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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管,以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容,立足全體黨員?面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺,現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽學(xué)習(xí)”兩個學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項(xiàng)答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過程中,“閱讀文章”不能放首位,四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有()A.60 B.192 C.240 D.4322.如圖,在棱長為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點(diǎn),M為棱AD的中點(diǎn),設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個動點(diǎn),滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.3.已知三棱柱的所有棱長均相等,側(cè)棱平面,過作平面與平行,設(shè)平面與平面的交線為,記直線與直線所成銳角分別為,則這三個角的大小關(guān)系為()A. B.C. D.4.已知集合,則全集則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.5.已知為定義在上的奇函數(shù),若當(dāng)時,(為實(shí)數(shù)),則關(guān)于的不等式的解集是()A. B. C. D.6.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.27.復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C.2 D.8.某人2018年的家庭總收人為元,各種用途占比如圖中的折線圖,年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計如圖中的條形圖,已知年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,則該人年的儲畜費(fèi)用為()A.元 B.元 C.元 D.元9.在中,是的中點(diǎn),,點(diǎn)在上且滿足,則等于()A. B. C. D.10.設(shè),是空間兩條不同的直線,,是空間兩個不同的平面,給出下列四個命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④11.?dāng)?shù)列滿足:,則數(shù)列前項(xiàng)的和為A. B. C. D.12.若點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從編號為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_____________.14.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則其單調(diào)遞減區(qū)間為_______.15.在矩形中,,為的中點(diǎn),將和分別沿,翻折,使點(diǎn)與重合于點(diǎn).若,則三棱錐的外接球的表面積為_____.16.經(jīng)過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限),過點(diǎn)作軸的垂線,垂足為點(diǎn).設(shè)直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為.則的值是________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù),試討論的單調(diào)性;(2)若,,求的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).(1)求的極值;(2)若,且,證明:.19.(12分)新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來,電子購物平臺成為人們的熱門選擇.為提高市場銷售業(yè)績,某公司設(shè)計了一套產(chǎn)品促銷方案,并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn).運(yùn)作一年后,對“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網(wǎng)點(diǎn)各選取了50個,對比上一年度的銷售情況,分別統(tǒng)計了它們的年銷售總額,并按年銷售總額增長的百分點(diǎn)分成5組:,分別統(tǒng)計后制成如圖所示的頻率分布直方圖,并規(guī)定年銷售總額增長10個百分點(diǎn)及以上的營銷網(wǎng)點(diǎn)為“精英店”.(1)請你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動有關(guān)”;采用促銷沒有采用促銷合計精英店非精英店合計5050100(2)某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤,通過分析上一年度的售價(單位:元)和日銷量(單位:件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進(jìn)行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表,表中的:①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算的值;②已知該公司成本為10元/件,促銷費(fèi)用平均5元/件,根據(jù)所求出的回歸模型,分析售價定為多少時日利潤可以達(dá)到最大.附①:附②:對應(yīng)一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.20.(12分)在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.(1)求B;(2)若的面積為,周長為8,求b.21.(12分)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是,直線和直線的極坐標(biāo)方程分別是()和(),其中().(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線和直線分別與曲線交于除極點(diǎn)的另外點(diǎn),,求的面積最小值.22.(10分)如圖所示,在四棱錐中,平面,底面ABCD滿足AD∥BC,,,E為AD的中點(diǎn),AC與BE的交點(diǎn)為O.(1)設(shè)H是線段BE上的動點(diǎn),證明:三棱錐的體積是定值;(2)求四棱錐的體積;(3)求直線BC與平面PBD所成角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
四個答題板塊中選三個捆綁在一起,和另外一個答題板塊用插入法.注意按“閱讀文章”分類.【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起,和另外一個答題板塊用插入法,由于“閱讀文章”不能放首位,因此不同的方法數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用,考查捆綁法和插入法求解排列問題.對相鄰問題用捆綁法,不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法.2.C【解析】
把截面畫完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對稱性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點(diǎn),連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號,∴所求最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的最小值問題,解題時作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個難點(diǎn),第二個難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡,第三個難點(diǎn)是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.3.B【解析】
利用圖形作出空間中兩直線所成的角,然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖,,設(shè)為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),由圖可知過且與平行的平面為平面,所以直線即為直線,由題易知,的補(bǔ)角,分別為,設(shè)三棱柱的棱長為2,在中,,;在中,,;在中,,,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計算,考查了學(xué)生的作圖,用圖能力,體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).4.D【解析】
化簡集合,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡集合,按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義,逐項(xiàng)判斷,即可求出結(jié)論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系,求解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】
先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值,然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意,得,得,所以當(dāng)時,.分析知,函數(shù)在上為增函數(shù).又,所以.又,所以,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).6.C【解析】
推導(dǎo)出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于中檔題.7.D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡出,即可得出虛部.【詳解】解:=,故虛部為-2.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.8.A【解析】
根據(jù)2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費(fèi)用占得到就醫(yī)費(fèi)用,再根據(jù)年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,得到年的就醫(yī)費(fèi)用,然后由年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人,得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲畜費(fèi)用占總收人求解.【詳解】因?yàn)?018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費(fèi)用占所以就醫(yī)費(fèi)用因?yàn)槟甑木歪t(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,所以年的就醫(yī)費(fèi)用元,而年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費(fèi)用占總收人所以儲畜費(fèi)用:故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計中的折線圖和條形圖的應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
由M是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【點(diǎn)睛】判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點(diǎn).②性質(zhì):或取得最小值③坐標(biāo)法:P點(diǎn)坐標(biāo)是三個頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù).10.C【解析】
根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯②:因?yàn)?,,所以或,因?yàn)?,所以,故②對③:或,故③錯④:如圖因?yàn)?,,在?nèi)過點(diǎn)作直線的垂線,則直線,又因?yàn)?,設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線,則又,所以因?yàn)?,,所以,所以,故④?故選:C【點(diǎn)睛】考查線面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.11.A【解析】分析:通過對an﹣an+1=2anan+1變形可知,進(jìn)而可知,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項(xiàng)的和為,故選A.點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題,導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.12.A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【詳解】由題意,點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,準(zhǔn)確化簡、計算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個,由此能求出概率.【詳解】解:從編號為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個,分別為:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式,再求出的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則,解得;所以,其中;所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.15..【解析】
計算外接圓的半徑,并假設(shè)外接球的半徑為R,可得球心在過外接圓圓心且垂直圓面的垂線上,然后根據(jù)面,即可得解.【詳解】由題意可知,,所以可得面,設(shè)外接圓的半徑為,由正弦定理可得,即,,設(shè)三棱錐外接球的半徑,因?yàn)橥饨忧虻那蛐臑檫^底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn),則,所以外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用,屬于中檔題.16.【解析】
作出圖形,設(shè)點(diǎn),則、,設(shè)點(diǎn),利用點(diǎn)差法得出,利用斜率公式得出,進(jìn)而可得出,可得出,由此可求得的值.【詳解】設(shè)點(diǎn),則、,設(shè)點(diǎn),則,兩式相減得,即,即,由斜率公式得,,,故,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解,涉及了點(diǎn)差法與斜率公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)答案不唯一,具體見解析(2)【解析】
(1)由于函數(shù),得出,分類討論當(dāng)和時,的正負(fù),進(jìn)而得出的單調(diào)性;(2)求出,令,得,設(shè),通過導(dǎo)函數(shù),可得出在上的單調(diào)性和值域,再分類討論和時,的單調(diào)性,再結(jié)合,恒成立,即可求出的取值范圍.【詳解】解:(1)因?yàn)?,所以,①?dāng)時,,在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時,令,則;令,則,所以在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)因?yàn)椋芍?,,令,?設(shè),則.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,所以在上的值域是,即.當(dāng)時,沒有實(shí)根,且,在上單調(diào)遞減,,符合題意.當(dāng)時,,所以有唯一實(shí)根,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,,不符合題意.綜上,,即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)恒成立問題求參數(shù)范圍,還運(yùn)用了構(gòu)造函數(shù)法,還考查分類討論思想和計算能力,屬于難題.18.(1)極大值為;極小值為;(2)見解析【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo),進(jìn)而可求出單調(diào)性,從而可求出函數(shù)的極值;(2)構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可得,從而在上恒成立,再結(jié)合,,可得到,即可證明結(jié)論成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,則的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.故的極大值為;的極小值為.(2)證明:由(1)知,設(shè)函數(shù),則,,則在上恒成立,即在上單調(diào)遞增,故,又,則,即在上恒成立.因?yàn)?所以,又,則,因?yàn)?且在上單調(diào)遞減,所以,故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.19.(1)列聯(lián)表見解析,有把握;(2)①;②元時【解析】
(1)直接由題意列出列聯(lián)表,通過計算,可判斷精英店與采用促銷活動是否有關(guān).(2)①代入表中數(shù)據(jù),結(jié)合公式求出;②由①中所得的線性回歸方程,若售價為,單價利潤為,日銷售量為,進(jìn)而可求出日利潤,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求最值.【詳解】解:(1)由題意知,采用促銷中精英店的數(shù)量為,采用促銷中非精英店的數(shù)量為;沒有采用促銷中精英店的數(shù)量為,沒有采用促銷中非精英店的數(shù)量為,列聯(lián)表為采用促銷沒有采用促銷合計精英店352055非精英店153045合計5050100因?yàn)橛械陌盐照J(rèn)為“精英店與采用促銷活動有關(guān)”.(2)①由公式可得:所以回歸方程為②若售價為,單件利潤為,日銷售為,故日利潤,解得.當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減.故當(dāng)售價元時,日利潤達(dá)到最大為元.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn),考查了線性回歸方程的求法,考查了函數(shù)最值的求解.在求函數(shù)的最值時,常用的方法有:函數(shù)圖像法、結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析最值、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法.其中最常用的還是導(dǎo)數(shù)法.20.(1);(2)【解析】
(1)通過正弦定理和內(nèi)角和定理化簡,再通過二倍角公式即可求出;(2)通過三角形面積公式和三角形的周長為8,求出b的表達(dá)式后即可
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