2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元素養(yǎng)評價含解析蘇教版選擇性必修第一冊

單元素養(yǎng)評價(四)(第5章)

(120分鐘150分)

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的)

1,下列各式正確的是()

A.(sina/=cosa(a為常數(shù))

B.(cosx)'=sinx

C.(sinx)'=cosx

D.(X-5)'=-￡X-6

【解析】選c.由導(dǎo)數(shù)公式知選項A中(sina)z=0；選項B中(cosx/=-sinx；選項D中(x-

=-5x-6.

2.如果物體的運動方程為s=1+2t(t>1),其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在2

秒末的瞬時速度是()

70

A.4米/秒B.4米/秒

C.13米/秒D.5|米/秒

【解析】選A.因為s=s(t)=；+2t,所以s，(t)=+2.

]7

故物體在2秒末的瞬時速度s，(2)=-a+2=4.

3.若函數(shù)f(x)=|x34-f(l)-x2-x,則0(1)的值為()

A.0B.2C.1D.-1

【解析】選Af(x)=x2-2fXl>x-1,

則f(l)=l2-2f(l)-l-I,解得式1)=0.

4.已知函數(shù)f(x)=ax'+bx(a,beR)的圖象如圖所示，則a,b的關(guān)系是()

A.3a-b=0B.3a+b=0

C.a-3b=0D.a+3b=0

【解析】選B.由函數(shù)圖象知，x=1為函數(shù)的極大值點，x=-1為函數(shù)的極小值點，即1,-1

是f(x)=0的兩個根,又f(x)=3ax2+b,所以3a+b=o.

5.已知y=f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(l)=1,

f(x)>l,則f(x)>x的解集是()

A.(0,1)B.(-1,0)U(0,1)

C.(1,+oo)D.(-00,-1)U(1,+00)

【解析】選c.不等式f(x)>x可化為f(x)-x>0,

設(shè)g(x)=f(x)-X,則g'(x)=f(x)-1,

由題意g'(x)=r(x)-i>o,

所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

又g(l)=f⑴-1=0,

所以原不等式0g(x)>0臺g(x)>g(l).

所以x>l.

6.若函數(shù)f(x)=In|x|-f(-l)x2+3x+2,則f(l)=()

A.2B.-2C.8D.10

【解析】選C.當(dāng)x>0時，f(x)=lnx-f(-1)X2+3X+2,F(x)=：-2f(-l)x+3,

f(l)=4-2f(-1)；①

當(dāng)x<0時,f(x)=In(-x)-f(-l)x2+3x+2,

f(x)=--2f(-l)x+3,f(-l)=2+2f(-1).(2)

由①②，得f(l)=8.

3

7.已知函數(shù)f(x)=x-3x,若對于區(qū)間［-3,2］上任意的X1,x2,都有|f(x。-f(x2)|<t,則實數(shù)

t的最小值是()

A.0B.10C.18D.20

【解析】選Df(x)=3x2-3,令f(x)=o,解得x=±l,所以1,-1為函數(shù)f(x)的極值點,因

為f(-3)=-18,f(-1)=2,f(l)=-2,f(2)=2,所以在區(qū)間［-3,2］上,f(x)max=2,f(x)min

=-18,所以對于區(qū)間［-3,2］上任意的xi,X2,|f(xi)-f(X2)|<20,所以t>20,從而t的最小

值為20.

8.f(x)是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf(x)-f(x)<0,對任意正數(shù)a,b,若a

<b,則必有()

A.af(b)<bf(a)B.bf(a)<af(b)

C.af(a)<bf(b)D.bf(b)<af(a)

f(x)

【解析】選A.令F(x)=―--,

又當(dāng)x>0時，xf(x)-f(x)<0,所以F-(x)<0,

所以F(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

又a<b,所以F(a)>F(b),

f(a)f(b)

所以一^，所以bf(a)>af(b).

aD

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分,部分選對的得3分)

9.(2021徐州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=|x3-4x+2,下列說法中正確的有()

A.函數(shù)f(x)的極大值為22年，極小值為一與10

B.當(dāng)xC［3,4J時，函數(shù)f(x)的最大值為22牛，最小值為學(xué)10

C.函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為［-2,2］

D.曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線方程為y=-4x+2

【解析】選ACD.因為f(x)=|x3-4x+2,所以F(x)=x2-4,由f(x)>0，得x<-2或x>2,由

f(x)<0，得-2<x<2,

所以函數(shù)f(x)在(-8,-2)上遞增，在［-2,2］上遞減，在(2,+8)上遞增，故選項C正確；

I22

所以當(dāng)x=-2時，f(x)取得極大值f(-2)=^x(-2)3-4x(-2)+2=y,

當(dāng)x=2時，f(x)取得極小值f(2)=1x23-4x2+2=-y,故選項A正確；

當(dāng)xC13,4］時，f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)x=3時，f(x)取得最小值f(3)=1x33-4x3+2

122

=-1,當(dāng)x=4時，f(x)取得最大值f(4)=§x43-4x4+2=y，故選項B不正確；

因為f(0)=-4,所以曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線方程為y-2=-4(x-0),gPy=-4x+

2,故選項D正確.

10.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=F(x)的圖象如圖所示,以下命題錯誤的是()

A.-3是函數(shù)y=f(x)的極值點

B.-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點

C.y=f(x)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增

D.y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零

【解析】BD.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)xG(-8,-3)時,f(x)<0，當(dāng)xG(-3,1)時,f(x)>0,

所以函數(shù)y=f(x)在(-oo,-3)上單調(diào)遞減，函數(shù)y=f(x)在(-3,1)上單調(diào)遞增，則-3是函數(shù)

y=f(x)的極值點；因為函數(shù)y=f(x)在(-3,1)上單調(diào)遞增，則-1不是函數(shù)y=f(x)的最小值點；

因為函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)大于0,則y=f(x)在x=0處切線的斜率大于零.

11,若函數(shù)f(x)=2x3.ax2(a<0)在g,上有最大值，則a的取值可能為()

A.-6B.-5C.-4D.-3

【解析】選ABC.令f(x)=2x(3x-a)=0,

得xi=0,x2=1(a<0),當(dāng)I<x<0時,f(x)<0；

當(dāng)x<1或x>0時,f(x)>0,

則f(x)的增區(qū)間為(-8,D,(0,+8),減區(qū)間為G,o)，即f(x)在X=|處取得極大值G)

a3

=-27?

由f(x)=-另，得&￡)(2x+：)=0,

解得X=g或x=-3,

又在g，答上有最大值，

所以之號w-看,

即a<-4.

f(x)

12.(2021徐州高二檢測)若函數(shù)y=在(1,+8)上單調(diào)遞減，則稱f(x)為M函數(shù)，下

列函數(shù)中為M函數(shù)的是()

A.f(x)=1B.f(x)=x

C.f(x)=：D.f(x)=x2

f(X)11

【解析】選AC.對于A選項，f(x)=1,則y=]nx=\nx，當(dāng)x>l時，/=~<。，

f(x)

此時，函數(shù)y=在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，A選項符合題意；

f(x)vInx-1

對于B選項，f(x)=x，則y=~y^-="，當(dāng)x>l時，y，=.

當(dāng)l<x<e時,y'O；當(dāng)x>e時，y'>0.

f(X)

此時,函數(shù)y=Tk在區(qū)間(I,+8)上不單調(diào)，8選項不符合題意；

1f(x)11+Inx

對于c選項，f(x)=i，則y=F^=71^，當(dāng)X>1時，y'=-再彳<°，

f(X)

此時，函數(shù)y=在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減,C選項符合題意；

f(x)x2x(21nx-1)

對于D選項,f(x)=x2,則丫=]nx，當(dāng)X>1時，y'=----HA------

當(dāng)i<x<#時，產(chǎn)。；當(dāng)xN時，y'>0-

f(X)

此時，函數(shù)y=Zk在區(qū)間(1,+8)上不單調(diào)，D選項不符合題意.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若曲線y=e-'上點P處的切線平行于直線2x+y+1=0,則點P的坐標(biāo)是

x

【解析】設(shè)P(xo,yo),因為y=e-x,所以y'=-e-,

所以點P處的切線斜率為k=-e-x0=-2,

所以-xo=In2,所以xo=-In2,

所以yo=e'"2=2,所以點P的坐標(biāo)為(-In2,2).

答案：(-In2,2)

14.已知函數(shù)f(x)=1x-sinx,xe(0,n),貝Uf(x)的最小值為.

1IT

【解析】令f(x)=8-COSX=0,得X=1.

當(dāng)x《(o，D時，f(x)<0；

當(dāng)xG停,7t)時，f(x)>0,f(x)在x=W處取得極小值.

又f(x)在(0,兀)上只有一個極值點，

易知尚=5X?-乎=匚尹即為f(x)的最小值.

答案:黃兀-3小

15.已知函數(shù)f(x)=xex+c有兩個零點，則c的取值范圍是_____.

【解析】因為f(x)=ex(x+1),所以易知f(x)在(-oo,-1)上是減函數(shù)，在(-1,+oo)上是增函

數(shù),且f(x)min=f(-l)=c-e-1,由題意得c-e」vO,得c<e-L因為當(dāng)c<0時，x￡(-8,-1)

時,f(x)=xex+c<0恒成立，不存在零點，所以c>0.

綜上0<c<；.

答案：(03)

16.已知函數(shù)f(x)=x-/n(x+a),若a=2時，則f(0)=；又若f(x)的最小值為0,其

中a>0,則a的值為.(本題第一空2分，第二空3分)

【解析】f(x)的定義域為(-a,+8),

1x+a-1

f(x)=1-——=-------.

x+ax+a

當(dāng)a=2時，f\x)=l-七,

x+2

所以「(())=1=1.

又由f(x)=0,解得x=1-a>-a.

當(dāng)-a<x<1-a時，f>(x)<0,f(x)在(-a,1-a)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>1-a時，P(x)>0,f(x)在(1-a,+g)上單調(diào)遞增.

因此，f(x)在x=1-a處取得最小值,由題意知f(l-a)=1-a=0,故a=1.

答案:；1

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17

17.(10分)已知函數(shù)f(x)=§乂3+3乂地)(其中2￡即，且f(a)二不，求：⑴f(x)的表達(dá)式；

(2)曲線y=f(x)在x=a處的切線方程.

_a2

【解析】(l)f(x)=x2+3f(a),于是有f(a)=a2+3f(a)=>f(a)=-y,

1

所以f(x)=Qx3-3-X,

又f(a)=\,gp|a3-1a3==>a=-1,

,1R3

f(x)=§X-5_5X.

(2)由⑴知切點為(-1,9,切線的斜率f(a)=,所以切線方程為y-=J(x+1),

即3x+6y-4=0.

18.(12分)已知a為實數(shù),f(x)=(x2-4)-(x-a).

⑴求導(dǎo)數(shù)f*(x)；

(2)若f(-1)=0,求他)在［-2,2］上的最大值和最小值.

【解析】⑴由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,

所以f(x)=3x2-2ax-4.

(2)由f\-1)=0,得a=：,

此時有f(x)=(x2-4>(x-,

f(x)=3x2-x-4.

4

令？(x)=0,得x=q或x=-l.

◎509

又--\-noK2\o

一

=一!==)=

27/22)/

所以f(x)在［-2,2］上的最大值為3,最小值為-(7.

19.(12分)(2021長沙高二檢測)已知函數(shù)f(x)=ex-cosx-ax.

⑴當(dāng)a=2時，證明：f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減；

(2)若對任意x>0zf(x)>x-cosx恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)a=2時，函數(shù)f(x)=ex-cosx-2x,f(x)=ex+sinx-2,

若x<0,則ex<l.

因為sinx<l,所以f(x)=ex+sinx-2<0,

故f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減.

⑵當(dāng)x=0時,f(x)=0>-1,對aCR恒成立；

當(dāng)x>0時，由f(x)>x-cosX整理得-1.

x

exe(x-1)

設(shè)g(x)=--1,貝！Igf(x)=---------

令gXx)>0，得X>1,則g(x)在(1,+00)上單調(diào)遞增；

令g-(x)<0,得0<x<l,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

所以g(x)min=g(l)=e-1,awe-I.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是(-8,e-1].

20.(12分)(2021徐州高二檢測)如圖，已知海島A與海岸公路BC的距離AB為50km,B,C

間的距離為50N/3km從A到C,需要先乘船至海岸公路BC上的登陸點D，船速為25km/h,

再乘汽車至C,車速為50km/h.設(shè)NBAD=9.

(1)用9表示從海島A到C所用的時間f(0),并寫出0的取值范圍；

⑵登陸點D應(yīng)選在何處，能使從A到C所用的時間最少？

LC.

BA

【解析】(1)在口以8口中，AB=50,ZBAD=6,

所以AD=^^,BD=50tan9,

所以CD=5073-50tan9,

ADCD2r-2-sin6.

所以f(0)=方+有+小-tan^F5-+小,

又tanNBAC二5,

所以/BAC=],

所以o的取值范圍是[o,：,

-cos9cos0-(2-sin0)(-sin0)2sin0-1

(2)f(0)=元西=cos29，

由「(9)=0得sinO=g，又。€［。，京，所以0=看，

所以當(dāng)0<e<1時,f(9)<0；當(dāng)專<o<1時,f(0)>o,

所以當(dāng)。=工時，峋有極小值，即最小值；

此時BD=50tan看=苧小.

答：登陸點D與B的距離為苧蟲km時，從A到C所用的時間最少.

X-1

21.(12分)設(shè)f(x)=a/nx+——，其中a為常數(shù)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

x+1

【解析】函數(shù)f(x)的定義域為(0,+00).

a2ax2+(2a+2)x+a

f(x)=-+----=----=-------------------.

2

x(x+i)2x(x+1)

當(dāng)a>0時，P(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)a<0時，令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,

由于A=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),

1-,(x-1)2

當(dāng)

①-時A=o

a2改戶X(X+I)2-0,函數(shù)略)在(。,+8)上單調(diào)遞減.

②當(dāng)ac-g時，A<0,g(x)<0,

f(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

③當(dāng)-2<a<0時，△>().

設(shè)X1,X2(X|<X2)是函數(shù)g(X)的兩個零點,

-(a+1)-yl2a+1

a，

a+1-yj2a+1da2+2a+1-y/2a+1

由Xi>0,

-a-a

所以XG(O,X1)時,g(x)<0,f(x)<0,

函