊形為梯形，得到與為相交直線(xiàn)，再由線(xiàn)面平行的判定定理，證得平面.【詳解】根據(jù)題意，畫(huà)出幾何體，如圖所示，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，可得且，又因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形為梯形，所以與為相交直線(xiàn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得且，所以四邊形為平行四邊形，可得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?故選：B.3．（2324高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知是異面直線(xiàn)，是兩個(gè)平面，，設(shè)且；，則（

）A．是的充分條件但不是必要條件 B．是的必要條件但不是充分條件C．是的充要條件 D．既不是的充分條件也不是的必要條件【答案】C【分析】根據(jù)面面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】若，因?yàn)?，所以且，故由可以推出且；若且，如圖，過(guò)直線(xiàn)作平面交平面于直線(xiàn)，因?yàn)?，所以，又因，所以，因?yàn)槭钱惷嬷本€(xiàn)，且，所以直線(xiàn)相交，所以，

所以由且可以推出，所以是的充要條件.故選：C.4．（2324高三下·廣東深圳·階段練習(xí)）在三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，為重心，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平面 B．平面 C．為異面直線(xiàn) D．為異面直線(xiàn)【答案】C【分析】對(duì)于AB：根據(jù)線(xiàn)面、面面平行關(guān)系分析判斷；對(duì)于CD：根據(jù)異面直線(xiàn)的定義結(jié)合平行關(guān)系分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：連接，

則∥，，且∥，，可得∥，，可知為平行四邊形，則∥，且平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)，連接，

由棱柱性質(zhì)可知：∥，且平面，平面，所以平面，∥，且平面，平面，所以平面，又因?yàn)椋矫?，所以平面平面，且平面，所以平面，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：取的中點(diǎn)，連接，

可知，由棱柱可知，即四點(diǎn)共面，且平面，可知為共面直線(xiàn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)B可知：∥，且平面，平面，所以平面，

且，可知相交，所以為異面直線(xiàn)，故D正確；故選：C.5．（2024·江西贛州·一模）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，過(guò)且平行于平面的平面截正方體所得截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，作出并證明過(guò)點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面，再求出面積.【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，而為棱中點(diǎn)，顯然，，得四邊形，四邊形都是平行四邊形，則，，平面，平面，于是平面，平面，又，平面，因此平面平面，又，，即四邊形是平行四邊形，則，顯然平面平面，從而過(guò)且平行于平面的平面截正方體所得截面為四邊形，又，即四邊形為菱形，而，，所以四邊形的面積為．故選：A6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱中，D，E分別是AB，的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線(xiàn)平面；

②直線(xiàn)平面；③直線(xiàn)平面；

④直線(xiàn)平面CDE.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，由線(xiàn)面平行的判定定理，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于①：如圖1，連接，交于點(diǎn)F，連接DF，則點(diǎn)F是的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以直線(xiàn)平面，所以①正確.對(duì)于②：如圖2，取BC的中點(diǎn)F，連接DF，，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以，且，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以直線(xiàn)平面，故②正確.對(duì)于③：如圖3，取BC的中點(diǎn)F，連接DF，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以，且，又，，所以，，連接EF，所以四邊形是平行四邊形，所以，顯然EF與平面相交，則與平面相交，故③錯(cuò)誤.對(duì)于④：如圖4，連接，交EC于點(diǎn)F，連接DF，則平面平面，若直線(xiàn)平面CDE，則，由于D是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是的中點(diǎn)，而顯然點(diǎn)F不是的中點(diǎn)，矛盾，故④錯(cuò)誤.故選：B.7．（2324高二上·浙江紹興·期末）正方體中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積（

）A．先變大后變小 B．先變小后變大C．不變 D．無(wú)法判斷【答案】C【分析】，的面積不變，判斷點(diǎn)到平面的距離變化情況即可.【詳解】正方體中，，，四邊形為平行四邊形，有正方形中，分別是的中點(diǎn)，有，得，平面，平面，則平面，所以由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離保持不變，又三點(diǎn)為定點(diǎn)，的面積不變，所以三棱錐的體積不變，即三棱錐的體積不變.

故選：C8．（2024·貴州畢節(jié)·一模）已知平面：在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)存在唯一一條直線(xiàn)與平行，與不平行，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用線(xiàn)面、面面平行的判定性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由平面，得平面是不同平面，命題“若，則”：假設(shè)平行，則過(guò)點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行，與矛盾，因此“若，則”是真命題；命題“若，則”：不平行，則相交，令交線(xiàn)為，由，得，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)有唯一一條直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，該直線(xiàn)不在內(nèi)，而在內(nèi)，則該直線(xiàn)與平行，因此在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)存在唯一一條直線(xiàn)與平行，“若，則”是真命題，所以是的充要條件.故選：C二、多選題9．（2024·安徽黃山·一模）如圖，已知正方體，點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．與共面 B．平面平面C． D．平面【答案】AB【分析】證明出，可判斷A選項(xiàng)；利用面面平行的判定定理可判斷B選項(xiàng)；利用勾股定理可判斷C選項(xiàng)；利用反證法可判斷D選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，連接，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，故，所以，與共面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，則，又因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，同理可證平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，不妨設(shè)的棱長(zhǎng)為，則，，，因?yàn)槠矫妫矫?，則，所以，，所以，，故、不垂直，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)平面，又因?yàn)槠矫?，，、平面，所以，平面平面，事?shí)上，平面與平面不平行，假設(shè)不成立，D錯(cuò).故選：AB.10．（2324高三上·湖北襄陽(yáng)·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．到平面的距離是C．異面直線(xiàn)所成角的余弦值為D．平面將正方體分成兩部分的體積比為【答案】ABC【分析】構(gòu)造面面平行，證明線(xiàn)面平行，可判斷A的真假；利用體積法求點(diǎn)到面的距離，可判斷B的真假；構(gòu)造兩條異面直線(xiàn)所成的角，將其放在三角形中，利用余弦定理求角的余弦，可判斷C的真假；求出平面分正方體所得的兩部分的體積，可得D的真假.【詳解】對(duì)A：連接，，，則易證，，所以，又平面，平面，所以平面；同理：，、是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，所以：平面平面，平面，所以平面.故A正確；對(duì)B：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以和到平面的距離相等，設(shè)為.又在中，，，所以.由.故B正確；對(duì)C：取中點(diǎn)，連接，.則，所以即為異面直線(xiàn)、所成的角.在中，，，，由余弦定理，.故C正確；對(duì)D：，，所以平面把正方體分成的兩部分的體積之比為：，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．（2324高三上·遼寧·期中）在正方體中，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（

）A．直線(xiàn)與直線(xiàn)異面B．直線(xiàn)與平面平行C．三棱錐的體積是正方體體積的D．平面截正方體所得的截面是等腰梯形【答案】ABD【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)定義、面面平行的判定定理以及性質(zhì)定理以及三棱錐的體積求解方法可求得正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以與異面，A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)為M，連接、GM，則，，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，故平面，同理可得，平面，因?yàn)椋矫?，所以平面平面，又平面，從而平面，B正確；對(duì)于C，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，三棱錐的體積，而正方體的體積為，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，連接，，易得，所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，故D正確.故選：ABD．三、填空題12．（2324高二上·湖南·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，在線(xiàn)段上，且是側(cè)面上一點(diǎn)，且平面，則線(xiàn)段的最大值為.【答案】【分析】在線(xiàn)段上取一點(diǎn)，使得，在線(xiàn)段上取一點(diǎn)，使得，連接，易證平面平面，得到的軌跡為線(xiàn)段求解.【詳解】解：如圖，在線(xiàn)段上取一點(diǎn)，使得，在線(xiàn)段上取一點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，同理，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又，所以平面平面，因此，在線(xiàn)段上.因?yàn)?，所以線(xiàn)段的最大值為.故答案為：13．（2122高二上·云南臨滄·期末）如圖，已知圓錐，底面圓內(nèi)接正方形，若平面平面．現(xiàn)有以下三個(gè)結(jié)論：①平面；②；③若為鈍角，是底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大面積大于的面積．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②③【分析】由線(xiàn)面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)定理即可判斷①②，由三角形的面積公式即可判斷③.【詳解】因?yàn)樗?/p>