2023-2024學(xué)年福建省福州市閩侯二中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省福州市閩侯二中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知i是虛數(shù)單位，則21?i的虛部為(

)A.1 B.i C.22 2.在正方體ABCD?A1B1C1D1A.π6 B.π4 C.π33.已知△ABC中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B=60°，b=3，則a+csinA+sinC=(

)A.36 B.16 C.24.已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計算器產(chǎn)生1～5之間的隨機數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機數(shù)1時，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺設(shè)備，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3臺設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機數(shù)如下：

412?451?312?533?224?344?151?254?424?142

435?414?335?132?123?233?314?232?353?442

據(jù)此估計一年內(nèi)至少有1臺設(shè)備需要維修的概率為(

)A.0.4 B.0.45 C.0.55 D.0.65.已知等腰△ABC中，A=23π，則BC在BA上的投影向量為A.32BA B.?32BA 6.已知平面向量a,b滿足a+b=(2,k),a?A.?2 B.?12 C.127.已知三棱錐A?BCD中，AB⊥平面BCD，AB=4，BC=3，CD=5，BD=7，則該三棱錐外接球的表面積為(

)A.196π3 B.244π3 C.196π58.已知△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足asinA+C2=bsinA，且cosAa+cosBA.6 B.43 C.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知z1、z2都是復(fù)數(shù)，下列選項正確的是(

)A.若|z1|=|z2|，則z1=±z2 B.若z2≠0，則|10.下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是(

)A.某學(xué)生在上學(xué)的路，上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是13，那么該生在上學(xué)路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為427

B.三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為15，13，14，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨立的，則此密碼被破譯的概率為35

C.從1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是13

D.設(shè)兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為19，A發(fā)生B11.如圖，棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G分別是棱AD，A.直線A1G與直線C1E為異面直線

B.直線A1G與平面ADD1A1所成角的正弦值為13

C.二面角D1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖為矩形A′B′C′D′，已知A′B′=3，B′C′=32，則四邊形ABCD的面積為______．13.在△ABC中，其內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B=3π4，b=6，a2+c14.定義軸截面為正三角形的圓錐為等邊圓錐，軸截面為正方形的圓柱為等邊圓柱，已知一個等邊圓錐的底面圓的直徑為2，在該圓錐內(nèi)放置一個等邊圓柱，并且圓柱在該圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則該圓柱的體積的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=a+bi，a，b∈R．

(1)若a=m2+m?2，b=2m2?m?3，m∈R，z對應(yīng)的點在第四象限，求m的范圍．

(2)16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，M是線段PD的中點．

(Ⅰ)求證：PB//平面AMC；

(Ⅱ)求三棱錐P?ACM的體積；

(Ⅲ)求直線BM與底面ABCD所成角的正切值．17.(本小題15分)

在△ABC中，1+sinAsinB=cos2B?sin2A+sin2C.

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若D在邊AB上，DC⊥CB18.(本小題17分)

某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分(95分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這些人的平均年齡和第80百分位數(shù)；

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國夢”宣傳使者．

(i)若有甲(年齡38)，乙(年齡40)兩人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

(ii)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和52，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計這m人中35?45歲所有人的年齡的方差．19.(本小題17分)

歐拉(1707?1783)，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的θ取作π就得到了歐拉恒等式eiπ+1=0，它是令人著迷的一個公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個量聯(lián)系起來，兩個超越數(shù)——自然對數(shù)的底數(shù)e，圓周率π，兩個單位——虛數(shù)單位i和自然數(shù)單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0，數(shù)學(xué)家評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請你根據(jù)歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，解決以下問題：

(1)將復(fù)數(shù)eπ3i+eπi表示成a+bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位)的形式；

(2)求|eπ2i+eθi|(θ∈R)的最大值；

(3)若zn=1，則參考答案1.C

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.B

8.D

9.BD

10.ABC

11.BC

12.913.3

14.2π(215.解：(1)由題意知m2+m?2>02m2?m?3<0，解得1<m<32，

故實數(shù)m的范圍為(1,32)；

(2)|z?1|=|(a?1)+bi|=(a?1)2+b2=1，16.解：(Ⅰ)證明：如圖，連接BD，設(shè)BD∩AC=N，連接MN，

∵底面ABCD是邊長為1的正方形，∴N是BD中點，

又M是線段PD的中點，∴MN/?/PB，

又PB?平面AMC，MN?平面AMC，

∴PB/?/平面AMC；

(Ⅱ)根據(jù)題意可得三棱錐P?ACM的體積為：

VP?ACM=VD?ACM=VM?ACD

=12VP?ACD=12×12VP?ABCD

=14×13×1×1×2=16；

(Ⅲ)取AD的中點H，連接MH，則MH/?/PA，

又PA⊥底面ABCD，∴MH⊥底面ABCD，

17.解：(1)由題意得1?cos2B+sin2A?sin2C=?sinAsinB，

即sin2B+sin2A?sin2C=?sinAsinB，

由正弦定理得AC2+BC2?AB2=?BC?AC，

由余弦定理得cosC=AC2+BC2?AB22BC?AC=?12，

因為C∈(0,π)，所以C=2π18.解：(1)設(shè)這些人的平均年齡為x?，則x?=22.5×0.05+27.5×0.35+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.1=32.25(歲)．

設(shè)第80百分位數(shù)為a，即頻率之和為0.8．

方法一：由5×0.02+(40?a)×0.04=1?0.8=0.2，解得a=37.5．

方法二：由0.05+0.35+0.3+(a?35)×0.04=0.8，解得a=37.5．

(2)(i)由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為a，b，c，甲，第五組抽取2人，記為d，乙，對應(yīng)的樣本空間為：Ω={(a,b)，(a,c)，(a，甲)，(a，乙)，(a,d)，(b,c)，(b，甲)，(b，乙)，(b,d)，(c，甲)，(c，乙)，(c,d)，(甲，乙)，(甲，d)，(乙，d)}，共15個樣本點．

設(shè)事件M=“甲、乙兩人至少一人被選上”，則M={(a，甲)，(a，乙)，(b，甲)，(b，乙)，(c，甲)，(c，乙)，(甲，乙)，(甲，d)，(乙，d)}，共有9個樣本點．

所以，P(M)=n(M)n(Ω)=35．

(ii)設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為x?4，x?5，方差分別為s42，s52，

則x?4=37，x?5=43，s42=52