7.1復(fù)數(shù)的概念與7.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算高一下學(xué)期數(shù)學(xué)暑假作業(yè)（知識回顧基礎(chǔ)訓(xùn)練提升訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練）（人教2019A版專用）原卷版

7.1復(fù)數(shù)的概念與7.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算（人教2019A版專用）目錄目錄【知識回顧】 2【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 5【提升訓(xùn)練】 7【培優(yōu)訓(xùn)練】 10知識回顧知識回顧1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.(2)復(fù)數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.2.復(fù)數(shù)的分類(1)設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R).①z為實(shí)數(shù)?b＝0，②z為虛數(shù)?b≠0，③z為純虛數(shù)?a＝0且b≠0.(2)集合表示：3.復(fù)數(shù)相等設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R).則z1＝z2?a＝c且b＝d.4.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系(1)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.(2)實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).(3)復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.5.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi，連接OZ，顯然向量eq\o(OZ,\s\up6(→))由點(diǎn)Z唯一確定；反過來，點(diǎn)Z(相對于原點(diǎn)來說)也可以由向量eq\o(OZ,\s\up6(→))唯一確定.6.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)(1)復(fù)數(shù)的模①定義：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對值.②記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記為|z|或|a＋bi|.③公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于|a|(a的絕對值).(2)共軛復(fù)數(shù)一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq\o(z,\s\up6(－))__表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi.7.復(fù)數(shù)的加法法則(1)運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)加法的幾何意義兩個(gè)向量eq\o(OZ,\s\up6(→))1與eq\o(OZ,\s\up6(→))2的和就是與復(fù)數(shù)(a＋c)＋(b＋d)i對應(yīng)的向量，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行.如圖，復(fù)數(shù)z1＋z2是以eq\o(OZ,\s\up6(→))1，eq\o(OZ,\s\up6(→))2為鄰邊的平行四邊形的對角線eq\o(OZ,\s\up6(→))所對應(yīng)的復(fù)數(shù).(3)加法運(yùn)算律對任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).8.復(fù)數(shù)的減法法則(1)運(yùn)算法則復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算；設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義如圖，復(fù)數(shù)z1－z2是從向量eq\o(OZ,\s\up6(→))2的終點(diǎn)指向向量eq\o(OZ,\s\up6(→))1的終點(diǎn)的向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所對應(yīng)的復(fù)數(shù).9.復(fù)數(shù)的乘法及其運(yùn)算律(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝z2·z1結(jié)合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z310.復(fù)數(shù)的除法法則(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.基礎(chǔ)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（2024·黑龍江·三模）若，則的虛部為（

）A． B．1 C．3 D．2．（2024·遼寧大連·二模）設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（

）A．充分必要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024·貴州畢節(jié)·三模）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．255．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．6．（2024·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C．10 D．7．（2024·山東臨沂·二模）已知為虛數(shù)單位，，則（

）A． B． C． D．8．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知，為實(shí)數(shù)，（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．（2024·河南·二模）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的實(shí)部為B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C．D．10．（2024·福建寧德·三模）已知是兩個(gè)復(fù)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若為實(shí)數(shù)，則C．若均為純虛數(shù)，則為實(shí)數(shù) D．若為實(shí)數(shù)，則均為純虛數(shù)11．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù)，，則（

）A．的虛部為B．的共軛復(fù)數(shù)為C．D．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)12．（2024·河北唐山·二模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為．13．（2024·廣東汕頭·二模）寫出一個(gè)滿足，且的復(fù)數(shù)，.14．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為.四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15.(13分)（2021·湖南株洲·二模）已知復(fù)數(shù)，滿足，其中i為虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù).（1）求的值；（2）求.16.(15分)（2223高一下·天津河?xùn)|·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù).(1)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)；(2)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)位于第四象限.17.(15分)（2223高三·全國·對口高考）已知復(fù)數(shù)（a，），存在實(shí)數(shù)t，使成立.(1)求證：為定值；(2)若，求a的取值范圍．18.(17分)（2223高二下·陜西渭南·期末）計(jì)算下列各式的值：(1)已知是虛數(shù)單位，若，求的值；(2)設(shè)是虛數(shù)單位），其中是實(shí)數(shù)，求.19.(17分)（2223高一下·福建三明·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù).(1)若，求的值；(2)，，求.提升訓(xùn)練提升訓(xùn)練一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（2024·廣東汕頭·一模）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，下列命題是真命題的為（

）A．若，則是純虛數(shù)B．若，則是純虛數(shù)C．若，則且D．若、為虛數(shù)，則2．（2024·安徽·三模）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2024·河北邢臺·二模）若，則的虛部為（

）A． B． C． D．5．（2324高三上·河北廊坊·期末）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（

）A．1 B．0 C．1 D．26．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．7．（2024·安徽·模擬預(yù)測）若為虛數(shù)單位，，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．8．（2023·黑龍江佳木斯·三模）復(fù)數(shù)的虛部是（

）A．1012 B．1011 C． D．二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．（2024·全國·三模）一般地，對于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，），在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，經(jīng)過點(diǎn)的終邊的對應(yīng)角為，則根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，因此，我們稱此種形式為復(fù)數(shù)的三角形式，r稱為復(fù)數(shù)z的模，稱為復(fù)數(shù)z的輻角.為使所研究的問題有唯一的結(jié)果，我們規(guī)定，適合的輻角的值叫做輻角的主值.已知復(fù)數(shù)z滿足，，為z的實(shí)部，為z的輻角的主值，則（

）A．的最大值為B．的最小值為C．D．10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是兩個(gè)虛數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則與均為實(shí)數(shù) B．若與均為實(shí)數(shù)，則C．若均為純虛數(shù)，則為實(shí)數(shù) D．若為實(shí)數(shù)，則均為純虛數(shù)11．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）歐拉公式（e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.若在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于x的方程（a，）的兩根為，，其中，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半圓三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)12．（2024·貴州遵義·一模）已知復(fù)數(shù)，，則的最小值為．13．（2024·廣東廣州·二模）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，則．14．（2023·河南安陽·模擬預(yù)測）若為虛數(shù)單位，則計(jì)算．四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15.(13分)（2021·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（），且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.(15分)（2324高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，求面積的取值范圍．17.(15分)（2223高三上·河南商丘·階段練習(xí)）已知虛數(shù)z滿足.(1)求z；(2)若z的虛部為正數(shù)，比較與的大小.18.(17分)（2324高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，且．(1)求m的值；(2)若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，求該一元二次方程的另一復(fù)數(shù)根．19.(17分)（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測）已知關(guān)于得二次方程：.(1)當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；(2)求方程實(shí)數(shù)根的取值范圍.培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（16671754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則.設(shè)，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．02．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（）A．i B．7i C．5i D．5i3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別為3，2，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，（是的共軛復(fù)數(shù)），則（

）．A． B． C． D．5．（2223高一·全國·課后作業(yè)）歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式可知，下面結(jié)論中正確的是（

）．A．；B．；C．；D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．6．（2022·上海奉賢·一模）復(fù)數(shù)的模為1，其中為虛數(shù)單位，，則這樣的一共有（

）個(gè).A．9 B．10 C．11 D．無數(shù)7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，則（

）A．2022 B．2023 C． D．8．（2122高三上·浙江寧波·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，若，則正整數(shù)k的值是（

）A．8 B．12 C．16 D．20二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．（2024·重慶·三模）已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A． B．的最小值為2C． D．的最大值為10．（2022·福建莆田·模擬預(yù)測）意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（Cardano.Girolamo，15011576）發(fā)明了三次方程的代數(shù)解法.17世紀(jì)人們把卡爾達(dá)諾的解法推廣并整理為四個(gè)步驟：第一步，把方程中的用來替換，得到方程；第二步，利用公式將因式分解；第三步，求得，的一組值，得到方程的三個(gè)根：，，（其中，為虛數(shù)單位）；第四步，寫出方程的根：，，.某同學(xué)利用上述方法解方程時(shí)，得到的一個(gè)值：，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．11．（2324高三上·遼寧·開學(xué)考試）設(shè)復(fù)數(shù)，且,其中為確定的復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（

）.A．若，則是實(shí)數(shù)B．若，則存在唯一實(shí)數(shù)對使得C．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是射線D．若，則三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)12．（2223高二上·上海嘉定·期中）已知集合（其中為虛數(shù)單位），則滿足條件的集合M的個(gè)數(shù)為.13．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中a、，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．根據(jù)以上信息，若，時(shí)，則；對于，．14．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）如果復(fù)數(shù)，，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，，復(fù)數(shù)z滿足，且，則的最大值為.四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15.(13分)（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）歐拉（17071783），他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來，兩個(gè)超越數(shù)——自然對數(shù)的底數(shù)，圓周率，兩個(gè)單位——虛數(shù)單位和自然數(shù)單位，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的，數(shù)學(xué)家評價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請你根據(jù)歐拉公式：，解決以下問題：(1)將復(fù)數(shù)表示成（，為虛數(shù)單位）的形式；(2)求的最大值；(3)若，則，這里，稱為的一個(gè)次單位根，簡稱單位根．類比立方差公式，我們可以獲得，復(fù)數(shù)，，求的值．16.(15分)（2024·河南鄭州·三模）復(fù)數(shù)除了代數(shù)形式之外，還有兩種形式，分別是三角形式和指數(shù)形式，著名的歐拉公式體現(xiàn)了兩種形式之間的聯(lián)系．利用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行乘法運(yùn)算，我們可以定義旋轉(zhuǎn)變換．根據(jù)，我們定義：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，將任一點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的變換稱為旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換．設(shè)點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)角是的旋