2022屆廣東省普寧市華美實驗中學高三壓軸卷數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面,對下列四種情形:①x、y、z均為直線;②x、y是直線,z是平面;③z是直線,x、y是平面;④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②2.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.3.已知復數(shù)滿足,且,則()A.3 B. C. D.4.秦九韶是我國南寧時期的數(shù)學家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例.若輸入、的值分別為、,則輸出的值為()A. B. C. D.5.五行學說是華夏民族創(chuàng)造的哲學思想,是華夏文明重要組成部分.古人認為,天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成,如圖,分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素,則2類元素相生的概率為()A. B. C. D.6.設(shè)(是虛數(shù)單位),則()A. B.1 C.2 D.7.橢圓是日常生活中常見的圖形,在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水,將杯體傾斜一個角度,水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米,底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯,且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略不計),在玻璃杯傾斜的過程中(杯中的水不能溢出),杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知函數(shù)的最小正周期為,且滿足,則要得到函數(shù)的圖像,可將函數(shù)的圖像()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度9.阿基米德(公元前287年—公元前212年),偉大的古希臘哲學家、數(shù)學家和物理學家,他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形,為紀念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形,其表面積為,則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A. B. C. D.10.拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A.2+1 B.22+3 C.11.數(shù)列滿足:,,,為其前n項和,則()A.0 B.1 C.3 D.412.已知的展開式中的常數(shù)項為8,則實數(shù)()A.2 B.-2 C.-3 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的最小值為2,則_________.14.設(shè)點P在函數(shù)的圖象上,點Q在函數(shù)的圖象上,則線段PQ長度的最小值為_________15.展開式中,含項的系數(shù)為______.16.,則f(f(2))的值為____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)(某工廠生產(chǎn)零件A,工人甲生產(chǎn)一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分別為,工人乙生產(chǎn)一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分別為.己知生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品零件A給工廠帶來的效益分別為10元、5元、2元.(1)試根據(jù)生產(chǎn)一件零件A給工廠帶來的效益的期望值判斷甲乙技術(shù)的好壞;(2)為鼓勵工人提高技術(shù),工廠進行技術(shù)大賽,最后甲乙兩人進入了決賽.決賽規(guī)則是:每一輪比賽,甲乙各生產(chǎn)一件零件A,如果一方生產(chǎn)的零件A品級優(yōu)干另一方生產(chǎn)的零件,則該方得分1分,另一方得分-1分,如果兩人生產(chǎn)的零件A品級一樣,則兩方都不得分,當一方總分為4分時,比賽結(jié)束,該方獲勝.Pi+4(i=4,3,2,…,4)表示甲總分為i時,最終甲獲勝的概率.①寫出P0,P8的值;②求決賽甲獲勝的概率.18.(12分)在①;②;③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中的橫線上,并解答相應的問題.在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足________________,,求的面積.19.(12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BCC1B1是菱形,AC=BC=2,∠CBB1=,點A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點E.(1)求證:四邊形ACC1A1為矩形;(2)求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù).(1)若是的極值點,求的極大值;(2)求實數(shù)的范圍,使得恒成立.21.(12分)某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個零件,質(zhì)檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格,若較多零件不合格,則需對其余所有零件進行檢查.根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗,這些零件的長度服從正態(tài)分布(單位:微米),且相互獨立.若零件的長度滿足,則認為該零件是合格的,否則該零件不合格.(1)假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為,求及的數(shù)學期望;(2)小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件,若以此頻率作為當天生產(chǎn)零件的不合格率.已知檢查一個零件的成本為10元,而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元.假設(shè)充分大,為了使損失盡量小,小張是否需要檢查其余所有零件,試說明理由.附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則.22.(10分)已知.(1)若的解集為,求的值;(2)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

①舉反例,如直線x、y、z位于正方體的三條共點棱時②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例,如x、y、z位于正方體的三個共點側(cè)面時.【詳解】①當直線x、y、z位于正方體的三條共點棱時,不正確;②因為垂直于同一平面的兩直線平行,正確;③因為垂直于同一直線的兩平面平行,正確;④如x、y、z位于正方體的三個共點側(cè)面時,不正確.故選:C.【點睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系,選擇題一般可通過特殊值法進行排除,屬于簡單題目.2.B【解析】

由題意知,,由,知,由此能求出.【詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.【點睛】本題考查離散型隨機變量的方差的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意二項分布的靈活運用.3.C【解析】

設(shè),則,利用和求得,即可.【詳解】設(shè),則,因為,則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的乘法法則的應用,考查共軛復數(shù)的應用.4.B【解析】

列出循環(huán)的每一步,由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得:輸入,,,;第一次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第三次循環(huán),,,,跳出循環(huán);輸出.故選:B.【點睛】本題考查根據(jù)算法框圖計算輸出值,一般要列舉出算法的每一步,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個的所有結(jié)果共10種,其中2類元素相生的結(jié)果有5種,再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果,其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果,所以2類元素相生的概率為,故選A.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時,找準基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.6.A【解析】

先利用復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則求出,即可根據(jù)復數(shù)的模計算公式求出.【詳解】∵,∴.故選:A.【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則的應用,以及復數(shù)的模計算公式的應用,屬于容易題.7.C【解析】

根據(jù)題意可知當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時,水面邊界所形成橢圓的離心率最大,由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時橢圓的離心率,進而確定離心率的取值范圍.【詳解】當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時,水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時橢圓長軸長為,短軸長為6,所以橢圓離心率,所以.故選:C【點睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡單應用,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】

依題意可得,且是的一條對稱軸,即可求出的值,再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計算可得;【詳解】解:由已知得,是的一條對稱軸,且使取得最值,則,,,,故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的變換規(guī)則,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結(jié)合題中的結(jié)論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為,所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.10.A【解析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點P的坐標和雙曲線的半焦距c的值,再利用雙曲線的定義可求得a的值,即可求得離心率.【詳解】由題意知,拋物線焦點F1,0,準線與x軸交點F'(-1,0),雙曲線半焦距c=1,設(shè)點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形,即PF所以PQ⊥拋物線的準線,從而PF⊥x軸,所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合,分析題目,畫出圖像,熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.11.D【解析】

用去換中的n,得,相加即可找到數(shù)列的周期,再利用計算.【詳解】由已知,①,所以②,①+②,得,從而,數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應用,在求時,先算出一個周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.12.A【解析】

先求的展開式,再分類分析中用哪一項與相乘,將所有結(jié)果為常數(shù)的相加,即為展開式的常數(shù)項,從而求出的值.【詳解】展開式的通項為,當取2時,常數(shù)項為,當取時,常數(shù)項為由題知,則.故選:A.【點睛】本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問題,其中對所取的項要進行分類討論,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

首先利用絕對值的意義去掉絕對值符號,之后再結(jié)合后邊的函數(shù)解析式,對照函數(shù)值等于2的時候?qū)淖宰兞康闹?,從而得到分段函?shù)的分界點,從而得到相應的等量關(guān)系式,求得參數(shù)的值.【詳解】根據(jù)題意可知,可以發(fā)現(xiàn)當或時是分界點,結(jié)合函數(shù)的解析式,可以判斷0不可能,所以只能是是分界點,故,解得,故答案是.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)最值的求解等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14.【解析】

由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,則點到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導函數(shù)即可求得最值.【詳解】由題,因為與互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,設(shè)點為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當時,,即單調(diào)遞減;當時,,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應用,考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的最值問題.15.2【解析】

變換得到,展開式的通項為,計算得到答案.【詳解】,的展開式的通項為:.含項的系數(shù)為:.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理的應用,意在考查學生的計算能力和應用能力.16.1【解析】

先求f(1),再根據(jù)f(1)值所在區(qū)間求f(f(1)).【詳解】由題意,f(1)=log3(11–1)=1,故f(f(1))=f(1)=1×e1–1=1,故答案為:1.【點睛】本題考查分段函數(shù)求值,考查對應性以及基本求解能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)乙的技術(shù)更好,見解析(2)①,;②【解析】

(1)列出分布列,求出期望,比較大小即可;(2)①直接根據(jù)概率的意義可得P0,P8;②設(shè)每輪比賽甲得分為,求出每輪比賽甲得1分的概率,甲得0分的概率,甲得分的概率,可的,可推出是等差數(shù)列,根據(jù)可得答案.【詳解】(1)記甲乙各生產(chǎn)一件零件給工廠帶來的效益分別為元、元,隨機變量,的分布列分別為10521052所以,,所以,即乙的技術(shù)更好(2)①表示的是甲得分時,甲最終獲勝的概率,所以,表示的是甲得4分時,甲最終獲勝的概率,所以;②設(shè)每輪比賽甲得分為,則每輪比賽甲得1分的概率,甲得0分的概率,甲得分的概率,所以甲得時,最終獲勝有以下三種情況:(1)下一輪得1分并最終獲勝,概率為;(2)下一輪得0分并最終獲勝,概率為;(3)下一輪得分并最終獲勝,概率為;所以,所以是等差數(shù)列,則,即決賽甲獲勝的概率是.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列和期望,考查數(shù)列遞推關(guān)系的應用,是一道難度較大的題目.18.橫線處任填一個都可以,面積為.【解析】

無論選哪一個,都先由正弦定理化邊為角后,由誘導公式,展開后,可求得角,再由余弦定理求得,從而易求得三角形面積.【詳解】在橫線上填寫“”.解:由正弦定理,得.由,得.由,得.所以.又(若,則這與矛盾),所以.又,得.由余弦定理及,得,即.將代入,解得.所以.在橫線上填寫“”.解:由及正弦定理,得.又,所以有.因為,所以.從而有.又,所以由余弦定理及,得即.將代入,解得.所以.在橫線上填寫“”解:由正弦定理,得.由,得,所以由二倍角公式,得.由,得,所以.所以,即.由余弦定理及,得.即.將代入,解得.所以.【點睛】本題考查三角形面積公式,考查正弦定理、余弦定理,兩角和的正弦公式等,正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換,求三角形面積時,①若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值),結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積,代入公式求面積;②若已知三角形的三邊,可先求其一個角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面積,總之,結(jié)合圖形恰當選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.19.(1)見解析(2)【解析】

(1)通過勾股定理得出,又,進而可得平面,則可得到,問題得證;(2)如圖,以為原點,,,所在直線分別為軸,軸,軸,求出平面的法向量和平面的法向量,利用空間向量的夾角公式可得答案.【詳解】(1)因為平面,所以,又因為,,,所以,因此,所以,因此平面,所以,從而,又四邊形為平行四邊形,則四邊形為矩形;(2)如圖,以為原點,,,所在直線分別為軸,軸,軸,所以,平面的法向量,設(shè)平面的法向量,由,由,令,即,所以,,所以,所求二面角的余弦值是.【點睛】本題考查空間垂直關(guān)系的證明,考查向量法求二面角的大小,考查學生計算能力,是中檔題.20.(1).(2)【解析】

(1)先對函數(shù)求導,結(jié)合極值存在的條件可求t,然后結(jié)合導數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性,進而可求極大值;(2)由已知代入可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,結(jié)合導數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】(1),x>0,由題意可得,0,解可得t=﹣4,∴,易得,當x>2,0<x<1時,f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,當1<x<2時,f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,故當x=1時,函數(shù)取得極大值f(1)=﹣3;(2)由f(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx+2≥2在x>0時恒成立可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時恒成立,令g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,則,(i)當t≥0時,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(1)=t﹣1≥0,解可得t

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