2022-2023學(xué)年山西省晉城市陵川一中數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等腰或直角三角形 D．鈍角三角形2．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A． B． C． D．3．已知函數(shù)，其中，記函數(shù)滿足條件：為事件，則事件發(fā)生的概率為A． B．C． D．4．設(shè)，是雙曲線的左，右焦點，是坐標(biāo)原點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A． B． C． D．5．已知實數(shù)、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知集合，則為（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]8．設(shè)，其中a，b是實數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．9．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且A、B兩點在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．11．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)的是（）．A． B．C． D．12．已知函數(shù)（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量與的夾角為，，，則________.14．設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，記最大值為，則的最小值為______.15．若函數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_____.16．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點到直線的距離的最小值為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個不同的極值點，，且，若不等式恒成立.求正實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)f(x）=xlnx，g(x)=,（1）求f(x)的最小值；（2）對任意，都有恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對一切，都有成立．19．（12分）已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．20．（12分）設(shè)函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的方程有唯一的實數(shù)解，求a的取值范圍.21．（12分）已知A是拋物線E：y2＝2px(p>0)上的一點，以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x＝1于M，N兩點.（1）若|MN|＝2，求拋物線E的方程；（2）若0＜p＜1，拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P，Q，點G為PQ的中點，O為坐標(biāo)原點，求直線OG斜率的取值范圍.22．（10分）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前n項和為，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，數(shù)列的前n項和，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由，化簡可得，最后分類討論可得；【詳解】解：因為所以所以所以所以所以當(dāng)時，為直角三角形；當(dāng)時即，為等腰三角形；的形狀是等腰三角形或直角三角形故選：．【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

設(shè)為中點,先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計算,得出結(jié)論．【詳解】設(shè)分別是的中點平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項：【點睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題．3、D【解析】

由得，分別以為橫縱坐標(biāo)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，由圖可知，.4、B【解析】

設(shè)過點作的垂線，其方程為，聯(lián)立方程，求得，，即，由，列出相應(yīng)方程，求出離心率.【詳解】解：不妨設(shè)過點作的垂線，其方程為，由解得，，即，由，所以有，化簡得，所以離心率．故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解、推理論證能力，屬于中檔題．5、C【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，結(jié)合圖象知當(dāng)直線過點時，取得最大值.【詳解】解：作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部，如下圖表示：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時，取得最大值，最大值為.故選：C.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識,屬于中檔題.6、C【解析】

令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，，令，可得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，若直線和有兩個交點，則.實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)零點求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.7、B【解析】

先求出，得到，再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以，則，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查了集合的混合運(yùn)算，其中解答中熟記集合的交集、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算，考驗計算，屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】

直線恒過定點，由此推導(dǎo)出，由此能求出點的坐標(biāo)，從而能求出的值．【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，直線恒過定點，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點B為AP的中點、連接OB，則，∴，點B的橫坐標(biāo)為，∴點B的坐標(biāo)為，把代入直線，解得，故選：C．【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題.10、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項B；又，，所以排除選項A、C，故選D．11、B【解析】

奇函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點對稱且，在上即可.【詳解】A：因為定義域為，所以不可能時奇函數(shù)，錯誤；B：定義域關(guān)于原點對稱，且滿足奇函數(shù)，又，所以在上，正確；C：定義域關(guān)于原點對稱，且滿足奇函數(shù)，，在上，因為，所以在上不是增函數(shù)，錯誤；D：定義域關(guān)于原點對稱，且，滿足奇函數(shù)，在上很明顯存在變號零點，所以在上不是增函數(shù)，錯誤；故選：B【點睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，注意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點對稱，屬于簡單題目.12、C【解析】

設(shè)，計算可得，再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè)，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像，，得，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)已知求出，利用向量的運(yùn)算律，求出即可.【詳解】由可得，則，所以.故答案為:【點睛】本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

易知，設(shè)，，利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得解．【詳解】，設(shè)，，令，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減令，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增所以當(dāng)時，，，則則，即故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)最值的求法，考查絕對值不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，屬于難題．15、【解析】

若函數(shù)恒成立，即，求導(dǎo)得，在三種情況下，分別討論函數(shù)單調(diào)性，求出每種情況時的，解關(guān)于的不等式，再取并集，即得?！驹斀狻坑深}意得,只要即可，，當(dāng)時，令解得，令，解得，單調(diào)遞減，令，解得，單調(diào)遞增，故在時，有最小值，，若恒成立，則，解得；當(dāng)時，恒成立;當(dāng)時，，單調(diào)遞增，,不合題意,舍去.綜上,實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查恒成立條件下，求參數(shù)的取值范圍，是?？碱}型。16、【解析】

解法一：曲線上任取一點，利用基本不等式可求出該點到直線的距離的最小值；解法二：曲線函數(shù)解析式為，由求出切點坐標(biāo)，再計算出切點到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一（基本不等式）：在曲線上任取一點，該點到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，曲線上任意一點到直線距離的最小值為；解法二（導(dǎo)數(shù)法）：曲線的函數(shù)解析式為，則，設(shè)過曲線上任意一點的切線與直線平行，則，解得，當(dāng)時，到直線的距離；當(dāng)時，到直線的距離.所以曲線上任意一點到直線的距離的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查曲線上一點到直線距離最小值的計算，可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來找出切點，轉(zhuǎn)化為切點到直線的距離，也可以設(shè)曲線上的動點坐標(biāo)，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）求導(dǎo)得到有兩個不相等實根，令，計算函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到值域，得到答案.（2），是方程的兩根，故，化簡得到，設(shè)函數(shù)，討論范圍，計算最值得到答案.【詳解】（1）由題可知有兩個不相等的實根，即：有兩個不相等實根，令，，，，；，，故在上單增，在上單減，∴.又，時，；時，，∴，即.（2）由（1）知，，是方程的兩根，∴，則因為在單減，∴，又，∴即，兩邊取對數(shù)，并整理得：對恒成立，設(shè)，，，當(dāng)時，對恒成立，∴在上單增，故恒成立，符合題意；當(dāng)時，，時，∴在上單減，，不符合題意.綜上，.【點睛】本題考查了根據(jù)極值點求參數(shù)，恒成立問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(1)(2)（(3)見證明【解析】

（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定函數(shù)單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最小值取法；（2）先分離不等式，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值即得結(jié)果；（3）構(gòu)造兩個函數(shù)，再利用兩函數(shù)最值關(guān)系進(jìn)行證明.【詳解】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x）的最小值為f(）=；（2）因為所以問題等價于在上恒成立，記則，因為，令函數(shù)f(x）在（0,1）上單調(diào)遞減;函數(shù)f(x）在（1，+）上單調(diào)遞增；即，即實數(shù)a的取值范圍為（.（3）問題等價于證明由（1）知道，令函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞增；函數(shù)在（1，+）上單調(diào)遞減；所以{，因此，因為兩個等號不能同時取得，所以即對一切，都有成立.【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)等比中項性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，由等差數(shù)列通項公式可求得結(jié)果；（2）由（1）可得，可知為等比數(shù)列，利用分組求和法，結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）成等比數(shù)列，，即，，解得：，.（2）由（1）得：，，，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，．【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求解、分組求和法求解數(shù)列的前項和的問題；關(guān)鍵是能夠根據(jù)通項公式證得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而采用分組求和法，結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式求得結(jié)果.20、（1）當(dāng)時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2）或.【解析】

（1）求出，對分類討論，先考慮（或）恒成立的范圍，并以此作為的分類標(biāo)準(zhǔn)，若不恒成立，求解，即可得出結(jié)論；（2）有解，即，令，轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個實數(shù)解，根據(jù)（1）中的結(jié)論，即可求解.【詳解】（1），當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，綜上，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2），令，原方程只有一個解，只需只有一個解，即求只有一個零點時，的取值范圍，由（1）得當(dāng)時，在單調(diào)遞增，且，函數(shù)只有一個零點，原方程只有一個解，當(dāng)時，由（1）得在出取得極小值，也是最小值，當(dāng)時，，此時函數(shù)只有一個零點，原方程只有一個解，當(dāng)且遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；，當(dāng)，有兩個零點，即原方程有兩個解，不合題意，所以的取值范圍是或.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到單調(diào)性、零點、極值最值，考查分類討論和等價轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.21、（1）.（2）【解析】

（1）設(shè)A的坐標(biāo)為A（x0，y0），由題意可得圓心C的坐標(biāo)，求出C到直線x＝1的距離.由半個弦長，圓心到直線的距離及半徑構(gòu)成直角三角形可得p的值，進(jìn)而求出拋物線的方程；（2）將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理，進(jìn)而求出中點G的坐標(biāo)，再求出直線OG的斜率的表達(dá)式，換元可得斜率的取值范圍.【