安徽省六安中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理含解析

PAGE16-安徽省六安中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理（含解析）一、單選題（每小題5分，共60分）1.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿意（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，再令代入導(dǎo)函數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因此.故選：C.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題型.2.計算=（）A.1 B.-1 C. D.0【答案】D【解析】【分析】利用微積分基本定理求得定積分的值.【詳解】解：，故選：D【點睛】此題考查定積分的計算，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)隨機變量的分布列為，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由隨機變量的分布列的性質(zhì)得，從而得到，由此能求出．【詳解】∵隨機變量的分布列為，∴，解得，∴．故選：D．【點睛】本題考查概率的求法，解題時要仔細審題，留意離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)的合理運用，屬于基礎(chǔ)題．4.在的綻開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則綻開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.7【答案】D【解析】【分析】由條件可得，然后寫出綻開式的通項，令的次數(shù)為5，即可得出答案.【詳解】因為在的綻開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大所以所以的綻開式的通項為令，得所以綻開式中的系數(shù)為故選：D【點睛】本題考查的是二項式的相關(guān)學(xué)問，精確的寫出綻開式的通項是解題的關(guān)鍵.5.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，若函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由表示函數(shù)單調(diào)遞增，依據(jù)函數(shù)圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】因為時，函數(shù)單調(diào)遞增，由圖像可得：當時，函數(shù)單調(diào)遞增，因此的解集為.故選：A.【點睛】本題主要考查由函數(shù)圖像確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，熟記導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖像之間關(guān)系即可，屬于基礎(chǔ)題型.6.某人連續(xù)投籃5次，其中3次命中，2次未命中，則他第2次，第3次兩次均命中的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】基本領(lǐng)件總數(shù)，他第2次，第3次兩次均命中包含的基本領(lǐng)件個數(shù)，由此能求出他第2次，第3次兩次均命中的概率，得到答案．【詳解】由題意某人連續(xù)投籃5次，其中3次命中，2次未命中，因為基本領(lǐng)件總數(shù)，他第2次，第3次兩次均命中包含的基本領(lǐng)件個數(shù)，所以他第2次，第3次兩次均命中的概率是．故選A．【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，以及排列、組合等學(xué)問的應(yīng)用，其中解答中依據(jù)排列、組合求得基本領(lǐng)件的總數(shù)和第2次、第3次兩次均命中所包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎(chǔ)題．7.依據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計,某酒店一商務(wù)房間1天有客人入住的概率為，連續(xù)2天有客人入住的概率為,在該房間第一天有客人入住的條件下,其次天也有客人入住的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先設(shè)出所求的概率為P，依據(jù)題中的條件，可以列出P所滿意的等量關(guān)系式，從而求得相應(yīng)的結(jié)果.【詳解】設(shè)其次天也有客人入住的概率為P，依據(jù)題意有，解得，故選D.【點睛】該題考查的是有關(guān)兩個事務(wù)同時發(fā)生的概率問題，也可以看做是有關(guān)條件概率的問題，在解題的過程中，須要正確應(yīng)用公式求得結(jié)果.8.若點P是函數(shù)上隨意一點，則點P到直線的最小距離為()A. B. C. D.3【答案】A【解析】分析：由題意知，當曲線上過點P的切線和直線x﹣y﹣2=0平行時，點P到直線x﹣y﹣2=0的距離最小，求出曲線對應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得切點的坐標，此切點到直線x﹣y﹣2=0的距離即為所求．詳解：點P是曲線f（x）=x2﹣lnx上隨意一點，當過點P切線和直線x﹣y﹣2=0平行時，點P到直線x﹣y﹣2=0的距離最?。本€x﹣y﹣2=0的斜率等于1，由f（x）=x2﹣lnx，得f′（x）=2x﹣=1，解得：x=1，或x=﹣（舍去），故曲線f（x）=x2﹣lnx上和直線x﹣y﹣2=0平行的切線經(jīng)過的切點坐標（1，1），點（1，1）到直線x﹣y﹣2=0的距離等于，故點P到直線x﹣y﹣2=0的最小距離為．故選A．點睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．9.從數(shù)字1，2，3，4，5中任取三個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個三位數(shù)大于400的概率是()．A.2/5 B.2/3 C.2/7 D.3/4【答案】A【解析】【分析】先求出總的三位數(shù)個數(shù)為,再求出這個三位數(shù)大于400的個數(shù)為,再利用古典概型求概率.【詳解】由題得總的三位數(shù)個數(shù)為,這個三位數(shù)大于400的個數(shù)為,所以由古典概型概率得故答案為A【點睛】(1)本題主要考查古典概型，考查排列組合綜合問題，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的駕馭水平和分析推理實力.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗的總的基本領(lǐng)件數(shù)；②求出事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件數(shù)；③代公式=.10.甲、乙、丙、丁四個人去旅游，可供選擇的景點有3個，每人只能選擇一個景點且甲、乙不能同去一個景點，則不同的選擇方案的種數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】優(yōu)先排甲、乙，在排丙丁即可．【詳解】每人只能選擇一個景點且甲、乙不能同去一個景點，甲有3種，乙有兩種，丙、丁各有3種，共54種．故選A【點睛】排數(shù)問題一般采納分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，先分類后分步，特別元素優(yōu)先考慮．11.設(shè)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿意，對隨意的正實數(shù)，下列不等式恒成立的是A.； B.；C.； D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，則，∵，，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．隨意正實數(shù)，滿意，（a），即，∴故選：B．【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的推斷和應(yīng)用，依據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．12.已知函數(shù),若在時總成立，則實數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，令，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖像，依據(jù)表示的幾何意義，得到的取值范圍.【詳解】，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增令，則函數(shù)與函數(shù)在的圖像如下圖所示，則函數(shù)在處的切線的斜率為因為表示一次函數(shù)的斜率，要使得在時總成立則故選：A【點睛】本題主要考查了函數(shù)不等式的恒成立來求參數(shù)范圍，屬于中檔題.二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)，P為函數(shù)圖象上的一點，則過P點的切線的斜率取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】假設(shè)點，然后計算，最終依據(jù)正弦函數(shù)的值域可得結(jié)果.【詳解】設(shè)函數(shù)圖象上隨意一點由，則所以，因為，所以，可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增所以過P點的切線的斜率的取值范圍為故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確的理解函數(shù)在某點處的幾何意義，以及凸函數(shù)中過某點的切線即在某點處的切弦（該點在曲線上），屬基礎(chǔ)題.14.小芳、小明兩人進行射擊競賽，每人擊中目標的概率為，規(guī)則如下：若擊中目標，則由原射擊人接著射擊；若未擊中目標，則由對方接著射擊．規(guī)定第1次從小明起先，則前4次射擊中小明恰好射擊2次的概率為______．【答案】【解析】【分析】將題目分為射擊第一次和其次次，第一次和第三次，第一次和第四次三種狀況，計算得到答案.【詳解】前4次射擊中小明恰好射擊2次的狀況有：第一次和其次次，第一次和第三次，第一次和第四次，故．故答案為：.【點睛】本題考查了概率的計算，意在考查學(xué)生的計算實力和應(yīng)用實力.15.某一批花生種子，假如每粒發(fā)芽概率為，那么播下粒種子至多有粒未發(fā)芽的概率是__________．（請用分數(shù)表示結(jié)果）【答案】【解析】【分析】利用獨立重復(fù)試驗的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】播下粒種子至多有粒未發(fā)芽包含：①粒未發(fā)芽；②粒都發(fā)芽.因此，所求概率為.故答案為：.【點睛】本題考查利用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算概率，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖一個正方形花圃被分成5份．若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，己知現(xiàn)有紅、黃、藍、綠4種顏色不同的花，則不同的種植方法有_________種【答案】72【解析】【分析】先對部分種植，再對部分種植，對部分種植進行分類：①若與相同，②若與不同進行探討即可【詳解】先對部分種植，有4種不同的種植方法；再對部分種植，又3種不同的種植方法；對部分種植進行分類：①若與相同，有2種不同的種植方法，有2種不同的種植方法，共有（種），②若與不同，有2種不同的種植方法，有1種不同的種植方法，有1種不同的種植方法，共有（種），綜上所述，共有72種種植方法．故答案為：72.【點睛】本題考查排列與組合的應(yīng)用，屬于涂色類的問題，考查學(xué)生邏輯推理實力，是一道簡潔題三、解答題17.已知函數(shù)，求在內(nèi)的最值．【答案】；【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，推斷其單調(diào)性，計算端點值與極值，即可得出最值.【詳解】因為，所以，由得或；由得；∴在和內(nèi)單調(diào)遞增；在內(nèi)單調(diào)遞減；又∵，，，，∴；.【點睛】本題考點導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)的最值，屬于?？碱}型.18.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每一件一等品都能通過檢測，每一件二等品通過檢測的概率為．現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件是一等品，4件是二等品．（1）隨機選取1件產(chǎn)品，求能夠通過檢測的概率；（2）隨機選取3件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列．【答案】（1）；（2）答案見解析．【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)隨機選取一件產(chǎn)品，能夠通過檢測的事務(wù)為A，依據(jù)事務(wù)A包含的狀況以及互斥事務(wù)的概率公式可到結(jié)果；（II）由題意知的可能取值是0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事務(wù)和等可能事務(wù)的概率，寫出變量的概率，寫出分布列；【詳解】（Ⅰ）設(shè)隨機選取一件產(chǎn)品，能夠通過檢測的事務(wù)為A所以隨機選取3件產(chǎn)品，至少有一件通過檢測的概率為．（Ⅱ）由題可知可能取值為．，，，．則隨機變量的分布列為0123【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列，考查等可能事務(wù)的概率，屬基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，求的值；（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，再依據(jù)在處的切線斜率可得到參數(shù)的值，然后代入，求出的值，則即可得出；（2）依據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，可得，即恒成立，再進行參變分別，構(gòu)造函數(shù)，對進行求導(dǎo)分析，找出最小值，即實數(shù)的最大值．【詳解】解：（1）由題意，函數(shù).故，則，由題意，知，即.又，則.，即..（2）由題意，可知，即恒成立，恒成立.設(shè)，則.令，解得令，解得.令，解得x.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得微小值..，故的最大值為.【點睛】本題主要考查利用某點處的一階導(dǎo)數(shù)分析得出參數(shù)的值，參變量分別方法的應(yīng)用，不等式的計算實力．本題屬中檔題．20.某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生8名，外科醫(yī)生6名，現(xiàn)選派4名參與抗擊新冠肺炎疫情醫(yī)療隊，其中（1）甲、乙兩人至少有一人參與，有多少種選法？（2）隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？【答案】（1）506；（2）916.【解析】【分析】（1）先求總的從14名醫(yī)生中選派4名的可能數(shù)，再求不滿意條件甲、乙兩人都沒被選派的可能數(shù)，相減得答案；（2）將全部狀況分為1名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生，2名內(nèi)科醫(yī)生、名外科醫(yī)生，3名內(nèi)科醫(yī)生、1名外科醫(yī)生這三類，分別計數(shù)再相加得答案.【詳解】（1）不考慮甲、乙兩人，從全部14名醫(yī)生中選派4名共有種；甲、乙兩人都沒被選派共有種；故甲、乙兩人至少有一人參與，有1001-495=506種；（2）此時4名醫(yī)生的組成為，第一類：1名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生，共有種；其次類：2名內(nèi)科醫(yī)生、名外科醫(yī)生，共有種；第三類：3名內(nèi)科醫(yī)生、1名外科醫(yī)生，共有種；故隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有種選法.【點睛】本題考查組合問題的計數(shù)，屬于簡潔題.21.設(shè).已知.（1）求n的值；（2）設(shè)，其中，求的值.【答案】（1）；（2）-32.【解析】【分析】(1)首先由二項式綻開式的通項公式確定的值，然后求解關(guān)于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值確定有理項和無理項從而可得a,b的值，然后計算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由題意得到的綻開式，最終結(jié)合平方差公式即可確定的值.【詳解】（1）因為，所以，．因為，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因為，所以，從而．解法二：．因為，所以．因此．【點睛】本題主要考查二項式定理、組合數(shù)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查分析問題實力與運算求解實力.22.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在x=1時取得極值，求實數(shù)a的值；（2）當0＜a＜1時，求零點的個數(shù).【答案】（1）1；（2）兩個【解析】【分析】(1)函數(shù)在x=1時取得極值，得，解得，時，，求單調(diào)區(qū)間，驗證在x=1時取得極值（2），由，得減區(qū)間為，增區(qū)間為，其微小值為，，函數(shù)在上有