2021年新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課作業(yè)含解析新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

章末復(fù)習(xí)課

-----------------劇識(shí)網(wǎng)絡(luò)鳴清凝統(tǒng)---------------------

回顧本章學(xué)習(xí)過(guò)程、建構(gòu)“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”之間的聯(lián)

系.

基礎(chǔ)知識(shí)

基本思想

結(jié)合圖形解決

幾何問(wèn)題

線面位置關(guān)系、

夾角、距離問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為向量

問(wèn)題

空間向量及其運(yùn)

算的坐標(biāo)表示

空間點(diǎn)、直線、

平面的向量表示

空間向量的

應(yīng)用

空間直線、平

面的位置關(guān)系

空同向量在

立體幾何中空間中的距離

的應(yīng)用問(wèn)題

空間中的夾角

問(wèn)題

圜結(jié)圜納盥點(diǎn)畫究

要點(diǎn)訓(xùn)練一空間向量的基本概念和幾何運(yùn)算

1.空間向量的加減運(yùn)算

空間向量的加法、減法的法則仍符合三角形法則和平行四邊形法則，即轉(zhuǎn)化為平面向量

的加法或減法,這是因?yàn)榭臻g的任意兩個(gè)向量都是共面的.

2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量共面的充要條件

(1)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算、平行向量的概念、向量平行的充要條件與平面向量的性質(zhì)是

一致的.

(2)利用向量共面的充要條件可以判斷第三個(gè)向量是否與已知的兩個(gè)不共線的向量共面,

特別地，空間一點(diǎn)戶位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使

>-X>+y\

3.空間向量的數(shù)量積

(1)空間向量的數(shù)量積的定義表達(dá)式a?6=/a//6/cos〈a,6〉及其變式cos<a,b>^~~

是兩個(gè)重要公式.

(2)空間向量的數(shù)量積的其他變式是解決立體幾何問(wèn)題的重要公式,如/a/=a；a在6上

的投影是R等.

1.在空間四邊形相切中，G是。的中點(diǎn)，連接加,則一4(-+')=()

C1

-

D.2

解析：因?yàn)樵凇黝}中，因?yàn)镚是繆的中點(diǎn)，所以二;()從而

4(,+')=(+(.

答案:A

2.如圖，在平行六面體ABCD~AiBCR中,ZC與初父于點(diǎn)M,設(shè)=a,=A尸G

貝！JI―-()

A。B.\a^b-c

C.%f.cD.-\aU-c

解析：因?yàn)?L=-L+>,>=；>,>=>+>,所以

r+；(--~>+~~>”-小劍

答案:D

3.在正方體ABCD-A^CM中，點(diǎn)￡在4a上，且丁^=,若

"二Xr+y(>+0,貝(IJF1,y=1.

解析：由題意,知>=T+-i—>=T+：x-J—1=>+9,從而有

下1,啟.

4.如圖，已知/為辦/'8'，'0是平行六面體.設(shè)〃是底面/題的中心,N是側(cè)面BCC'B'K

角線留'上的一個(gè)靠近點(diǎn)，'的四等分點(diǎn),設(shè)一、=a―、+B—>+r—r,則。+￡+/=*

D'C

解析:連接物(圖略)，則〃為劭的中點(diǎn).

所以°弓，￡=(,7=|.所以a+￡+/=*

要點(diǎn)訓(xùn)練二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

熟記空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式

設(shè)a=(X1,M,Z1),ZF(X2,yi,z2),

(1)力口、減運(yùn)算：a土良(荀±松yi±yi,zi±Z2).

(2)數(shù)量積運(yùn)算：a?b=xiX2+yiy2+zxz2.

(3)向量的夾角：

cos〈a,?.

J什什4i+i+i

⑷向量的長(zhǎng)度：設(shè)Mi(31,bi,Ci),Mi(續(xù),bi,C2),則

-1~2仁J~(~~2)：+(~~2)2+(~~2)^?

1.已知a=(2,3,-4),Z?=(-4,-3,-2)，左;x-2a,則行()

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

解析：因?yàn)閎=\x-2a,

所以斤2加4a=2(-4,-3,-2)+4(2,3,-4)=(-8,-6,-4)+(8,12,-16)=(0,6,-20).

答案:B

2.已矢口a+b=(2,V2,2-\/3),a-b=(0,V2,0),貝(Icos<a,b>=()

D.-

3636

解析：因?yàn)閍止⑵血,2V3),a-夕(0,調(diào),0),

所以a=(l,調(diào),?斤(1,0,包

所以3電6^^二裝寫

答案:A

3.已知點(diǎn)4(1,-2,0)和向量爐(-3,4,12),若向量一'〃1且|-N=2|a|,則點(diǎn)6的坐標(biāo)

為()

A.(-5,6,24)

B.(-5,6,24)或(7,TO,-24)

C.(-5,16,-24)

D.(-5,16,-24)或(7,-16,24)

解析：因?yàn)橐?gt;〃a,a=(-3,4,12),所以設(shè)一因?yàn)閨―M=2|a|,所以

I才||a|=2|a|,所以"|=2,所以*=2年(-6,8,24)或=-2a=(6,-8,-24).

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為。，則—>=―>+—(=(1,-2,0)+(-6,8,24)=(-5,6,24)或

—'=―*+―^(1,-2,0)+(6,-8,-24)=(7,-10,-24),所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-5,6,24)或

(7,-10,-24).

答案:B

4.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)力(1,-2,11),8(4,2,3),。(6,-1,4),則△/比一定是

()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析：由題意，知>=(3,4,-8),'=(5,1,-7),(=(2,-3,1),所以

->I小+42+(-8)2=恂,I—<I=^52+12+(-7)2=V75,||小+(-3/+1=

E,所以I—T+—N--T,所以△/比'一定是直角三角形.

答案:C

要點(diǎn)訓(xùn)練三利用空間向量解決平行與垂直問(wèn)題

利用空間向量證明平行、垂直問(wèn)題主要是運(yùn)用直線的方向向量和平面的法向量,借助立

體幾何中關(guān)于平行和垂直的定理,再通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)解決.

空間向量的結(jié)論與線面位置關(guān)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系

⑴設(shè)直線)的方向向量是產(chǎn)(ai,61,C1),平面a的法向量為「(az,飽C2),

則1//尸0=今/+6也+CIQ=0;

7±a=uhbi,c〉二k1&,Q)=3I=bmkk*a=kc2

(A￡R).

(2)設(shè)直線而的方向向量分別為當(dāng)”平面a,￡的法向量分別為a匕

貝U1//m^a//b^a^kbyA￡R;

?ZFO;

1//尸0;

/_La=a〃uoapku,kGR;

Q//￡=〃〃v=Fkv,A￡R;

Q?r=0.

1.若直線，?的方向向量分別為斫(1,2,-2),左(-2,3,2),則?與一的位置關(guān)系是

()

A.7iJ_I2

B.IJ/I2

C.4,心相交不垂直

D.不能確定

解析：由題意，知直線人為的方向向量分別為平(1,2,-2),斤(-2,3,2),可得

a*Z>=-2+6-4=0,所以/i與心的位置關(guān)系是21-L72.

答案:A

2.已知向量a42,T,3),斤(-4,2,x),使成立的x與使a〃人成立的x分別為

()

A.-,-6B.6C.-6,-D.6,--

3333

解析：當(dāng)a,6時(shí),-8-2+3尸0,解得智.

當(dāng)a〃6時(shí),Slw，解得尸-6.故選A.

答案:A

3.已知點(diǎn)4(0,1,0),6(-1,0,-1),以2,1,1),戶(x,0,z),若以，平面力園則點(diǎn)戶的坐標(biāo)為

()

A.(1,0,-2)B.(1,0,2)

C.(-1,0,2)D.(2,0,-1)

解析：由題意,知-(-1,-1,-1),-(2,0,1),=(-A,1,~z).

因?yàn)闉開(kāi)L平面ABC,

所以一-\--二

所以<*=0,(?=0.

所以｛J+1解得｛J

所以點(diǎn)以的坐標(biāo)為(-1,0,2).

答案:C

4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABLAD,CDLAD,/^_L底面ABCD,PQAD=CA2AB=2,M為PC

的中點(diǎn).

⑴求證:砌〃平面PAD;

(2)平面處〃內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使根平面PB加若存在,確定點(diǎn)”的位置;若不存在,請(qǐng)

說(shuō)明理由.

⑴證明:如圖，以/為坐標(biāo)原點(diǎn),48,4〃/9所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，則8(1,0,0),DQ2,0)，尸(0,0,2),Ml,1,1),

由題意，知=(0,1,1),平面陽(yáng)。的一個(gè)法向量為ZF(1,0,0),

所以*?22=0,即'±27.

因?yàn)榘罥平面PAD,所以9〃平面PAD.

⑵解：由題意,知一=(-1,2,0),-'=(1,0,-2).

假設(shè)平面印，內(nèi)存在一點(diǎn)N,使〃此平面PBD.

設(shè)MO,y,z),則-(-1,y-1,z~l).

因?yàn)?±\

所以［所以乂0,^)，

所以在平面身人內(nèi)存在一點(diǎn)A(0,；,；),使反!平面PBD.

要點(diǎn)訓(xùn)練四利用空間向量求空間距離

空間距離有兩點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、線線距、線面距和面面距六種情況，而線面距、

面面距通?？赊D(zhuǎn)化為點(diǎn)面距求解.兩點(diǎn)距一般利用向量模求解,即利用兩點(diǎn)間距離公式,而點(diǎn)

面距主要利用平面法向量求解.

相關(guān)公式

(1)點(diǎn)到直線的距離.

如圖，已知直線1的單位方向向量為s,4是直線/上的定點(diǎn)，尸是直線/上外一定點(diǎn).設(shè)

—%,則的」7.

A

Q

(2)點(diǎn)到平面的距離.

如圖，已知平面a的法向量為是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，戶是平面。外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作平

面a的垂線，交平面a于點(diǎn)Q,則Z7是直線7的方向向量，

勺——.T=|—卜一^

1.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A^GD,中,AB=BO2,M=V2,￡尸分別是四邊形AiBCB、四邊形

的中心，則￡尸兩點(diǎn)間的距離為()

A.1B學(xué)Q1

解析:如圖，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，初四44所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角

坐標(biāo)系，則￡(1,1,調(diào))，尺2,1,昌,

所以IEF\=J(l-2)2+(l-l)2+(V2-f)2當(dāng)故選C.

答案:C

2.在四棱錐上ABCD中,-=(4,-2,3),-=(-4,1,0),一=(-6,2,-8),則點(diǎn)戶到底面

/皿的距離為()

解析：設(shè)燈(x,y,z)是平面ABCD的法向量，則由題意，得[?==?即

I?=0,

[4-2+3=0,

1-4+=0,

令尸4,則尸1,

所以27=(1,4,0是平面/a7?的一個(gè)法向量.

因?yàn)椤?-_6+8-^=-^,|=/1+16+I*1-*\/104=2-\/26,

OO17O

所以|COS〈A,一?〉|=粵，故點(diǎn)尸到平面ABCD的距離

d=|'|,|cos<zj,>>|=2-\/26X卓=2.

答案:D

3.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(l,0,2)與點(diǎn)6(1,-3,1),則|—,1=710.若在z軸上有

一點(diǎn)〃滿足I1=1X則點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(0,0,-3).

解析：由點(diǎn)/(I,0,2),點(diǎn)6(1,-3,1),得|—N=J(1T)2+(0+3)2+(2-l)2=VT0.

因?yàn)樵赯軸上有一點(diǎn)"滿足I1=X

設(shè)〃(0,0,a),則J(l-0)2+(0-0)2+(2-)2=

J(l-0)2+(-3-0)2+(1-)2.

解得a=-3,

所以點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(0,0,-3).

4.如圖，在矩形ABCD^,已知AB=1,小風(fēng),將矩形加切沿對(duì)角線AC折起,使平面ABC與

平面力"垂直,則點(diǎn)8與點(diǎn)〃之間的距離為半.

解析：如圖，過(guò)打〃兩點(diǎn)分別向4C作垂線，垂足分別為四川則可求得

A咤B吟,

D

因?yàn)?/p>

所以I—T=(—>+—>+—r=l―T+l—f+l—T+2C+

要點(diǎn)訓(xùn)練五利用空間向量求空間角

1.求兩異面直線所成的角

設(shè)a"分別是異面直線h心的方向向量，e為人心所成的角，則

III?I

cos夕=|cos<a,b>|=1~~

2.求直線與平面所成的角

設(shè)a為直線1的方向向量,A為平面a的法向量，9為1與a所成的角，則sin

,.1.1

夕二|cos<a,n>|―■—p

3.求平面與平面的夾角

設(shè)小功分別是平面￡的法向量，平面a與平面0的夾角為。，則個(gè)=〈4,松〉或

9二”-<Z71,松〉(需要根據(jù)具體圖形判斷是相等還是互補(bǔ)).

L(全國(guó)卷H)在長(zhǎng)方體ABChBC"中,AB=Bg,AA5則異面直線AB與陽(yáng)所成角

的余弦值為()

A.-

5652

解析：以。為坐標(biāo)原點(diǎn),加,必物所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示.

由條件可知,〃(0,0,0),4(1,0,0),"(0,0,V3),5(1,1,V3),

所以；=(1,1,V3),

所以cos<—T，—；〉=|二；=「奈丁

即異面直線AK與DR所成角的余弦值為號(hào).

5

答案:C

2.如圖，在正三棱柱ABOAB.a中,AB=AA=2,P,Q分別為BC的中點(diǎn)，則異面直線BP

與AG所成角的余弦值為等,直線制與平面40G所成角的正弦值為空.

---r^C

解析:如圖,在正三棱柱ABC-A^Q中，設(shè)AC,4a的中點(diǎn)分別為o,a,連接OB,oa,則OB

LOC,00110coarOB,以。為原點(diǎn)，OB,OC,。。分別為X軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系

Oxyz.

因?yàn)锳B=AAl=2,所以/(0,-1,0),5(73,0,0),<7(0,1,0),4(0,-1,2),

5(V3,0,2),G(0,1,2).

因?yàn)槭瑸?氏的中點(diǎn)，所以《當(dāng)，力，2)，

所以—=(-y,-p2),；=(0,2,2),

所以|cos<711-1+413ViO

1IV5X2V220

所以異面直線BP與/G所成角的余弦值為嚶.

因?yàn)?為優(yōu)1的中點(diǎn),所以喈，|,0),

所以一=停持。)-

因?yàn)閞=(0,2,2),古(0,0,2),

設(shè)rF(x,y,z)為平面AQCx的一個(gè)法向量，

貝0二.即仔+3=°,

(1,-°>(2+2=0.

取2=1,則產(chǎn)T,JFA/3.所以Z2=(V3,-1,1),

設(shè)直線倒與平面/如所成角為e,

貝！Isin夕=|cos<ri>|―>白若,

I11II2x755

所以直線CG與平面/圖所成角的正弦值為g

5

3.如圖,直四棱柱ABCD~A\BC仄的底面是菱形,44=4,AB=2,

ZBAD=60°,E,M,"分別是BC,煙,AW的中點(diǎn).

⑴證明:仞V〃平面GDE-,

(2)求平面AMA,與平面加〃1夾角的余弦值.

⑴證明：如圖，連接6c尬

因?yàn)樗摹攴謩e為BB“8c的中點(diǎn)，

所以跖〃旦C且修，5c

因?yàn)椤盀?2的中點(diǎn)，所以ND^A.D.

由題設(shè)可得&C"A\D,BvOAxD,

板ME〃ND,M序ND,

因此四邊形網(wǎng)K￡'為平行四邊形,MN//ED.

因?yàn)椤銎矫鍳DE,所以必〃平面GDE.

⑵解：由己知可得加工血

如圖，以，為坐標(biāo)原點(diǎn),(的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

則A(2,0,0),4(2,0,4),Ml,V3,2),Ml,0,2),

所以-i~-(0,0,-4),J-(-1,V3,-2),-J~-(-1,0,-2),-(0,~\/3,0).

設(shè)OF(x,y,z)為平面AXMA的法向量，

所以匕+$「2=。,得［4

可取2ZF(g,1,0).

設(shè)舁(p,q,r)為平面4腑的法向量，

所以16

(--

可取ZF(2,0,-1).

所以cos〈招〃線二W，

所以平面/例|與平面序&夾角的余弦值為《.

O

要點(diǎn)訓(xùn)練六轉(zhuǎn)化與化歸思想

空間向量的應(yīng)用之一是解決幾何問(wèn)題,將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題,然后利用向量的性

質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算或論證,再將結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題的結(jié)果,這種“從幾何到向量,再?gòu)南蛄康綆缀巍?/p>

的解決思路是轉(zhuǎn)化與化歸思想的充分體現(xiàn).

1.已知平面a的一個(gè)法向量為燈(2,-2,4),―>=(-3,1,2),若點(diǎn)力不在a內(nèi)，則直線

26與平面a的位置關(guān)系為()

A.ABLaB.ABaa

C.A8與a相交不垂直D.46〃a

解析：因?yàn)锳?一=(2,-2,4)?(-3,1,2)=-6-2+8=0,所以->.因?yàn)辄c(diǎn)力不在。內(nèi)，

所以48〃a.

答案:D

2.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-AxB^Dx中,/氏44=1,力廬2,E是棱26的中點(diǎn)，則點(diǎn)￡到平面

ACA的距離為()

解析:如圖，連接以，為坐標(biāo)原點(diǎn)，加，”;微所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系,則〃(0,0,1),￡(1,1,0),/(I,0,0),<7(0,2,0).

所以丁^=(1,1,T),―=(-1,2,0),1=(-1,0,1).

設(shè)平面ACtt的法向量為ZF(a,b,c),

=°，明廣+2=°，俎,=2

7=0,K|I-+=0,信t=

令a=2,則斤1,c=2,所以/⑵1,2)是平面ACLk的一個(gè)法向量.

所以點(diǎn)￡到平面ACR的距離為d=-

答案:c

3.在直四棱柱ABCD-A^aD,中，四邊形ABCD為平行四邊形，〃為44的中

點(diǎn),B(=BD=\,冊(cè)/4=近

(1)求證:血1.平面BDG-

(2)求平面MBG與平面DBQ夾角的余弦值.

⑴證明：因?yàn)樗倪呅?6(/是平行四邊形,所以AD=BC=BD=\.

又因?yàn)锳B=a,

所以函+加=所,所以ADVBD.

由題意,得如i_L平面ABCD.

以，為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,微能所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則2(0,0,0),從1,0,f),5(0,1,0),G(-1,1,調(diào))，

所以~~*=(1,0,f),>=(0,1,0),T=(T，1，0)，

所以*.-0,*.1=-1+1=0,

所以DMLDB,DMLDa.

又因?yàn)镈BCDG=D,比t平面BDG,DCu平面BDG,

所以加_平面BDG.

⑵解：由⑴可知，—<=(1,0,子)是平面BDQ的一個(gè)法向量，且

=(1,-1,y),T=(T，0,2).

設(shè)平面MBG的法向量為F(x,%z),

叫：二A°0,即

+V2=0,

令下1可得,H調(diào),苧,1),

所以cos<\n>=-

所以平面MBG與平面DBG夾角的余弦值為辱.

□

覬范留題遹免想分

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

（新高考山東卷?12分）

如圖，四棱錐尸加切的底面為正方形，如，底面ABCD,設(shè)平面必，與平面小的交線為

（1）證明：，，平面PDC-

⑵已知P2AA1,Q為1上的點(diǎn),求陽(yáng)與平面40所成角的正弦值的最大值.

⑴證明：因?yàn)殛?yáng)，底面ABCD,所以PDLAD.評(píng)分細(xì)則

又因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形,所以ADVDC.第⑴題

所以4LL平面如C2分得到平面PDC或BCV

因?yàn)锳D//BC,直線平面PBC,所以4?〃平面PBC.平面々C有簡(jiǎn)單過(guò)程得2分；

由已知，得/〃/〃2分（累計(jì)4分）得出1//AD或/〃8c得2

所以，，平面1分（累計(jì)5分）分；

⑵解：以2為坐標(biāo)原點(diǎn)，以物,%小所在直線分別為上述兩得分點(diǎn)全有的情況

x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，1分下結(jié)論得1分，否則結(jié)論為0分.

（累計(jì)6分）第⑵題

建立空間直角坐標(biāo)系，指出

x軸、y軸、z軸,或圖中標(biāo)出均

可得1分；