新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第66講 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)（原卷版）

第66講拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)一、拋物線(xiàn)的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)．點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．二、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線(xiàn)x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－y0＋eq\f(p,2)三、與焦點(diǎn)弦有關(guān)的常用結(jié)論設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ為AB的傾斜角)．(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)為定值eq\f(2,p).(4)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切．1、設(shè)SKIPIF1<0為拋物線(xiàn)SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<02、設(shè)F為拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3,0)，若AFA．2 B．22 C．3 D．3、若拋物線(xiàn)SKIPIF1<0的焦點(diǎn)到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．44、已知A為拋物線(xiàn)C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（

）A．2 B．3 C．6 D．95、已知點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線(xiàn)SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為．6、已知SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的準(zhǔn)線(xiàn)方程為．1、拋物線(xiàn)y＝2x2的準(zhǔn)線(xiàn)方程為()A．y＝－eq\f(1,8) B．y＝－eq\f(1,4)C．y＝－eq\f(1,2) D．y＝－12、拋物線(xiàn)y2＝x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03.(多選)已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離為2，則下列結(jié)論中正確的是()A.焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)B.過(guò)點(diǎn)A(－1，0)恰有2條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)C.直線(xiàn)x＋y－1＝0與拋物線(xiàn)C相交所得弦長(zhǎng)為8D.拋物線(xiàn)C與圓x2＋y2＝5交于M，N兩點(diǎn)，則MN＝44.已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)，直線(xiàn)l：x＝2交拋物線(xiàn)C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，則拋物線(xiàn)C的方程為_(kāi)_______．考向一拋物線(xiàn)的定義及其應(yīng)用例1(1)已知拋物線(xiàn)定點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線(xiàn)x－y＋2＝0上，則拋物線(xiàn)方程為_(kāi)___．(2)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1，0)，且與直線(xiàn)x＝－1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_(kāi)___．變式1、過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的任意一條直線(xiàn)m，交拋物線(xiàn)于P1，P2兩點(diǎn)，求證：以P1P2為直徑的圓和該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切．方法總結(jié)：與拋物線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線(xiàn)的定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的轉(zhuǎn)化．(1)將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，使問(wèn)題得解．(2)將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，利用“與直線(xiàn)上所有點(diǎn)的連線(xiàn)中垂線(xiàn)段最短”原理解決．考向二拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)例2、頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)P(－4，－2)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________________．變式1、已知拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)eq\f(1,AF)＋eq\f(1,BF)為定值；(3)以AB為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切．變式2、（1）設(shè)拋物線(xiàn)y2＝2px的焦點(diǎn)在直線(xiàn)2x＋3y－8＝0上，則該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為()A.x＝－4 B.x＝－3C.x＝－2 D.x＝－1（2）已知拋物線(xiàn)x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，點(diǎn)P(4，y0)在拋物線(xiàn)上，K為l與y軸的交點(diǎn)，且|PK|＝eq\r(2)|PF|，則y0＝________，p＝________.方法總結(jié)：1．求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：若題目已給出拋物線(xiàn)的方程(含有未知數(shù)p)，那么只需求出p即可．(2)待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線(xiàn)的方程，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax(a≠0)，a的正負(fù)由題設(shè)來(lái)定；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)，這樣就減少了不必要的討論．2．拋物線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)利用拋物線(xiàn)方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線(xiàn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算1、已知拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)A(－1，0)，拋物線(xiàn)上點(diǎn)P滿(mǎn)足PA＝eq\r(,2)PO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則PF的長(zhǎng)等于A．1B．eq\r(,2)C．2D．eq\f(\r(,2),2)2、拋物線(xiàn)y2＝2x上兩點(diǎn)A，B與坐標(biāo)原點(diǎn)O構(gòu)成等邊三角形，則該三角形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．3、已知F是拋物線(xiàn)eqC：y\s\up6(2)＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N，若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝．4、已知拋物線(xiàn)C：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為F，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是C上兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．25、已知SKIPIF1<0是拋物線(xiàn)SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2 B．3 C．6 D．96、已知直線(xiàn)SKIPIF1<0過(guò)拋物線(xiàn)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，且與該拋物線(xiàn)交于SKIPIF1<0兩點(diǎn).若線(xiàn)段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為16，SKIPIF1<0的中點(diǎn)到SKIPIF1<0軸距離為6，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．