天津市濱海新區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE19-濱海新區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)一．選擇題（共12小題）1.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】干脆利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算．【詳解】．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法，采納分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，是基礎(chǔ)題．2.“，”的否定是().A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】“?x∈M，p（x）”的否定為“?x∈M，￢p（x）”．【詳解】依題意，“?x∈（2，+∞），x2﹣2x＞0”的否定是：，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題的否定，要留意命題的否定和否命題的區(qū)分．本題屬于基礎(chǔ)題．3.若，且，則下列結(jié)論肯定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，即可選出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，，錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.若不等式不成立，只需舉出一個(gè)反例說(shuō)明即可.此類題型常用舉出反例和目標(biāo)分析法來(lái)做題.4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則()A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】試題分析：假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】5.已知等比數(shù)列中，，且，那么=（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】A【解析】【分析】先求出公比，再依據(jù)求和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，且，，即，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公細(xì)致算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從其次天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人第四天走的路程為（）A.3里 B.6里 C.12里 D.24里【答案】D【解析】【詳解】設(shè)第一天走里,則是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得(里)，∴(里).故選D.7.已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為10，則該雙曲線的漸近線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，求出，即可求出該雙曲線的漸近線的斜率.【詳解】由題意，，所以，，所以雙曲線的漸近線的斜率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.“是與的等差中項(xiàng)”是“是與的等比中項(xiàng)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的定義，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行推斷即可．【詳解】若是與的等差中項(xiàng)，則，若是與的等比中項(xiàng)，則，則“是與的等差中項(xiàng)”是“是與的等比中項(xiàng)”的充分不必要條件，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的推斷，結(jié)合等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的定義求出的值是解決本題的關(guān)鍵．9.若正數(shù)滿意，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由得到，推出，依據(jù)基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿意，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查由基本不等式求最值，熟記基本不等式即可，屬于?？碱}型.10.已知雙曲線的離心率為，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線，即得，再由離心率公式和，可得，，即可得到雙曲線方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，則有雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，即，由，可得，則，即雙曲線方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，運(yùn)用離心率公式和，，的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11.若，，，則的最小值為（）A.8 B.7 C.6 D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，由基本不等式可得，留意等號(hào)成立的條件即可.【詳解】由，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)．且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)和關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，雙曲線的實(shí)半軸為，半焦距為，由橢圓和雙曲線的定義可知，設(shè)，，，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，因是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則由余弦定理可得：……①在橢圓中，由定義知，①式化簡(jiǎn)為：……②在雙曲線中，由定義知，①式化簡(jiǎn)為：……③由②③兩式消去得：，等式兩邊同除得，即，由柯西不等式得，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．二．填空題（共8小題）13.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則_______．【答案】2【解析】【分析】由已知干脆利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.14.已知直線與平面垂直，直線的一個(gè)方向向量為，向量與平面平行，則等于________．【答案】—9【解析】【分析】由題意可得：，即，即可得出的值.【詳解】由題意得：，即，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系、方程思想方法，推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.不等式的解集為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解即可．【詳解】依題意，不等式等價(jià)于，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法，主要考查計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知數(shù)列滿意，，則_________【答案】8【解析】【分析】由遞推關(guān)系分別計(jì)算即可.【詳解】故答案為8.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系，求數(shù)列的項(xiàng)，是基礎(chǔ)題.17.正方體中，點(diǎn)是中點(diǎn)，求與所成角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得到答案.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，，設(shè)直線與直線所成角為，則，所以直線與直線所成角的余弦值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要細(xì)致審題，留意向量法的合理運(yùn)用．18.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)2，則_____，直線的方程為_(kāi)_____．【答案】(1).2(2).【解析】【分析】依據(jù)拋物線的焦點(diǎn)可得的值，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可得到直線方程.【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)，則，所以，所以拋物線方程為，設(shè)，，則，直線的方程為，聯(lián)立，消去整理得：，由韋達(dá)定理得：，即，所以直線的方程為.故答案為：2，.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線基本概念的駕馭，以及解析幾何的計(jì)算實(shí)力，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19.已知，使等式成立的實(shí)數(shù)的取值集合為，不等式的解集為，若是的必要條件，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合一元二次函數(shù)求出集合，再求出集合，利用必要條件建立不等關(guān)系探討即可.【詳解】由題意，，使等式成立的實(shí)數(shù)的取值集合為，，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為，，即，若是的必要條件，則，當(dāng)，即時(shí)，，則，即，當(dāng)，即時(shí)，，則，即，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，不滿意題中條件，綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解，集合之間包含關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類探討思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20.給出下列四個(gè)命題①已知為橢圓上隨意一點(diǎn)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是8；②已知是雙曲線上隨意一點(diǎn)，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則；③已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，，，兩點(diǎn)，則；④橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)動(dòng)身的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)，是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，若靜放在點(diǎn)的小球（小球的半徑忽視不計(jì)）從點(diǎn)沿直線動(dòng)身則經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程恰好是．其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_（請(qǐng)將全部正確命題的序號(hào)都填上）【答案】②③【解析】【分析】①求得橢圓中的，，的周長(zhǎng)為：，即可推斷；②求得雙曲線中的，，，探討在雙曲線的左支或右支上，求得最小值，即可推斷；③設(shè)出直線的方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可推斷；④可假設(shè)長(zhǎng)軸在，短軸在軸，對(duì)球的運(yùn)動(dòng)方向沿軸向左直線運(yùn)動(dòng)，沿軸向右直線運(yùn)動(dòng)，以及球不沿軸運(yùn)動(dòng)，探討即可.【詳解】①由橢圓方程，得，，因?yàn)闄E圓上隨意一點(diǎn)，由橢圓定義知，的周長(zhǎng)為，故①錯(cuò)誤；②已知是雙曲線上隨意一點(diǎn)，且，，是雙曲線的右焦點(diǎn)，若在雙曲線左支上，則，若在雙曲線右支上，則，故②正確；③直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)其方程為，，，將直線代入拋物線的方程可得，由韋達(dá)定理可得，又，則，故③正確；④假設(shè)長(zhǎng)軸在，短軸在軸，設(shè)為左焦點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，以下分為三種狀況：i．球從沿軸向左直線運(yùn)動(dòng)，遇到左頂點(diǎn)必定原路反彈，這時(shí)第一次回到路程是；ii．球從沿軸向右直線運(yùn)動(dòng)，遇到右頂點(diǎn)必定原路反彈，這時(shí)第一次回到路程是；iii．球從不沿軸斜向上（或向下）運(yùn)動(dòng)，遇到橢圓上的點(diǎn)，反彈后經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，再?gòu)椀綑E圓上一點(diǎn)，經(jīng)反彈后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程是；綜上所述：從點(diǎn)沿直線動(dòng)身，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是或或.故④錯(cuò)誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查分類探討思想方法和化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．三．解答題（共4小題）21.已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)公式；運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，可得，，再由裂項(xiàng)相消求和，可得所求和．【詳解】解：公差d不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，可得，且，，成等比數(shù)列，可得，即，解得，，則；，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算實(shí)力，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．22.如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，O為AD中點(diǎn)，AB=1，AD=2，AC=CD=.（1）證明：直線AB∥平面PCO；（2）求二面角P－CD－A的余弦值；（3）在棱PB上是否存在點(diǎn)N，使AN⊥平面PCD，若存在，求線段BN的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】分析】（1）依據(jù)條件AC=CD可得，又AB⊥AD，所以AB∥CO，然后依據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PCD和平面ABCD的法向量，依據(jù)兩向量的夾角求解可得所求余弦值；（3）假設(shè)存在點(diǎn)N滿意條件，設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，依據(jù)直線AN的方向向量和平面PCD的法向量平行可得結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)锳C=CD，O為AD中點(diǎn)，所以．又AB⊥AD，所以AB∥CO，又AB平面PCO，CO平面PCO，所以AB∥平面PCO．（2）因?yàn)镻A=PD，所以PO⊥AD.又因?yàn)镻O平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)镃O平面ABCD，所以PO⊥CO.因?yàn)锳C=CD，所以CO⊥AD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O－.則A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，1）.設(shè)平面PCD的法向量為，則，得'令z=2，則．又平面ABCD的法向量為=（0，0，1），所以.由圖形得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．（3）假設(shè)存在點(diǎn)N是棱PB上一點(diǎn)，使得AN⊥平面PCD，則存在∈[0，1]使得，因此.由（2）得平面PCD的法向量為.因?yàn)锳N⊥平面PCD，所以∥，即.解得=∈[0，1]，所以存在點(diǎn)N是棱PB上一點(diǎn)，使AN⊥平面PCD，此時(shí)=.【點(diǎn)睛】（1）用向量法求二面角時(shí)，先求出兩平面法向量的夾角，再通過(guò)視察圖形得到二面角為銳角還是鈍角，最終才能得到結(jié)論．（2）解決立體幾何中的探究性問(wèn)題時(shí)，一般先假設(shè)存在滿意條件的元素（點(diǎn)或線），然后以此作為條件進(jìn)行推理，看能否得到?jīng)_突，若得到?jīng)_突，則假設(shè)不成立；若得不到?jīng)_突，則假設(shè)成立．23.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)整理可得所求通項(xiàng)公式；（2）求得，利用數(shù)列求和公式：分組求和法，錯(cuò)位相減法，即可得到答案.【詳解】解：（1）由，得．當(dāng)時(shí)，．適合上式，；（2），設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則設(shè)……①則……②①-②得：．所以；則【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的與前項(xiàng)的和的關(guān)系與求和公式、分組求和方法，錯(cuò)位相減法，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，離心率為．（1）求a，b的值．（2）設(shè)P是橢圓C長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)．（ⅰ）若k＝1，求△OAB面積的最大值；（ⅱ）若PA2＋PB2的值與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，求k的值．【答案】（1）＋y2＝1．（2）（?。﹎＝±時(shí)，S△OAB取得最大值1．（ⅱ）±.【解析】試題分析：（1）由橢圓幾何條件知上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即a＝2，又e，所以c＝，故b＝1．（2）（ⅰ）求△OAB面積的最大值，關(guān)鍵建立其函數(shù)關(guān)系式，這要用到點(diǎn)到直線距離公式來(lái)求高，利用兩點(diǎn)間距離公式來(lái)求底邊邊長(zhǎng)：設(shè)點(diǎn)P（m，0）（－2≤m≤2），直線l的方程為y＝x－m．則可求得∣AB|＝