9.6二項(xiàng)分布超幾何分布正態(tài)分布答案

9.6二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及其意義,理解二項(xiàng)分布,并能解決一些簡單的實(shí)際問題n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布通過n重伯努利試驗(yàn)概率計(jì)算,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)2.理解超幾何分布及其推導(dǎo)過程,能運(yùn)用超幾何分布解決一些實(shí)際問題超幾何分布通過超幾何分布概率計(jì)算,提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)3.借助直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的幾何意義,掌握正態(tài)曲線的相關(guān)性質(zhì),并能夠進(jìn)行正確求解正態(tài)分布通過正態(tài)分布的學(xué)習(xí),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列結(jié)論正確的是().A.正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布,參數(shù)μ是正態(tài)分布的期望,σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差B.對于任意兩個(gè)事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立C.二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布,其公式相當(dāng)于(a+b)n二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,其中a=p,b=1pD.二項(xiàng)分布是一個(gè)分布列,是一個(gè)用公式P(X=k)=Cnkpk(1p)nk,k=0,1,2,…,n表示的分布列,它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件答案AD2.某學(xué)校實(shí)行自主招生,參加自主招生的學(xué)生從8道試題中隨機(jī)挑選4道進(jìn)行作答,至少答對3道才能通過初試.記在這8道試題中甲能答對6道,甲答對試題的個(gè)數(shù)為X,則甲通過自主招生初試的概率為,E(X)=.

答案1114解析依題意,知甲能通過自主招生初試的概率為P(X=3)+P(X=4)=C21C63C84+由于X的可能取值為2,3,4,P(X=2)=C22C62C84=314,P(X=3)=C21C6故E(X)=2×314+3×47+4×3143.(對接教材)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X~N(3,1),且P(X>2c1)=P(X<c+3),則c=.

答案4解析因?yàn)閄~N(3,1),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=3對稱,且P(X>2c1)=P(X<c+3),所以2c1+c+3=3×2,解得c=434.(易錯(cuò)自糾)2封信隨機(jī)投入A,B,C3個(gè)空郵箱,則A郵箱的信件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于().A.13 B.23C.12答案B解析2封信隨機(jī)投入A,B,C3個(gè)空郵箱,共有32=9(種)情況,則投入A郵箱的信件數(shù)X的所有可能的取值為0,1,2,所以P(X=2)=C229=19,P(X=1)=C21C219=49,P(X=0)=1P(X=2)X012P441所以E(X)=0×49+1×49+2×195.(高考演練)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立,設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),D(X)=2.4,且P(X=4)<P(X=6),則p=().A.0.7 B.0.6C.0.4 D.0.3答案B解析依題意可知X~B(10,p),則D(X)=npq=10×p×(1p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6.又P(X=4)<P(X=6),所以C104p4(1p)6<C106p6(1p)4,即(1p)2<p2,即p>12,所以n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布典例1(1)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p).若E(X)=2,D(X)=43,則p等于()A.34 B.23 C.13(2)南京歷史文化積淀深厚,民俗和人文景觀豐富,科教資源眾多,自然風(fēng)光秀美,成為中小學(xué)生“研學(xué)游”的理想之地.為了將來更好地推進(jìn)“研學(xué)游”項(xiàng)目,某旅游學(xué)校一位實(shí)習(xí)生在某旅行社實(shí)習(xí)期間,把“研學(xué)游”項(xiàng)目分為“科技體驗(yàn)游”“民俗人文游”“自然風(fēng)光游”三種類型,并在前幾年該旅行社接待的全省高一學(xué)生“研學(xué)游”學(xué)校中,隨機(jī)抽取了100所學(xué)校,統(tǒng)計(jì)如下:研學(xué)游類型科技體驗(yàn)游民俗人文游自然風(fēng)光游學(xué)校數(shù)404020該實(shí)習(xí)生在明年省內(nèi)有意向組織高一“研學(xué)游”的學(xué)校中,隨機(jī)抽取了3所學(xué)校,并以統(tǒng)計(jì)的頻率代替學(xué)校選擇研學(xué)游類型的概率(假設(shè)每所學(xué)校在選擇研學(xué)游類型時(shí)僅選擇其中一類,且不受其他學(xué)校選擇結(jié)果的影響).①若這3所學(xué)校選擇的研學(xué)游類型是“科技體驗(yàn)游”和“自然風(fēng)光游”,求這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率;②設(shè)這3所學(xué)校中選擇“科技體驗(yàn)游”的學(xué)校數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.答案(1)C(2)見解析解析(1)因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),又E(X)=2,D(X)=43,所以np=2,np(1p)=43,解得p=(2)①依題意,學(xué)校選擇“科技體驗(yàn)游”的概率為25,選擇“自然風(fēng)光游”的概率為1所以若這3所學(xué)校選擇研學(xué)游類型為“科技體驗(yàn)游”和“自然風(fēng)光游”,則這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率為C32×252×15+C32②X的所有可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=C303P(X=1)=C31×25×3P(X=2)=C32×252×P(X=3)=C33×25所以X的分布列為X0123P2754368數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×25=61.n重伯努利試驗(yàn)的特點(diǎn)①每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率是相同的;②每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的,其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例.2.判斷隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布(X~B(n,p))的條件①X的所有可能取值為0,1,2,…,n;②P(X=k)=Cnkpk(1p)nk(k=0,1,2,…,n,p為試驗(yàn)成功的概率訓(xùn)練1(多選)袋子中有2個(gè)黑球,1個(gè)白球,這些球除顏色外都相同,現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次,取到白球記0分,黑球記1分,記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X,則().A.X~B4,23 B.P(X=2)=881C.E(X)=83 D.D(答案ACD解析從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次,則每次取球互不影響,并且每次取到黑球的概率相等,又取到白球記0分,黑球記1分,所以取4次球的總分?jǐn)?shù)即為取到黑球的個(gè)數(shù),所以隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B4,23,故A正確;X=2,則其概率P(X=2)=C42232132=827,故B錯(cuò)誤;因?yàn)閄~B4,23,所以X的期望E(X)=4×23=83,故C正確;因?yàn)閄~B4,23,所以X的方差超幾何分布典例2為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運(yùn)動員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和均值.解析(1)由已知得P(A)=C22C所以事件A發(fā)生的概率為635(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.則P(X=1)=C51CP(X=2)=C52CP(X=3)=C53CP(X=4)=C54C所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1331均值E(X)=1×114+2×37+3×37+4×11.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).2.超幾何分布的特征:①考察對象分兩類;②已知各類對象的個(gè)數(shù);③從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布.3.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實(shí)質(zhì)是古典概型.訓(xùn)練2某市實(shí)行生活垃圾分類,分類標(biāo)準(zhǔn)為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四類,生活垃圾中有30%~40%可以回收利用,分出可回收垃圾既環(huán)保,又節(jié)約資源.如:回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙,可以挽救17棵大樹,少用純堿240千克,降低造紙的污染排放75%,節(jié)省造紙能源消耗40%~50%.現(xiàn)調(diào)查了該市5個(gè)小區(qū)12月份的生活垃圾投放情況,其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如下表所示:A小區(qū)B小區(qū)C小區(qū)D小區(qū)E小區(qū)廢紙投放量(噸)55.15.24.84.9塑料品投放量(噸)3.53.63.73.43.3(1)從A,B,C,D,E這5個(gè)小區(qū)中任取1個(gè)小區(qū),求該小區(qū)12月份的可回收物中,廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸的概率;(2)從A,B,C,D,E這5個(gè)小區(qū)中任取2個(gè)小區(qū),記X為12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)個(gè)數(shù),求X的概率分布及均值.解析(1)記“該小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸”為事件A.由題意,得B,C兩個(gè)小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸,所以P(A)=25(2)因?yàn)榛厥绽?噸廢紙可再造出0.8噸好紙,所以12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)有B,C,共2個(gè)小區(qū).X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)=C32C52=310,P(X=1)=C31·C21C52所以X的概率分布列為X012P331所以E(X)=0×310+1×35+2×110正態(tài)分布典例3(1)已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)=12πσ·e-(x-μ

i)22σi2(x∈RA.σ1>σ2 B.μ1>μ3C.μ1=μ2 D.σ2<σ3(2)(多選)(2023·廣東統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),定義函數(shù)f(x)為X取值不超過x的概率,即f(x)=P(X≤x).若x>0,則().A.f(x)=1f(x) B.f(2x)=2f(x)C.f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù) D.P(|X|≤x)=2f(x)1答案(1)D(2)AD解析(1)根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,且μ越大圖象越靠近右邊,可得μ1<μ2=μ3,故B,C錯(cuò)誤;又σ越小數(shù)據(jù)越集中,圖象越瘦高,所以σ1=σ2<σ3,故A錯(cuò)誤,D正確.(2)因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),所以f(x)=P(X≤x)=P(X>x)=1P(X≤x)=1f(x),A正確;f(2x)=P(X≤2x),2f(x)=2P(X≤x),因?yàn)閤>0,所以f(x)=P(X≤x)>12所以f(2x)≠2f(x),B不正確;因?yàn)閤>0,所以當(dāng)x增大時(shí),f(x)=P(X≤x)也增大,C不正確;P(|X|≤x)=P(x≤X≤x)=12P(X>x)=12[1f(x)]=2f(x)1,D正確.故選AD.正態(tài)分布下的概率計(jì)算常見的兩類問題:(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題,涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,及曲線與x軸之間的面積為1;(2)利用3σ原則求概率問題時(shí),要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進(jìn)行對比聯(lián)系,確定它們屬于(μσ,μ+σ),(μ2σ,μ+2σ),(μ3σ,μ+3σ)中的哪一個(gè).訓(xùn)練3(1)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),則下列結(jié)論不正確的是().A.σ越小,該物理量一次測量中結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大B.該物理量一次測量結(jié)果中大于10的概率為0.5C.該物理量一次測量結(jié)果中小于9.99的概率與大于10.01的概率相等D.該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率與落在(10,10.3)內(nèi)的概率相等(2)(多選)某校體育活動社團(tuán)對全校學(xué)生體能情況進(jìn)行檢測,以鼓勵學(xué)生積極參加體育鍛煉.學(xué)生的體能檢測結(jié)果X服從正態(tài)分布N(75,81),其中檢測結(jié)果在60以上為體能達(dá)標(biāo),90以上為體能優(yōu)秀,則().附:隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μσ<ξ<μ+σ)=0.6826,P(μ2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.A.該校學(xué)生的體能檢測結(jié)果的期望為75B.該校學(xué)生的體能檢測結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為81C.該校學(xué)生的體能達(dá)標(biāo)率超過0.98D.該校學(xué)生的體能不達(dá)標(biāo)的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等答案(1)D(2)AD解析(1)對于A,σ越小,正態(tài)分布的圖象越瘦長,總體分布越集中在對稱軸附近,故A正確;對于B,C,由于正態(tài)分布圖象的對稱軸為直線μ=10,顯然B,C正確;D顯然錯(cuò)誤.(2)對于A,該校學(xué)生的體能檢測結(jié)果的期望為μ=75,故A正確;對于B,該校學(xué)生的體能檢測結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為σ=81=9,故B錯(cuò)誤;對于C,因?yàn)棣?σ=7518=57<60,所以P(X>60)<P(X>μ2σ)=12+12P(μ2σ<ξ<μ+2σ)=0.9772,故C錯(cuò)誤;對于D,因?yàn)?0+90=2μ,所以P(X≤60)=P(X>90),所以該校學(xué)生的體能不達(dá)標(biāo)的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等,故D四大分布之間的關(guān)系典例法國數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜歡吃面包的人,他每天都會購買一個(gè)面包,面包師聲稱自己出售的每個(gè)面包的平均質(zhì)量是1000g,上下浮動不超過50g.這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是:每個(gè)面包的質(zhì)量服從期望為1000g,標(biāo)準(zhǔn)差為50g的正態(tài)分布.(1)假設(shè)面包師的說法是真實(shí)的,從面包師出售的面包中任取兩個(gè),記取出的兩個(gè)面包中質(zhì)量大于1000g的個(gè)數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)作為一個(gè)善于思考的數(shù)學(xué)家,龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄,25天后,得到數(shù)據(jù)如下表,經(jīng)計(jì)算,25個(gè)面包的總質(zhì)量為24468g.龐加萊購買的25個(gè)面包的質(zhì)量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示(單位:g):981972966992101010089549529699789891001100695795296998198495295998710061000977966盡管上述數(shù)據(jù)都落在(950,1050)上,但龐加萊還是認(rèn)為面包師撒謊,根據(jù)所附信息,從概率角度說明理由.附:①若X~N(μ,σ2),從X的取值中隨機(jī)抽取25個(gè)數(shù)據(jù),記這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y,則由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識可知:隨機(jī)變量Y~Nμ,②若η~N(μ,σ2),則P(μσ<η<μ+σ)=0.6827,P(μ2σ<η<μ+2σ)=0.9545,P(μ3σ<η<μ+3σ)=0.9973.③通常把發(fā)生概率在0.05以下的事件稱為小概率事件.解析(1)由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2.P(ξ=0)=C20120122=14;P(ξ=1)=C21×12×12所以ξ的分布列為ξ012P111所以E(ξ)=0×14+1×12+2×14(2)記面包師制作的每個(gè)面包的質(zhì)量為隨機(jī)變量X.假設(shè)面包師沒有撒謊,則X~N(1000,502).根據(jù)附①,從X的取值中隨機(jī)抽取25個(gè)數(shù)據(jù),記這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y,則Y~N(1000,102).龐加萊記錄的25個(gè)面包質(zhì)量,相當(dāng)于從X的取值中隨機(jī)抽取了25個(gè)數(shù)據(jù),這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y=2446825=978.72<10002×10=980由附②數(shù)據(jù)知P(Y<980)=1?0.95452=0.02275<0.05由附③知事件“Y<980”為小概率事件,所以“假設(shè)面包師沒有撒謊”有誤,所以龐加萊認(rèn)為面包師撒謊是正確的.1.二項(xiàng)分布與超幾何分布的辨別方法二項(xiàng)分布超幾何分布特點(diǎn)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品概率公式P(X=k)=Cnk·pk(1p)nk,k=0,1,2,…P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=0,1,2,…,m(m=min{n,M},且n≤N,M期望、方差公式E(X)=np,D(X)=np(1p)E(X)=n·MN,D(X當(dāng)n=1時(shí),二項(xiàng)分布就是01分布;當(dāng)N→+∞時(shí),超幾何分布近似為二項(xiàng)分布;正態(tài)分布為連續(xù)型隨機(jī)變量分布.2.高考常將求概率與等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件、超幾何分布、二項(xiàng)分布等交匯在一起進(jìn)行考查,因此在解答此類題時(shí),準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解,明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵.特別是要注意挖掘題目中的隱含條件.訓(xùn)練(2023·山東濰坊統(tǒng)考模擬預(yù)測)2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié),其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級作為參賽隊(duì)伍,本次比賽啟用了新的排球用球MIKASAV200w,已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ(單位:g)服從正態(tài)分布X~N(μ,σ2),其中μ=270,σ=5.比賽賽制采取單循環(huán)方式,即每支球隊(duì)進(jìn)行11場比賽,最后靠積分選出最后冠軍,積分規(guī)則如下(比賽采取5局3勝制):比賽中以3∶0或3∶1取勝的球隊(duì)積3分,負(fù)隊(duì)積0分;而在比賽中以3∶2取勝的球隊(duì)積2分,負(fù)隊(duì)積1分.9輪過后,積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì),1班排球隊(duì)積26分,2班排球隊(duì)積22分.第10輪1班排球隊(duì)對抗3班排球隊(duì),設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為p(0<p<1).(1)令η=ξ-μσ,則η~N(0,1),且Φ(a)=P(η<a),求Φ(2),并證明:Φ(2)+Φ(2)(2)第10輪比賽中,記1班排球隊(duì)3∶1取勝的概率為f(p),求出f(p)的最大值點(diǎn)p0,并以p0作為p的值,解決下列問題:①在第10輪比賽中,1班排球隊(duì)所得積分為X,求X的分布列;②已知第10輪2班排球隊(duì)積3分,判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過后,無論最后一輪即第11輪結(jié)果如何,1班排球隊(duì)積分最多)?若能,求出相應(yīng)的概率;若不能,請說明理由.參考數(shù)據(jù):X~N(μ,σ2),則P(μσ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.解析(1)Φ(2)=P(η<2)=P(ξ<260),又P(μ2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,所以Φ(2)=P(ξ<260)=0.50.95452=0.50.47725=0.02275因?yàn)棣?2)=P(η<2),根據(jù)正態(tài)曲線對稱性,Φ(2)=P(η<2)=P(η>2),又因?yàn)棣?2)=P(η<2)=1P(η≥2),所以Φ(2)+Φ(2)=1.(2)由題知f(p)=C32p3(1p)=3p3(1p),所以f'(p)=3[3p2(1p)+p3(1)]=3p2(34令f'(p)=0,得p=34當(dāng)p∈0,34時(shí),f'(p)>0,f(p)在0,34上為增函數(shù);當(dāng)p∈34,1時(shí),f'(p)<0,f(所以f(p)的最大值點(diǎn)p0=34,從而p=3①X的可能取值為3,2,1,0.P(X=3)=p3+C32p2(1p)p=P(X=2)=C42p2(1p)2p=P(X=1)=C42p2(1p)3=P(X=0)=(1p)3+C31p(1p)3=所以X的分布列為X3210P189812713②若X=3,則1班10輪后的總積分為29分,2班即便第10輪和第11輪都積3分,則11輪過后的總積分是28分,29>28,所以1班如果第10輪積3分,則可提前一輪奪得冠軍,其概率為P(X=3)=189256(見《精練案》P113)一、單選題1.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取1球,有放回地摸取5次,設(shè)摸得白球個(gè)數(shù)為X,已知E(X)=3,則D(X)等于().A.85 B.65 C.45答案B解析由題意知X~B5,3m+3,所以E(X)=5×3m+3=3,解得m=2,所以X~B5,35,所以D(X)=52.抽樣表明,某地區(qū)新生兒體重X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),假設(shè)隨機(jī)抽取r個(gè)新生兒體檢,記ξ表示抽取的r個(gè)新生兒體重在(μ3σ,μ+3σ)以外的個(gè)數(shù).若ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)<0.05,則r的最大值是().(注:若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則P(μ3σ<X<μ+3σ)≈99.7%)A.13 B.14 C.15 D.16答案D解析根據(jù)正態(tài)分布的3σ原則可知新生兒落在(μ3σ<X<μ+3σ)內(nèi)的概率為0.997,則落在(μ3σ<X<μ+3σ)之外的概率為0.003,所以ξ~B(r,0.003),所以E(ξ)=0.003r<0.05,即r<0.050.003≈16.667因?yàn)閞為正整數(shù),所以r的最大值為16.3.(2023·江蘇統(tǒng)考一模)若隨機(jī)變量X~B(3,p),Y~N(2,σ2),P(X≥1)=0.657,P(0<Y<2)=p,則P(Y>4)=().A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8答案A解析由題意,P(X≥1)=1P(X=0)=1(1p)3=0.657,解得p=0.3,則P(0<Y<2)=0.3,所以P(Y>4)=P(Y<0)=0.5P(0<Y<2)=0.2.4.一個(gè)盒子里裝有相同大小的黑球10個(gè)、紅球12個(gè)、白球4個(gè),從中任取2個(gè),其中白球的個(gè)數(shù)記為X,則P(X≤1)=().A.C221C41+C222C262 答案A解析由題意得X可取0,1,2,所以P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1),又P(X=0)=C222C262,P(X=1)=C221C41C262,所以P(X≤1)二、多選題5.一個(gè)袋中裝有除顏色外其余完全相同的6個(gè)黑球和4個(gè)白球,現(xiàn)從中任取4個(gè)小球,設(shè)取出的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X,則().A.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布 B.隨機(jī)變量X服從超幾何分布C.P(X=2)=37 D.E(X)=答案BCD解析由題意,知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為10,4,4的超幾何分布,即X~H(10,4,4),故A錯(cuò)誤,B正確;隨機(jī)變量X的取值范圍為{0,1,2,3,4},P(X=0)=C64C104=114,P(X=1)=C41C63C104=821,P(X=2)=C42C62C104故E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85,6.下列命題正確的有().A.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,則p=2B.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后,方差恒不變C.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(1<ξ≤0)=12D.某人在10次射擊中,擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X~B(10,0.8),則當(dāng)X=8時(shí)概率最大答案BCD解析對于A,E(X)=np=30,D(對于B,方差反映的是數(shù)據(jù)與均值的偏移程度,因此每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后,每個(gè)新數(shù)據(jù)與新均值的偏移不變,方差恒不變,B正確;對于C,ξ服從正態(tài)分布N(0,1),P(1<ξ≤0)=P(0≤ξ<1)=12P(ξ>1)=12p,C對于D,X~B(10,0.8),則P(X=k)=C10k0.8k×0.210由C10k0.8k×0.210?k≥C10k-10.8三、填空題7.隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.8413,則P(1<ξ≤0)=.

答案0.3413解析如圖所示,因?yàn)镻(ξ≤1)=0.8413,所以P(ξ>1)=10.8413=0.1587,所以P(ξ≤1)=0.1587,所以P(1<ξ≤0)=0.50.1587=0.3413.8.已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品,從中抽取2件檢查,其次品數(shù)為ξ,已知P(ξ=1)=1645,且該產(chǎn)品的次品率不超過40%,則這10件產(chǎn)品的次品率為答案20%解析設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品,則P(ξ=1)=Cx1·C10?x1C102=x(10-x)45=1645,解得x=2或x=8四、解答題9.面對新一輪科技和產(chǎn)業(yè)革命帶來的創(chuàng)新機(jī)遇,某企業(yè)對現(xiàn)有機(jī)床進(jìn)行更新?lián)Q代,購進(jìn)一批新機(jī)床.設(shè)機(jī)床生產(chǎn)的零件的直徑為X(單位:mm).(1)現(xiàn)有舊機(jī)床生產(chǎn)的零件10個(gè),其中直徑大于124mm的有3個(gè).若從中隨機(jī)抽取4個(gè),記ξ表示取出的零件中直徑大于124mm的零件的個(gè)數(shù),求ξ的分布列及均值E(ξ).(2)若新機(jī)床生產(chǎn)的零件直徑X~N(120,4),從生產(chǎn)的零件中隨機(jī)取出10個(gè),求至少有一個(gè)零件直徑大于124mm的概率.參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(|Xμ|≤σ)≈0.6827,P(|Xμ|≤2σ)≈0.9545,P(|Xμ|≤3σ)≈0.9973,0.9772510≈0.7944,0.954510≈0.6277.解析(1)由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,P(ξ=0)=C74C30C104=35210=16,P(ξ=1)=C73C31C104=105210=12,P(ξ=2所以ξ的分布列為ξ0123P1131故E(ξ)=1×12+2×310+3×130(2)因?yàn)閄~N(120,4),所以P(μ2σ≤X≤μ+2σ)=P(116≤X≤124)≈0.9545,P(120≤X≤124)=12P(116≤X≤124)≈0.47725P(X≥124)=12P(120≤X≤124)≈120.47725=0.022則P(X≤124)=1P(X≥124)=0.97725,故至少有一個(gè)零件直徑大于124mm的概率為P=1(0.97725)10≈10.7944=0.2056.10.(2024·江蘇淮安調(diào)研測試)某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一個(gè)開盲盒游戲:在編號為1到4號的四個(gè)箱子中隨機(jī)放入獎品,每個(gè)箱子中放入的獎品個(gè)數(shù)ξ滿足P(ξ=n)=k·n(n=1,2,3,4,5),每個(gè)箱子中所放獎品的個(gè)數(shù)相互獨(dú)立.游戲規(guī)定:當(dāng)箱子中獎品的個(gè)數(shù)超過3個(gè)時(shí),可以從該箱中取走一個(gè)獎品,否則從該箱中不取獎品.每個(gè)參與游戲的同學(xué)依次從1到4號箱子中取獎品,4個(gè)箱子都取完后該同學(xué)結(jié)束游戲.甲、乙兩人依次參與該游戲.(1)求甲能從1號箱子中取走一個(gè)獎品的概率;(2)設(shè)甲游戲結(jié)束時(shí)取走的