2020高考數(shù)學二輪復習二立體幾何教學案

專題二立體幾何

［江蘇卷5年考情分析］

小題考情分析大題考情分析

常

空間幾何體的表面積與體

考本專題在高考大題中的考查非常穩(wěn)定，主要是線線、

積（5年4考）

點線面、面面的平行與垂直的證明，一般第（1）問是線面平

偶行的證明，第（2）問是線線垂直或面面垂直的證明，考查

簡單幾何體與球的切接問

考形式單一，難度一般.

題

點

第一講I小題考法一一立體幾何中的計算

考點（一）

空間幾何體的表面積與體積

主要考查柱體、錐體以及簡單組合體的表面積與體積.

［題組練透］

1.（2019?江蘇高考）如圖，長方體46必■48G"的體積是120,

￡為CC\的中點，則三棱錐展頗的體積是.

解析：設(shè)長方體中CD=b,CG=c,則abc=120,

11111

V&BCD=^X~abX-c=—abc=—X120=10.

o乙乙i■乙i.乙

答案：10

2.（2018?蘇錫常鎮(zhèn)二模）己知直四棱柱底面是邊長為2的菱形，側(cè)面對角線的長為24,

則該直四棱柱的側(cè)面積為

解析：由題意得，直四棱柱的側(cè)棱長為：（24）2一*=2蛆,所以該直四棱柱的側(cè)面

積為5=c7=4X2X2-72=16^2.

答案：16位

3.（2018?江蘇高考）如圖所示，正方體的棱長為2,以其所有面的中

心為頂點的多面體的體積為,不個、J

解析：由題意知所給的幾何體是棱長均為m的八面體，它是由兩個

有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1,所以這個八面體

1_4

2

的體積為2兀E四極錐=2X可義（r\j2）X1=~

OO

答案：I4

4.（2018?南通、泰州一調(diào)）如圖，銅質(zhì)六角螺帽毛坯是由一個正六~\

棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的幾何體.已知正六棱柱的底面邊長、高都為

：：：：

4cm,圓柱的底面積為9^3cm2.若將該螺帽熔化后鑄成一個高為6cmI：；f\

的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長為cm（不計損耗）.'―“二—

解析：由題意知，熔化前后的體積相等，熔化前的體積為6X*X42X4—9/X4=64

（cm3）,設(shè)所求正三棱柱的底面邊長為xcm,則有半，6=6骸，解得x=2板所以所求

邊長為2y[lbcm.

答案：2班

5.（2019?蘇北三市一模）已知正四棱錐的底面邊長為24，高為1,則該正四棱錐的側(cè)

面積為.

解析：易知正四棱錐的斜高為抽尸+（?。?，=2,所以該正四棱錐的側(cè)面積為4XaX24

X2=8小.

答案：8y[3

[方法技巧]

求幾何體的表面積及體積的解題技巧

（1）求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在.求

三棱錐的體積時，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知兒何體的

某一面上.

（2）求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體

以易于求解.

考點（二）

簡單兒何體與球的切接問題

主要考查簡單幾何體與球切接時的表面積、體積的計算問題，以及將空間幾何體的問題

轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的關(guān)系的能力.

［題組練透］

1.（2017?江蘇高考）如圖，在圓柱aa內(nèi)有一個球。，該球與圓柱的上、

下底面及母線均相切.記圓柱aa的體積為匕，球。的體積為七，則萬的值是

V2

解析：設(shè)球。的半徑為此因為球。與圓柱aa的上、下底面及母線均相切，所以圓柱

的底面半徑為樂高為2兄所以卷=三""='

答案：I

2.（2019?南通等七市二模）設(shè)只A,B,C為球。表面上的四個點，PA,PB,用兩兩垂

直，且為=2m,PB=3m,PC=Am,則球。的表面積為m2.

解析：根據(jù)題意，可知三棱錐A是長方體的一個角，該長方體的外

接球就是經(jīng)過RA,B,，四點的球，

'：PA=2,必=3,PC=\,

長方體的對角線的長為

、制+稱+*=亞,

即外接球的直徑21=*，可得A=呼,

因此，外接球的表面積為S=4n下=4

答案：29n

3.（2019?無錫期初測試）已知正四面體/靦的所有棱長都等于乖，則以力為頂點，△

及力的內(nèi)切圓為底面的圓錐的體積「=.

解析：設(shè)正48切內(nèi)切圓的圓心為0,連接必，OA,則圓。的半徑尸=坐%=乎，OB=

/3

歸&'=*.易知的_L平面BCD,所以物上照所以圓錐的高h=-0后=在二i=2,

O

JI

所以圓錐的體積nrnXX2=—

oo

答案：V

o

4.（2018?全國卷川改編）設(shè)4B,C,〃是同一個半徑為4的球的球面上四點，叢ABC

為等邊三角形且其面積為973,則三棱錐34笫體積的最大值為_______.

解析：由等邊△4?。的面積為可得率4/=9#,所以46=6,所以等邊△4式的

外接圓的半徑為小.設(shè)球的半徑為R,球心到等邊的外接圓圓心的距離為

d,則4川"/=［16T2=2.所以三棱錐ZM6C高的最大值為2+4=6,所以三棱錐0-ABC

體積的最大值為〈X4X6=18小.

答案：18^3

［方法技巧］

簡單幾何體與球切接問題的解題技巧

方法解讀適合題型

解答時首先要找準切點，通過

作截面來解決.如果內(nèi)切的是

截面法球內(nèi)切多面體或旋轉(zhuǎn)體

多面體，則作截面時主要抓住

多面體過球心的對角面來作

首先確定球心位置，借助外接

的性質(zhì)一一球心到多面體的頂

構(gòu)造

點的距離等于球的半徑，尋求

直角

球心到底面中心的距離、半徑、正棱錐、正棱柱的外接球

三角

頂點到底面中心的距離構(gòu)造成

形法

直角三角形，利用勾股定理求

半徑

因正方體、長方體的外接球半

三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，

徑易求得，故將一些特殊的幾

從正方體或長方體的八個頂點

補形法何體補形為正方體或長方體，

中選取點作為頂點組成的三棱

便可借助外接球為同一個的特

錐、四棱錐等

點求解

考點（三）

平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題

主要考查空間圖形與平面圖形之間的轉(zhuǎn)化，面積、體積以及最值

問題的求解.

［典例感悟］

［典例］⑴如圖，正的邊長為2,必是4?邊上的高，E,尸分別為邊然與園的

中點，現(xiàn)將△46C沿切翻折，使平面力加工平面"況則三棱錐氐加心的體積為.

⑵如圖，直三棱柱/aM心G中，AB=1,BC=2,AC=yj5,14=3,"為線段跖上的

一動點，則當4V+,跖最小時，△力必的面積為.

［解析］⑴&甌=；8械=；X俾X22)=半，￡到平面外&的距離力等于所以

(2)將側(cè)面展開后可得：本題AM+MQ最小可以等價為在矩形ACC^

中求AM+MG的最小值.

如圖，當4機G三點共線時，4什如最小.

又AB：BC=\：2,48=1,6c=2,O；=3,

所以4井=木,ilfCi=2y［2,又AG=、9+5=^/14,

1

AM+C\M—Au\2+8—14-

所以cosN4總2

24"?CxM_2X^2X2^2

所以sinN4%?i=乎

故△建峪的面積為陽=^義加義2/X坐=4.

［答案］⑵小

［方法技巧］

解決翻折問題需要把握的兩個關(guān)鍵點

（1）解決與翻折有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量.一般情況下，折線

同一側(cè)的線段的長度是不變量，位置關(guān)系可能會發(fā)生變化，抓住兩個“不變性”.

①與折線垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變；

②與折線平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變.

（2）解決問題時，要綜合考慮翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前

的圖形.

［演練沖關(guān)］

1.有一根長為6cm,底面半徑為0.5cm的圓柱型鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，

并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的長度最少為cm.

解析：由題意作出圖形如圖所示，

則鐵絲的長度至少為#64（4n）2=>36+161=249+4T.

答案：249+4n2

2.（2018?南京、鹽城、連云港二模）在邊長為4的正方形4版內(nèi)剪去四個全等的等腰

三角形（如圖①中陰影部分），折疊成底面邊長為鏡的正四棱錐亂砒加（如圖②），則正四棱

錐,￡7物的體積為.

解析：連結(jié)用，HF,交點為。（圖略），正方形跖第的對角線￡6=2,￡0=1,則點￡到

線段加的距離為1,郎=5'；+2"=#,SO=7SE-窕=小三=2,故正四棱錐$七%7/的

體積為W1X（血L/又2=可4.

OO

依d4

答案：

3.如圖所示，平面四邊形48（笫中，AB=AD=CD=-\,BD=pBDLCD,將其沿對角線

仍折成四面體微力，使平面力劭，平面靦，若四面體/靦的頂點在同一個球面上，則該球

的體積為

AA

解析：如圖，取切的中點笈比■的中點。，連接OD,EO,A0.

因為48=4。，所以4反L做

由于平面/加_L平面BCD,所以力反1平面BCD.

因為力〃=49=CZ=1,笈9=,所以AE=2，￡0=5.所以0A—?.

1/Q

在口△〃%中，OB=OC=OD=-BC=A^~,所以四面體力靦的外接球的球心為。，半徑為

2.

4

所以該球的體積r=-n

答案:殍

［必備知能?自主補缺］._________________________________________________________

(-)主干知識要牢記

h'為斜高，即側(cè)面等腰梯形的高

S跚杖他=2nrl

---------

圓柱1r為底面半徑

--、

---

1為側(cè)面母線長

Siat(tffli=nrl

圓錐r為底面半徑

1為側(cè)面母線長

SMM=n(ri+?2)1

△為上底面半徑

圓臺

n為下底面半徑

1為側(cè)面母線長

2.柱彳本、錐體、臺體的體積公式

⑴，柱體=57?(S為底面面積，//為高)；

⑵小體=!防(S為底面面積，A為高);

(3)%=4(S+4r+￡)/;(不要求記憶).

O

3.球的表面積和體積公式

(1)S球=4n為球的半徑)；

4

(2)心=爐外(火為球的半徑).

4.立體幾何中相鄰兩個面之間的兩點間距離路徑最短問題，都可以轉(zhuǎn)化為平面幾何中兩

點距離最短.

(-)二級結(jié)論要用好

1.長方體的對角線與其共點的三條棱之間的長度關(guān)系/:才+^+儲若長方體外接球

半徑為此則有(2而2=3+斤+。2.

［針對練1］設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且長度分別為2,2小，4,則其外接

球的表面積為.

解析：依題意，設(shè)題中的三棱錐外接球的半徑為R,可將題中的三棱錐補形成一個長方

體，則4;R+(2如"2=2也所以該三棱錐外接球的表面積為S=4n4=32n.

答案:32n

2.棱長為a的正四面體的內(nèi)切球半徑r=噌a,外接球的半徑月=羋a.又正四面體的高

1L勺

人=坐a,故廠=；方，兄=［力?

［針對練2］正四面體4?切的外接球半徑為2,過棱46作該球的截面，則截面面積的最

小值為.

解析：由題意知，面積最小的截面是以為直徑的圓，設(shè)4?的長為a,

因為正四面體外接球的半徑為2,

所以乎a=2,解得a=半，

4u

故截面面積的最小值為

田―8Jt

答案：

3.認識球與正方體組合的3種特殊截面：

一是球內(nèi)切于正方體；二是球與正方體的十二條棱相切；三是球外接于正方體.它們的

相應軸截面如圖所示（正方體的棱長為a,球的半徑為曲.

［課時達標訓練］._______________________________________________________________

A組一一抓牢中檔小題

1.若圓錐底面半徑為1,高為2,則圓錐的側(cè)面積為.

解析：由題意，得圓錐的母線長/=4船+2：'=所以nr）="義1乂m=乖

答案：小兀

2.已知正六棱柱的側(cè)面積為72cm2,高為6cm,那么它的體積為cm3.

解析：設(shè)正六棱柱的底面邊長為xcm,由題意得6xX6=72,所以x=2,于是其體積M

乎X2?X6X6=36#（cm。）.

答案：36m

3.（2019?揚州中學模擬）已知三棱錐%的所有頂點都在球。的球面上，SC是球0

的直徑.若平面平面SC5SA=AC,SB=BC,三棱錐S/8C的體積為9,則球。的表面

積為.

解析：如圖，連接。1,OB.

由SA=AC,SB=BC,SC為球。的直徑，知OA±SC,OBISC.

由平面SOJL平面SCB平面san平面sc3=sc,OAI.SC,知勿_L平面SCN

設(shè)球。的半徑為r,則。1=應=r,SC=2r,

三棱錐S-4a1的體積

3

即可=9,**?2^=39I.S球表=4冗了=36兀.

O

答案:36n

4.（2019?南京四校聯(lián)考）如圖，在正三棱柱/g45G中，AB=2,AAx

=3,點￡是棱陽上一點（異于端點），則三棱錐4-4比1的體積為.

解析：由題意知，在正三角形/a'中，AB=2,所以以歐=乎'22=4.

連接BA、,由等體積法知，VArAEC=VE-AAtC=V&AtAC=VArABC=^XAAtXS

o

答案：小

5.（2018?揚州期末）若圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3"且圓心角為胃1的扇形，則此圓

錐的體積為.

19JI

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為方，母線為1,則由J?一廠?/=3",得/=3,又

乙O

2

由等??/=2叮r,得_r=L從而有力=\//一/=2鏡,所以「=；?nr.n.

J?Jo

答案：第n

6.一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等

的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點P為頂點，加工成一個如圖所示的正四棱錐形容

器.當x=6cm時，該容器的容積為cm3.

p

解析：由題意知，這個正四棱錐形容器的底面是以6cm為邊長的正方形，側(cè)面高為5cm,

則正四棱錐的高為所以所求容積K=1x62X4=48（cm：,）.

答案：48

7.（2019?蘇錫常鎮(zhèn)四市一模）已知圓柱的軸截面的對角線長為2,則這個圓柱的側(cè)面積

的最大值為.

解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為力，則由圓柱的軸截面的對角線長為2知，4?+A2

4y+代

=4.圓柱的側(cè)面積5=2K動W口X—y—=2n,當且僅當2r=h時取等號，所以這個圓柱

的側(cè)面積的最大值為2n.

答案：2n

8.設(shè)棱長為a的正方體的體積和表面積分別為一,S,底面半徑和高均為「的圓錐的體

yoc

積和側(cè)面積分別為%S,若則亳的值為—

V-iJI02

—a,Si—yfiJtr,由即［旦一=彳~，得

解析：由題意知,

..6a-__6__3m

a=r,從而豆=衣7=聲="'

?3A/2

答案：于

9.已知正方形的邊長為2,E,F分別為BC,小的中點，沿心EF,4尸折成一個

四面體，使8,C,〃三點重合，則這個四面體的體積為.

解析：設(shè)B,C,〃三點重合于點P,得到如圖所示的四面體P-AEF.

因為"，陽APVPF,PECPF=P,所以北，平面儂；所以Vnm

1111

/四面體4板=鼻?AP=-X-X1X1X2=-

SMEF?O。乙J

答案：|

10.（2018?常州期末）已知圓錐的高為6,體積為8,用平行于圓錐底面的平面截圓錐,

得到的圓臺體積是7,則該圓臺的高為

解析：設(shè)截得的小圓錐的高為加，底面半徑為八，體積為匕=:式6垢大圓錐的高為人

rh

=6,底面半徑為r,體積為勺二外=8.依題意有三=力

得力=；2=3,所以圓臺的高為A—九=3.

答案：3

11.如圖，在直三棱柱中，底面為直角三角形，NACB=

90°,4c=6,BgCC\=/,P是附上一動點，則b+例的最小值是

解析：連結(jié)48,沿陽將展開，與△&的在同一個平面內(nèi),

如圖所示，連結(jié)4G則4c的長度就是所求的最小值.

c,

A上

AB

因為4G=6,BG=2,所以4婿+函=44，所以N4G6=90°.

又/8GC=45°,所以N4GC=135°,由余弦定理，得4d=4竊+編-24G?CG?cos

N4GC=36+2-2X6X/x(-由=50,所以4c=5鏡，即b+/H的最小值是八區(qū)

答案：5會

12.(2019?南京三模)有一個體積為2的長方體，它的長、寬、高依次為a,6,1.現(xiàn)將

它的長增加1,寬增加2,且體積不變，則所得新長方體高的最大值為.

ab=2,

解析：設(shè)所得新長方體的高為h,根據(jù)題意，得,,、.，°、，°所以h=

(a+1)(6+2)h=2,

22221

7~I\/I\=~；1~I/I=Q_\1\AWI=不當且僅當2a=6,即a=l,b

?+11)(Zz?+29)ab-\~92a+b+292a+Z?+4212db+44

=2時取等號，故所得新長方體高的最大值為京

1

答案：彳

13.已知圓錐的底面半徑和高相等，側(cè)面積為4m“，過圓錐的兩條母線作截面，截面

為等邊三角形，則圓錐底面中心到截面的距離為.

解析：如圖，設(shè)底面半徑為r,由題意可得：母線長為蛆r.又側(cè)面展

D

開圖面積為,隹廣義2冗尸=4鏡n，所以T=2.乂截面三角形力切為等邊三角形，故BI)=AB

=/八又OB=OD=r,故△/?〃為等腰直角三角形.設(shè)圓錐底面

==

中心到截面的距離為d,又Vo-ABDVA-B0I)9所以dXSnABD=AOXS△啊又S&AffD^^~A^X

廣工J2X22市

8=2yf3,5A(W=2>A0=r=tlf故d=二3?

答案.

14.底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個半徑為Tcm的實心鐵球，四個球兩兩相

切，其中底層兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注

水cm3.

解析：設(shè)四個實心鐵球的球心為。，Q,a,。”其中a,a為下層兩球的球心，aaoM

為正四面體，棱QQ到棱aa的距離為孚，所以注水高為1+坐.故應注水體積為“。十平)

—4x1x(33=&+平卜(城).

答案:目郛

B組一一力爭難度小題

1.(2019?全國卷III)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型

為長方體挖去四棱錐第后所得的幾何體.其中。為

長方體的中心，E,F,G,〃分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,AAt

=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/aA不考慮打印損耗,制作該模

型所需原料的質(zhì)量為_______g.

解析：由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6cm和4cm,

故^Btii<)Ht?=1x|x4X6X3=12(cnit).

0乙

又「長方體=6X6X4=144(cm‘)，

所以模型的體積為

VK方體一，拉去的四核怫=144—12=132(cm'),

所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132X0.9=118.8(g).

答案：118.8

2.（2018?蘇州期末）魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古

代建筑中首創(chuàng)的榨卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、

左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°樣卯起

來.若正四棱柱的高為5,底面正方形的邊長為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進

一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為（容器壁的厚度忽略不計，結(jié)果保留

解析：設(shè)球形容器的最小半徑為此則“十字立方體”的24個頂點均在半徑為"的球面

上，所以兩根并排的四棱柱體組成的長方體的八個頂點在這個球面上.球的直徑就是長方體

的體對角線的長度，所以2斤=4?不喬/=，而，得4下=30.從而S球面=4“外=30JT.

答案:3031

3.（2019?啟東中學模擬）把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為"

20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸

點（皮球不變形），則皮球的半徑為cm.

解析：法一：如圖，過點S作SJ吐平面力靦，垂足為連接4仇由題意，可知SM=

S

10^2cm,cm,易發(fā)現(xiàn)點M到每條棱的距離均為10cm,所以/K

點"即球心，球半徑為10cm.IA\

法二：在四棱錐力中，所有棱長均為20cm,

連接4G初交于點0,連接S。，

則SgAO^BgCgDO=10^2cm,

易知點。到48,BC,CD,49的距離均為10cm,

在等腰三角形十S中，/k=S，=10娟cm,必=20cm,

所以。到外的距離rf=10cm,

同理可證。到的SC,劈的距離也為10cm,

所以球心為四棱錐底面4?徵的中心0,

所以皮球的半徑二=10cm.

答案：10

4.（2019?河南模擬）如圖，已知正方體4844的棱長為1,

。為優(yōu)的中點，過點力，P,G的平面截正方體所得的截面為M,則截

面M的面積為一.

解析：如圖，取44,力。的中點分別為尸，G.

連接/凡AP,PC、,GF,PG,仄G,AG,PF.

An

??,尸為4〃的中點，戶為回的中點，G為力〃的中點,

,\/5

：.AF=FQ=AP=PQ=^

PG//CD,AF//DxG,

由題意易知CD//C\D\>

:?PG〃C\D\,

???四邊形為平行四邊形，

：.PCx//IXG,

:.PC」/AF,

，力，P,G,尸四點共面，

???四邊形力陽少為菱形.

??3G=/，PF=/,

截面M的面積S=5G?^=1^3X小=坐

答案:平

5.如圖所示，在直三棱柱中，ACLBC,AC=\,BC=CC、=2,若用平行

于三棱柱464-46C的某一側(cè)面的平面去截此三棱柱，使得到的兩個幾何體

能夠拼接成長方體，則長方體表面積的最小值為.

解析：用過/反的中點且平行于平面8s5的平面截此三棱柱，可

以拼接成一個邊長為2的正方體，其表面積為24；

用過回的中點且平行于平面1%M的平面截此三棱柱，可以拼接成一個長、寬、高

分別為4,1,2的長方體，其表面積為28：

用過44,BR,CG的中點且平行于平面力宛的平面截此三棱柱，可以拼接成一個長、寬、

高分別為4,2,1的長方體，其表面積為28,

因此所求的長方體表面積的最小值為24.

答案：24

6.如圖，在棱長為4的正方體/比》46￡〃中，E,尸分別為棱44,4G上的動點，點G

為正方形尻%'G的中心.則空間四邊形4576在該正方體各個面上的正

投影所構(gòu)成的圖形中，面積的最大值為,人，

解析：四邊形在前、后面的正投影如圖①，當￡與4重合，F(xiàn)

與合重合時，四邊形1防。在前、后面的正投影的面積最大值為12；

四邊形457%在左、右面的正投影如圖②，當匯與4重合，四邊形力牙1。在左、右面的正

投影的面積最大值為8；

四邊形457若在上、下面的正投影如圖③，當尸與〃重合時，四邊形/必1G在上、下面的

正投影的面積最大值為8.綜上所述，所求面積的最大值為12.

答案：12

第二講I大題考法一一平行與垂直

題型（一）

線線、線面位置關(guān)系的證明

平行、垂直關(guān)系的證明是高考的必考內(nèi)容，主要考查線面平行、垂直

的判定定理及性質(zhì)定理的應用，以及平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化等.

［典例感悟］

［例1］（2017?江蘇高考）如圖，在三棱錐力-靦中，ABYAD,BC

LBD,平面/加，平面犯9,點匕尸（￡與4,。不重合）分別在棱BD

上，且“'

求證：（1）夕，〃平面4匕

⑵皿4c

［證明］（1）在平面4砌內(nèi)，因為1必EFLAD,

所以EF//AB.

又因為￡&平面/6C,/8u平面/6G

所以仔〃平面ABC.

⑵因為平面/切上平面BCD,

平面ABDQ平面BCD^BD,

8ct平面融，BCVBD,

所以6cL平面ABD.

因為A上平面ABD,

所以BCLAD.

又AB工AD,BCCAB=B,4代平面四C,止平面四4所以/WJL平面48c

又因為/比平面ABC,

所以ADYAC.

［方法技巧］

立體幾何證明問題的2個注意點

（1）證明立體幾何問題的主要方法是定理法，解題時必須按照定理成立的條件進行推

理.如線面平行的判定定理中要求其中一條直線在平面內(nèi)，另一條直線必須說明它在平面外;

線面垂直的判定定理中要求平面內(nèi)的兩條直線必須是相交直線等，如果定理的條件不完整，

則結(jié)論不一定正確.

（2）證明立體幾何問題，要緊密結(jié)合圖形，有時要利用平面幾何的相關(guān)知識，因此需要多

畫出一些圖形輔助使用.

［演練沖關(guān)］

1.（2018?蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）如圖，在四棱錐P-ABCD中,ZADB

90°,原=繆，點E為棱陽的中點.

（。若PB=PD,求證：PCX.BD-,

（2）求證：CE〃平面PAD.

證明：⑴取劃的中點0,連結(jié)CO,PO,因為CD=CB,所以BDVCO.

因為P4PD,所以BDLPO.

又POCCg0,

所以應LL平面PCO.

因為/在平面女力，所以/TL也

⑵由《為陽中點，連結(jié)￡0,則如〃如，

又￡次平面PAD,Pg平面PAD,

所以口〃平面PAD.

由N/%?=90°,以及BD上CO,所以?！?

又明平面PAD,所以CO〃平面PAD.

又CO^EO=O,所以平面砥）〃平面PAD,

而CEu平面CEO,所以磔〃平面PAD.

2.（2019?江蘇高考）如圖，在直三棱柱/8G48C中，D,￡分別為

BC,/C的中點，AB=BC.

求證：（1）48〃平面〃笫；

⑵陽

證明：（1）因為〃E分型為BC,4C的中點，

所以ED//AB.

在直三棱柱力舐4劣G中，AB"A瓜,

所以4臺〃被

又因為歐:平面〃命，48I平面%'G,

所以48〃平面比G.

⑵因為AB=BC,￡為“'的中點，所以膽L然

因為三棱柱ABC-4劣G是直棱柱，所以GCL平面ABC.

又因為BEu平面ABC,所以GCLBE.

因為GCi=平面44CG,4ct平面4/CG,GCAAC^C,

所以跳上平面AxACQ.

因為G￡t平面44s,所以應'_LG&

題型(二)

兩平面之間位置關(guān)系的證明

考查面面平行和面面垂直，都需要用判定定理，其本質(zhì)是考查線面垂直和平行.

［典例感悟］

［例2］(2019?南京鹽城一模)如圖，在直三棱柱481G中，D,E

分別是棱8GM上的點(其中點2不同于點。，且尸為棱AG上

的點，且4RL8G.

求證：(1)平面ADEL平面BCCB；

(2)4尸〃平面ADE.

［證明］(1)在直三棱柱/跖48C中，CGJ_平面4比:

因為4t平面ABC,所以CGVAD.

又AD1DE,在平面8%由中，CG與小相交,

所以血狀平面BCCB.

又ADc.平面ADE,所以平面/應比平面BCGBx.

(2)在直三棱柱中，被，平面484,

因為4代平面45G,所以如_L4汽

又4436,所以4￡1平面比匕尻

在⑴中已證得1平面BCCB,所以AyF//AI).

又/閃平面/龐，/Wc平面力〃所以4人〃平面49E

［方法技巧］

證明兩平面位置關(guān)系的求解思路

(1)證明面面平行依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即

可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

（2）證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證

明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則

借助中線、高線或添加輔助線解決.

［演練沖關(guān)］

?iQ

（2018?江蘇高考）在平行六面體隊中，旭上以Q.

求證：⑴股〃平面46心

⑵平面/薇4,平面ABC.BC

證明：（1）在平行六面體4比9454"中，

AB//AM.

因為4人平面45C,ABu平面ABC,

所以48〃平面ABC.

（2）在平行六面體ABCD-4844中，

四邊形4初4為平行四邊形.

又因為加尸9

所以四邊形為菱形，

因此

因為BC//BxG,

所以48」8c

因為48nBC=B,A慶平面A、BC,

BCu平面AxBC,

所以仍J_平面A\BC.

因為相u平面ABRA、,

所以平面平面AWC.

題型（三）

空間位置關(guān)系的綜合問題

主要考查空間線面、面面平行或垂直的位置關(guān)系的證明與翻折或存在性問題相結(jié)合的綜

合問題.

［典例感悟］

［例3］如圖1,在矩形4靦中，AB=\,AD=2,￡是口的中點，將△4外■沿四折起,

得到如圖2所示的四棱錐Dy-ABCE,其中平面ZU虹平面ABCE.

(1)證明：平面ZMA

(2)設(shè)尸為勿的中點，在線段4?上是否存在一點M,使得物W平面若存在，求

出勤值；若不存在，請說明理由.

［解］⑴證明：?.?四邊形48(力為矩形且4g應'=%=比'=2,."A跖=24.又4?

=4,:.A代+B^=A百,:"AEB=9Q°,即跳、_L4￡又平面"力反1平面46G5；平面ZU￡D平

面MCE=4E,8Eu平面A8CE,.?.如!平面〃

..AM1.__

(2)—=7＞理由如下：

/\D4

取〃￡的中點￡,連接也，AL,

：.FL//EC,FL=*C=L

又ECHAB,:.FL〃AB,且FL=，AB,

:.M,F,L,4四點共面.若.，監(jiān)力平面力〃色貝心折〃4....四邊形4監(jiān)Z為平行四邊形，

1AM1

：.AM=FL=~AB,即am=不

4AD4

［方法技巧］

與平行、垂直有關(guān)的存在性問題的解題步驟

假設(shè)存在bf植應語詔春宿;余藁山蒞費最拓面.............:

一＞I在假設(shè)條件下進行推理,若能導出與條件吻合的數(shù)；

推梵明T據(jù)或事實，說明假設(shè)成立，即存在;若導出與條陰

色——少■或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果，說明不成立，即不存在；

01;

得出結(jié)論卜回答顯否容癡而面宓：

［演練沖關(guān)］

(2018?全國卷I)如圖，在平行四邊形/比￥中，絲=然=3,/〃￥=90°.以4C為折痕

將折起，使點歷到達點〃的位置，且物.

D\

⑴證明：平面力切，平面板

2

⑵0為線段段上一點，月為線段回上一點，且BP=DQ=QA,求三棱錐鰭的體積.

解：（1）證明：由己知可得，/物C=90°,即用

又因為胡，/〃，ACC\AD=A,

所以481.平面ACD.

因為力氏平面ABC,

所以平面力5_1平面ABC.

⑵由已知可得，DC=CM=AB=3,DA=3y［2.

又BP=D*J）A,所以如2$.

如圖，過點0作處」4G

垂足為E,則QE^DC.

由已知及（1）可得，〃C_L平面/8G

所以Q6J_平面四GQE=\.

因此，三棱錐。｛//的體積為4何＞=：＞＜以必X?！?：＞＜^＞＜3X21^^45°Xl=l.

［課時達標訓練］________________________________________________________________