新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第60講 兩條直線的位置關(guān)系（解析版）

第60講兩條直線的位置關(guān)系知識(shí)梳理1.斜率存在的兩條直線平行與垂直若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則l1∥l2?k1＝k2，b1≠b2；l1⊥l2?k1·k2＝－1；l1與l2重合?k1＝k2，b1＝b2．2.直線的一般式方程中的平行與垂直條件若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A1，B1不同時(shí)為0，A2，B2不同時(shí)為0)，則l1∥l2?A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．3.兩直線的交點(diǎn)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對(duì)應(yīng)．(1)相交?方程組有一組解；(2)平行?方程組無解；(3)重合?方程組有無數(shù)組解．4.已知兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩點(diǎn)間的距離為d＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)．5.設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)，則點(diǎn)P到直線l的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(Ax0＋By0＋C)),\r(A2＋B2))．兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時(shí)為0)之間的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C1－C2)),\r(A2＋B2))．7.五種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，－y)．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)．(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y)．【2020年新課標(biāo)3卷文科】點(diǎn)(0，﹣1)到直線SKIPIF1<0距離的最大值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離最大，即可求得結(jié)果.【詳解】由SKIPIF1<0可知直線過定點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離最大，即為SKIPIF1<0.故選：B.1、(2022·廣東模擬)已知a∈R，則直線l1：x＋ay－1＝0與直線l2：(1－a)x＋2ay－1＝0平行的充要條件是()A.a≠0B.a＝0C.a＝－1D.a＝0或a＝－1【答案】C【解析】由題設(shè)，得a(1－a)－2a＝0，解得a＝0或a＝－1.當(dāng)a＝0時(shí)，l1：x＝1，l2：x＝1，兩條直線重合；當(dāng)a＝－1時(shí)，l1：y＝x－1，l2：y＝x－eq\f(1,2)，則l1∥l2.綜上可得a＝－1.2、(2022·濰坊二模)已知直線l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，則a的值為()A.eq\f(1,3)B.－eq\f(1,3)C.3D.－3【答案】A【解析】因?yàn)閘1⊥l2，所以eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－1，解得a＝eq\f(1,3).3、已知點(diǎn)(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a的值為________．【答案】eq\r(2)－1【解析】由題意，得eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，所以|a＋1|＝eq\r(2).又a>0，所以a＝eq\r(2)－1.4、若直線2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一點(diǎn)，則a的值為________．【答案】eq\f(2,3)【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝－10，,y＝x＋1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－9，,y＝－8，))即直線2x－y＝－10與y＝x＋1相交于點(diǎn)(－9，－8).又因?yàn)橹本€2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一點(diǎn)，所以－8＝－9a－2，解得a＝eq\f(2,3).考向一兩條直線的位置關(guān)系例1、(1)已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－eq\f(3,2) B．0C．－eq\f(3,2)或0 D．2(2)已知兩條直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0垂直，則a等于()A．1 B．eq\f(1,3)C．0 D．0或eq\f(1,3)【答案】：(1)C(2)B【解析】：(1)若a≠0，則由l1∥l2?eq\f(a＋1,1)＝eq\f(－a,2a)，故2a＋2＝－1，即a＝－eq\f(3,2)；若a＝0，l1∥l2，故選C．(2)由l1與l2垂直可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,－2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－1，解得a＝eq\f(1,3)，故選B．變式1、已知直線l1：ax＋2y＋3＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)當(dāng)l1∥l2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值．【解析】(1)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a(a－1)－1×2＝0，,a(a2－1)－1×3≠0，))解得a＝－1或a＝2，所以當(dāng)l1∥l2時(shí)，a的值為－1或2.(2)由題意，得a＋2(a－1)＝0，解得a＝eq\f(2,3).變式2、（1）（2022年遼寧省大連市高三模擬試卷）“SKIPIF1<0”是“直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】充分性：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0即為：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，所以兩直線平行.故充分性滿足；必要性：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，則有：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0即為：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，所以兩直線平行，不重合；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0即為：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，所以兩直線平行，不重合；所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故必要性不滿足.故“SKIPIF1<0”是“直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行”的充分不必要條件.故選：A（2）（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“SKIPIF1<0”是“直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因?yàn)椤癝KIPIF1<0”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”，但“SKIPIF1<0”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”，因此，“SKIPIF1<0”是“直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0平行”的必要不充分條件.故選：B.方法總結(jié)：(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．(2)在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．考向二兩條直線的交點(diǎn)問題例2、已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－eq\f(1,2)x＋2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))【解析】如圖，已知直線y＝－eq\f(1,2)x＋2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A(4，0)，B(0，2).直線y＝kx＋2k＋1可變形為y－1＝k(x＋2)，表示這是一條過定點(diǎn)P(－2，1)，斜率為k的動(dòng)直線．因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限，所以兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn))，所以動(dòng)直線的斜率k需滿足kPA＜k＜kPB.因?yàn)閗PA＝－eq\f(1,6)，kPB＝eq\f(1,2)，所以－eq\f(1,6)＜k＜eq\f(1,2).變式1、三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0構(gòu)成一個(gè)三角形，則k的取值范圍是()A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1【答案】C【解析】)由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0與x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若l1，l2的交點(diǎn)(1,1)在l3上，則k＝－10.若l1，l2，l3能構(gòu)成一個(gè)三角形，則k≠±5，且k≠－10，故選C.變式2、求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．【解析】：方法一先解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，2)，再由l3的斜率eq\f(3,5)求出l的斜率為－eq\f(5,3)，于是由直線的點(diǎn)斜式方程求出l：y－2＝－eq\f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0．方法二由于l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過l1，l2的交點(diǎn)(－1，2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程為5x＋3y－1＝0．方法三由于l過l1，l2的交點(diǎn)，故l是直線系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一條，將其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0．其斜率為－eq\f(3＋5λ,2＋2λ)＝－eq\f(5,3)，解得λ＝eq\f(1,5)，代入直線系方程得l的方程為5x＋3y－1＝0方法總結(jié)：(1)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，常用的直線系方程如下：①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.考向三兩直線及點(diǎn)到直線的距離問題例3、已知點(diǎn)P(2，－1)．(1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程．(2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，并求出最大距離．(3)是否存在過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】(1)過點(diǎn)P的直線l與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)，可見過P(2，－1)垂直于x軸的直線滿足條件．此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x＝2.若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2k－1)),\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4).此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0.綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.(2)過點(diǎn)P與原點(diǎn)O距離最大的直線是過點(diǎn)P且與PO垂直的直線，由l⊥OP，得klkOP＝－1.∴kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.由直線的點(diǎn)斜式方程得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，最大距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－5)),\r(5))＝eq\r(5).(3)由(2)可知，過P點(diǎn)不存在與原點(diǎn)距離超過eq\r(5)的直線，∴不存在過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線．變式1、（2022年重慶市巴蜀中學(xué)高三模擬試卷）若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0間的距離為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)橹本€SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由平行線間的距離公式可得SKIPIF1<0.故選：C.變式2、(1)已知直線l過點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(－2，2)，點(diǎn)B(4，－2)的距離相等，則直線l的方程為.【答案】2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.【解析】設(shè)所求直線的方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(,1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(,1＋k2))，所以k＝2或k＝－eq\f(2,3)，所以所求直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.(2)若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(,13),13)，則eq\f(c＋2,a)的值為.【答案】±1【解析】由題意得eq\f(6,3)＝eq\f(a,－2)≠eq\f(c,－1)，所以a＝－4，c≠－2，則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，所以eq\f(2\r(,13),13)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(c,2)＋1,\r(,13))))，解得c＝2或c＝－6，所以eq\f(c＋2,a)＝－1或eq\f(c＋2,a)＝1.變式3、已知直線l經(jīng)過直線l1：2x＋y－5＝0與直線l2：x－2y＝0的交點(diǎn)P.(1)若點(diǎn)A(5，0)到直線l的距離為3，求直線l的方程；(2)求點(diǎn)A(5，0)到直線l距離的最大值．【解析】(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以P(2，1).當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x＝2，符合題意；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0.由點(diǎn)A(5，0)到直線l的距離為3，得eq\f(|3k＋1|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(4,3)，此時(shí)直線l的方程為4x－3y－5＝0.綜上所述，直線l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由(1)，得交點(diǎn)P(2，1)，如圖，過點(diǎn)P任意作一條直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到直線l的距離，則d≤PA(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)，所以dmax＝PA＝eq\r((5－2)2＋(0－1)2)＝eq\r(10).方法總結(jié)：1．點(diǎn)到直線的距離的求法可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．2．兩平行線間的距離的求法(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．(2)利用兩平行線間的距離公式．考向四直線的對(duì)稱性例4、已知直線l：x＋2y－2＝0.(1)求直線l關(guān)于點(diǎn)A(1，1)對(duì)稱的直線方程；(2)求直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2的方程．【解析】(1)設(shè)所求的直線方程為x＋2y＋m＝0.在直線l上取點(diǎn)B(0，1)，則點(diǎn)B(0，1)關(guān)于點(diǎn)A(1，1)的對(duì)稱點(diǎn)C(2，1)必在所求的直線上，所以m＝－4，即所求的直線方程為x＋2y－4＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,x＋2y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))即交點(diǎn)為P(2，0).在直線l1上取點(diǎn)M(0，－2)，點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為N(a，b)，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋2·\f(b－2,2)－2＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·\f(b＋2,a)＝－1，))得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(14,5)))，所以直線l2的方程為7x－y－14＝0.變式1、已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(－1，5)和B(0，－1)，若∠ACB的平分線所在的直線方程為2x－3y＋6＝0，則BC邊所在的直線方程為______________；【答案】12x－31y－31＝0【解析】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線2x－3y＋6＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x′，y′)，則聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(x′－1,2)－3×\f(y′＋5,2)＋6＝0，,\f(y′－5,x′＋1)＝－\f(3,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x′－3y′－5＝0，,3x′＋2y′－7＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(31,13)，,y′＝－\f(1,13)，))即A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,13)，－\f(1,13))).由題意，得點(diǎn)A′在直線BC上，所以直線BC的方程為y＝eq\f(－\f(1,13)－(－1),\f(31,13)－0)x－1，整理，得12x－31y－31＝0.變式2、如圖，已知點(diǎn)A(4，0)，B(0，4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后射到直線OB上，再經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過的路程是________．【答案】2eq\r(10)【解析】由題意，得直線AB的方程為x＋y＝4，點(diǎn)P(2，0)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4，2)，點(diǎn)P(2，0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(－2，0)，則光線經(jīng)過的路程為CD＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).變式3、已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程．【解析】：(1)設(shè)A′(x，y)，再由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′(－eq\f(33,13)，eq\f(4,13))．(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m′上．設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))解得M′(eq\f(6,13)，eq\f(30,13))．設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0.))得N(4，3)．又∵m′經(jīng)過點(diǎn)N(4，3)，∴由兩點(diǎn)式得直線方程為9x－46y＋102＝0．(3)設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0方法總結(jié)：對(duì)稱性問題有三類：一是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；二是點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱；三是線關(guān)于線對(duì)稱；點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題比較簡單，只要用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可；點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱要用到兩個(gè)條件，一是已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)的連線與已知直線垂直，二是已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上；線關(guān)于線對(duì)稱問題，一般是在某一條直線上找兩個(gè)點(diǎn)，求出這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于另一條直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后用兩點(diǎn)式求出其方程．通常情況下會(huì)用到兩直線的交點(diǎn)．1、(2022·武漢部分學(xué)校9月起點(diǎn)質(zhì)量檢測)在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對(duì)邊所在的直線方程分別為x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一組對(duì)邊所在的直線方程分別為eq3x－4y＋c\s\do(1)＝0，eq3x－4y＋c\s\do(2)＝0，則|eqc\s\do(1)－c\s\do(2)|＝A．eq2\r(,3)B．eq2\r(,5)C．2D．4【答案】B【解析】由題意可得，菱形兩組對(duì)邊間的距離相等，則EQ\F(|1－3|,\R(,1\S(2)＋2\S(2)))＝EQ\F(|c\S\DO(1)－c\S\DO(2)|,\R(,3\S(2)＋4\S(2)))，解得|eqc\s\do(1)－c\s\do(2)|＝eq2\r(,5)，故答案選B．2、(2022·湖北華中師大附中等六校開學(xué)考試聯(lián)考)已知兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，則SKIPIF1<0的最小值為（）ASKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.4 D.5【答案】B【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0的最小值，且SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0.3、（2020·山東高三開學(xué)考試）已知，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】動(dòng)直線過定點(diǎn)，動(dòng)直線即過定點(diǎn)，且此兩條直線垂直．∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，設(shè)∠ABP＝θ，則，θ∈[0，]，∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴∈[，2]，故選：D．4、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選題）已知直線SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)A作直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)B，且SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】因?yàn)辄c(diǎn)B在直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則B點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：AC.5、