4.5.2用二分法求方程的近似解課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)4.5.2用二分法求方程的近似解內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索二分法求方程近似解的思路并會(huì)畫程序框圖．2.能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．活動(dòng)方案我們已經(jīng)知道，函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)．進(jìn)一步的問(wèn)題是，如何求出這個(gè)零點(diǎn)呢？一個(gè)直觀的想法是：如果能將零點(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，就可以得到符合要求的零點(diǎn)的近似值．為了方便，可以通過(guò)取區(qū)間中點(diǎn)的方法，逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍．活動(dòng)一二分法的概念思考1???如何縮小零點(diǎn)所在區(qū)間(2,3)的范圍？【解析】

取區(qū)間(2,3)的中點(diǎn)2.5.思考2???區(qū)間分成兩段后，又怎樣確定零點(diǎn)在哪一個(gè)小的區(qū)間內(nèi)呢？【解析】

用計(jì)算工具算得f(2.5)≈－0.084.因?yàn)?/p>

f(2.5)f(3)<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5,3)內(nèi)．思考3???假設(shè)f(2.5)＝0說(shuō)明什么？【解析】

若f(2.5)＝0，則2.5就是函數(shù)的零點(diǎn)．思考4???如何進(jìn)一步的縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間？

零點(diǎn)所在區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值(2,3)2.5－0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125－0.009(2.53125,2.5625)2.5468750.029(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.001思考5???若給定精確度0.01，如何選取近似值？【解析】

因?yàn)閨2.5390625－2.53125|＝0.0078125<0.01，所以區(qū)間(2.53125,2.5390625)內(nèi)任意一點(diǎn)都可以作為零點(diǎn)的近似值，也可以將x＝2.53125作為函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6零點(diǎn)的近似值，也即方程lnx＋2x－6＝0的近似解．對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫作二分法.它是求一元方程近似解的常用方法．運(yùn)用二分法的前提是要先判斷某解所在的區(qū)間.思考6???下列圖象中的函數(shù)，能否用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值？為什么？活動(dòng)二二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟【解析】

不能．因?yàn)椴淮嬖谝粋€(gè)區(qū)間[a，b]，使f(a)·f(b)<0.用二分法求方程近似解的步驟給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)x0的近似值的一般步驟如下：(1)確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)＜0.(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c.(3)計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：①若f(c)＝0(此時(shí)x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若f(a)f(c)＜0(此時(shí)x0∈(a，c))，則令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此時(shí)x0∈(c，b))，則令a＝c.(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：若|a－b|＜ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟(2)～(4).由函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程解的關(guān)系，我們可用二分法來(lái)求方程的近似解．思考7???如何把求方程的近似解化歸為求函數(shù)的零點(diǎn)？活動(dòng)三用二分法求方程的近似解【解析】

對(duì)于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通過(guò)移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成求形如f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解．例

1利用計(jì)算器，求方程lg

x＝3－x的近似解．(精確度為0.1)【解析】

分別畫出函數(shù)y＝lgx和y＝3－x的圖象，如圖所示．在兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)處，函數(shù)值相等，因此，這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程lgx＝3－x的解．由圖知，方程lgx＝3－x有唯一解，記為x1，且x1∈(2,3)．設(shè)f(x)＝lgx＋x－3，用計(jì)算器計(jì)算，得f(2)＜0，f(3)＞0?

x1∈(2,3)，f(2.5)＜0，f(3)＞0?

x1∈(2.5,3)，f(2.5)＜0，f(2.75)＞0?

x1∈(2.5,2.75)，f(2.5)＜0，f(2.625)＞0?

x1∈(2.5,2.625)，f(2.5625)＜0，f(2.625)＞0?

x1∈(2.5625，2.625)．因?yàn)閨2.625－2.5625|＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取為2.5625.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是初始區(qū)間的選取，符合條件(包括零點(diǎn))，又要使其長(zhǎng)度盡量小；二是進(jìn)行精確度的判斷，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算.借助計(jì)算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精確度為0.1)【解析】

令f(x)＝2x＋3x－7，則f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以f(1)f(2)<0，說(shuō)明函數(shù)f(x)＝2x＋3x－7在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)．又f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，記為x0，則x0∈(1,2)．用計(jì)算器計(jì)算得f(1)<0，f(2)>0?x0∈(1,2)，f(1)<0，f(1.5)>0?x0∈(1,1.5)，f(1.25)<0，f(1.5)>0?x0∈(1.25,1.5)，f(1.375)<0，f(1.5)>0?x0∈(1.375,1.5)，f(1.375)<0，f(1.4375)>0?x0∈(1.375，1.4375)．因?yàn)閨1.4375－1.375|＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取為1.375.例

2利用計(jì)算器，求方程sinx＝1－x的近似解．(精確度為0.1)【解析】

因?yàn)榉匠蘳inx＝1－x可化為x＋sinx－1＝0，所以原方程的解即函數(shù)f(x)＝x＋sinx－1的零點(diǎn)．先畫出函數(shù)y＝sinx和y＝1－x的圖象，如圖所示．觀察圖象，因?yàn)閒(0)＝－1＜0，f(1)＝sin1＞0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，記為x0.用計(jì)算器計(jì)算得f(0)＜0，f(1)＞0?

x0∈(0,1)，f(0.5)＜0，f(1)＞0?

x0∈(0.5,1)，f(0.5)＜0，f(0.75)＞0?

x0∈(0.5,0.75)，f(0.5)＜0，f(0.625)＞0?

x0∈(0.5,0.625)，f(0.5)＜0，f(0.5625)＞0?

x0∈(0.5,0.5625)．因?yàn)閨0.5625－0.5|＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取為0.5.思考8???用二分法求方程的一個(gè)近似解的操作流程是怎樣的？【解析】

“二分法”與判定函數(shù)零點(diǎn)的定義密切相關(guān)，只有滿足函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點(diǎn)．用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個(gè)近似零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：

根據(jù)此數(shù)據(jù)，求方程3x－x－4＝0的一個(gè)近似解．(精確度為0.01)【解析】

因?yàn)閒(1.5625)·f(1.5562)<0，所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間(1.5562,1.5625)內(nèi)．因?yàn)閨1.5625－1.5562|＝0.0063＜0.01，所以方程3x－x－4＝0的一個(gè)近似解為1.5625.f(1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060檢測(cè)反饋245131.(2022·荊州高一期末)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是(

)【解析】

由二分法的定義知，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且滿足f(a)·f(b)<0，則可以利用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的近似值，故A不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)．【答案】A245132.(2022·哈爾濱高一期中)設(shè)f(x)＝3x＋3x－8，現(xiàn)用二分法求關(guān)于x的方程3x＋3x－8＝0在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解，已知f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(2)>0，則方程的根落在區(qū)間(

)A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能確定【解析】

因?yàn)閒(1)<0，f(2)>0，且f(x)的圖象在區(qū)間(1,2)上連續(xù)，所以f(x)在區(qū)間(1,2)上至少存在一個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)閒(1.5)>0，所以f(x)在區(qū)間(1,1.5)上存在零點(diǎn)．因?yàn)閒(1.25)<0，所以f(x)在區(qū)間(1.25,1.5)上存在零點(diǎn)，所以方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi)．【答案】B24533.(多選)(2022·寧德第一中學(xué)高一練習(xí))關(guān)于函數(shù)f(x)＝lgx＋x－2的零點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的是(參考數(shù)據(jù)：lg1.5≈0.176，lg1.625≈0.211，lg1.75≈0.243，lg1.8125≈0.258，lg1.875≈0.273，lg1.9375≈0.287)(

)A.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1B.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2C.用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解可取為1.8(精確到0.1)D.用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解可取為1.9(精確到0.1)124531【解析】

易知函數(shù)f(x)＝lgx＋x－2在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(1.5)＝lg1.5＋1.5－2≈0.176＋1.5－2＝－0.324<0，f(2)＝lg2＋2－2＝lg2>0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1.5,2)上有1個(gè)零點(diǎn)，取區(qū)間中點(diǎn)x＝1.75，則f(1.75)＝lg1.75＋1.75－2≈0.243＋1.75－2＝－0.007<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間