江蘇省海安中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期暑假模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題解析

【答案】C1.已知復(fù)數(shù)z?=1-2i，z?=a+2i(其中i為虛數(shù)單位，a∈R).若z1·z2是純虛數(shù)，則a=()A.-4B.-1C.1D.4【答案】A2.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A},則B中包含元素的個(gè)數(shù)為()A.3B.6C.8D.10【答案】D3.有6名男教師和5名女教師，從中選出2名男教師、1名女教師組成一個(gè)支教小組，則不同的選法共有()A.60種B.70種C.75種D.150種【答案】C4.若變量x，y滿足（趙老師手打）約束條件3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，則z=x+2y的最小值為()A.-7B.-6C.-5D.-4【答案】B5.在△ABC中，已知∠B=30°,c=2，則“b=”是“∠C=45°”成立的()條件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】B6.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()0B.函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形C.若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(∞,x0)單調(diào)遞減D.若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f,(x0)=0 2162A.B.C.D.【答案】C8.設(shè)直線l1,l2分別是函數(shù)l圖像上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2相交垂直于點(diǎn)P，且l1,l2分別與y軸相交于點(diǎn)A,B，則則△PAB的面積的取值范圍是()A.【答案】A9.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.f(x).g(x)是奇函數(shù)B.f(x).g(x)是偶函數(shù)C.f(x).g(x)是奇函數(shù)D.f(x).g(x)是奇函數(shù)【答案】ABCA.ac＜bcB.abc＞bacC.alogbc＜blogacD.logac＞logbc【答案】BCD2(0,+∞)恒成立，其中a,b是整數(shù)，則a+b的取值可以為()2A.-4B.-2C.0D.8【答案】BD]5【答案】614.若當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍.15.(13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP兩兩垂直，長(zhǎng)度分別為1，2，2，若DC=λAB，且向量PC 與BD夾角的余弦值為.(1)求實(shí)數(shù)λ值；（趙老師手打）(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值. 【答案】（1）λ=22）.【解析】λ,2,2)代入解得答案；（2）求出平面PCD的法向量，再求法向量與P--B的夾角的余弦值可得到答案.【詳解】（1）依題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，因?yàn)棣?2,0)，則由，解得λ=10或λ=2. 所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為16.(15分)（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，若f(上BAC)=1,AB=2,BC=上BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，求AD的長(zhǎng).【解析】（2）由題意得：2sin根據(jù)三角形內(nèi)角的范圍可得所以上BAC=再由余弦定理得解得AC，根據(jù)上BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，由S△BAD+S△CAD=S△ABC結(jié)合面積公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】（趙老師手打）所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z；【小問(wèn)2詳解】兀由題意得：2sin在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2 因?yàn)樯螧AC的平分線交BC于點(diǎn)D，所以S△BAD+S△CAD=S△ABC，所以AD+AD=，解得AD=2.17.(15分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓b＞0)的離心率為F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作兩條互相垂直的直線l1,l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，且△AF?F2 (1)求橢圓C的方程；當(dāng)AB=DE時(shí)，求△ODE的面積.2 【解析】【分析】（1）由橢圓離心率和焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)，列方程組求出a,b，得橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l1，l2的方程，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和AB=DE求出DE和l2的方程，再求出O到直線l2的距離，可求△ODE的面積.（趙老師手打）【小問(wèn)1詳解】lb2=a2c2l所以橢圓C的方程為+y2=1；【小問(wèn)2詳解】若直線l1的斜率不存在，則直線l2的斜率為0，不滿足AB=DE，直線l1的的斜率為0，則A,F1,F2三點(diǎn)共線，不合題意，所以直線l1的斜率存在且不為0，設(shè)直線l1的方程為x=my+·,由消去x得y2同理可得)趙老師手打） 即△ODE的面積的面積為.18.(17分)(1)若a=0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；若＜a＜0，試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(e2,e2)內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)求證：對(duì)任意的正數(shù)a，都存在實(shí)數(shù)t，滿足：對(duì)任意的x∈(t,t+a),f(x)＜a一1.【答案】（1）減區(qū)間(0,1)，增區(qū)間(1,+∞)（2）f(x)在(e一2,e2)內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求解f,(x)=lnx，利用f,(x)>0，f,(x)<0，解不等式求解單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間.斷f,(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可判斷f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).（3）先猜想x∈(1,1+a)，f(x)<a一1恒成立．再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷證明．令G(x)=lnx一x+1，x≥1.【小問(wèn)1詳解】（趙老師手打）x1f,(x)一0+f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)；【小問(wèn)2詳解】列表分析：xeg,(x)—0+g(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增而f,()=lnae=1ae，f,(e2)=2ae2=(2+ae2)因此f,(x)在(e—2,e2)上有一個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)在(e—2,e2)內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)；【小問(wèn)3詳解】證明如下：.故g(x)在(1,1+a)上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)為x0．由x0)x0(x0,1f,(x)—0+f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增f(x)<max{f(1),f(1+a)}，所以f(1+a)<(a+1)11=a1=f（1）.f(x)<a1.補(bǔ)充證明(*):所以F(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.補(bǔ)充證明(**)所以G(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減.19.(17分)“踩高蹺，猜燈謎”是我國(guó)元宵節(jié)傳統(tǒng)的文化活動(dòng).某地為了弘揚(yáng)文化傳統(tǒng)，發(fā)展“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，在元宵節(jié)舉辦形式多樣的猜燈謎活動(dòng).(1)某商戶“燈謎”活動(dòng)促銷(xiāo)，將燈謎按難易度分為B、C兩類，抽到較易的B類并答對(duì)購(gòu)物打八折優(yōu)惠，抽到稍難的C類并答對(duì)購(gòu)物打七折優(yōu)惠。抽取燈謎規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，其中3張寫(xiě)有A字母，3張寫(xiě)有B字母，2張寫(xiě)有C字母，顧客每次不放回從箱中隨機(jī)取出1張卡片，若抽到寫(xiě)有A的卡片，則再抽1次，直至取到寫(xiě)有B或C卡片為止.求該顧客取到寫(xiě)有B卡片的概率.（趙老師手打）(2)小明嘗試去找全街最適合他的燈謎，規(guī)定只能取一次，并且只可以向前走，不能回頭，他在街道上一共會(huì)遇到n條燈謎(不妨設(shè)每條燈謎的適合度各不相同)，最適合的燈謎出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，小明準(zhǔn)備采用如下策略：不摘前k(1≤k<n)條燈謎，自第k+1條開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的燈謎適合的，就摘這條燈謎，否則就摘最后一條.設(shè)k=tn，記小明摘到那條最適合的燈謎的概率為P.②當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度，求P的最大值及P取最大值時(shí)t的值.【答案】（1）（2）①;②P的最大值為，此時(shí)t的值為.【解析】【分析】（1）由分類加法原理和分步乘法原理求解；（2）①由題意可知，要摘到最適合他的燈謎，有兩種情況，最適合他的燈謎是第3條和最適合他的燈謎是最后1條，分情況分析兩種情況的可能性，結(jié)合古典概型即可求出結(jié)果；②記事件A表示最適合的燈謎被摘到，根據(jù)條件概率和全概率公式求出P(A)，再用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.【小問(wèn)1詳解】8張完全相同的卡片，3張寫(xiě)有A字母，3張寫(xiě)有B字母，2張寫(xiě)有C字母，由抽取規(guī)則可知，該顧客取到寫(xiě)有B卡片的概率為【小問(wèn)2詳解】①這4條燈謎的位置從第1條到第4條排序，有A=24種情況.要摘到最適合的燈謎，有以下兩種情況趙老師手打）最適合的燈謎是第3條，其他的燈謎隨意在哪個(gè)位置，有A=6種情況，最適合的燈謎是最后1條，第二適合的燈謎是第1條或第2條，其他的燈謎隨意在哪個(gè)位置，有2A=4種情況故所求概率為②記事件A表示最適