高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化 4 立體幾何 第10講 立體幾何中的向量方法教學(xué)案 理-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)教學(xué)案

第10講立體幾何中的向量方法

考綱要求真題統(tǒng)計(jì)命題規(guī)律鎖定題型

理解空間直角坐標(biāo)系及空間兩點(diǎn)間距離公

分析近五年全國(guó)卷■發(fā)現(xiàn)

式.了解空間向量的概念，了解空間向量基1.向量法求線

2017年I卷”;2017年D卷%；高考有以下規(guī)律：

本定理，掌握空間向量的坐標(biāo)表示，掌握空面角

高考對(duì)本部分的命題較

間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的運(yùn)算與2017年ID卷兒;2016年I卷工”2.向量法求二

為穩(wěn)定，解答題為主，主

坐標(biāo)表示，理解空間直線的方向向量與平面2016年H卷T,,；2016年亞卷T”；面更

要考查利用空間向量求

法向量的概念，掌握用空間向量計(jì)算直線與2015年II卷泉；2014年1卷T”；3.利用空間向

異面直線所成的角、線面

直線、直線與平面、平面與平面的夾角的方量求解探索性

2013年1卷T"；2013年II卷T”角或二面角，難度中等

法，掌握用空間向量證明直線、平面位置關(guān)問(wèn)題

偏上.

系的簡(jiǎn)單命題的方法.

題型1向量法求線面角

(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第33頁(yè))

■核心知識(shí)儲(chǔ)備........................................

1.兩條異面直線的夾角

(1)兩異面直線的夾角-f-

⑵設(shè)直線的方向向量為S/,Si,則cos"=|cos⑸，&〉\=器:篙

2.直線與平面的夾角

JI

⑴直線與平面的夾角萬(wàn).

(2)設(shè)直線/的方向向量為a,平面a的法向量為〃，則sin〃=|cos〈a,n)=

,a,

1a/?In/'

■典題試解尋法.........................................................

【典題】(2016?全國(guó)HI卷)如圖10-1,四棱錐尸｛版中，必，底面4％ft

AD//BC,AB=AD=AC=3,必=%=4,"為線段4〃上一點(diǎn)，AM=2MD,N為

陽(yáng)的中點(diǎn)，野調(diào)

A

BC

圖10-1

(1)證明的V〃平面PAB；

(2)求直線4"與平面RMV所成角的正弦值.

【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804072］

9

［解］(1)證明：由已知得4人子142.如圖,

取以的中點(diǎn)7,連接“，TN,由“為R7的中點(diǎn)知7W8C,TN/C=2.

又ADMBC,故卻觸刃/,所以四邊形4監(jiān)T為平行四邊形，于是仞V〃/￡

因?yàn)槠矫鏋?,勵(lì)Q平面為8,

所以加V〃平面PAB.

⑵取6c的中點(diǎn)￡,連接45：

由46=然得AEVBC,從而AELAD,

且/相一6e=

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，4解J方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4xyz

由題意知P(0,0,4),,"(0,2,0),乳乖,2,0),」伴，1,2),

刀?9=0,

設(shè)刀=(x,y,z)為平面/W的法向量,則j

?正0,

2y—4z=0,

即“A/B

2y—2z=0,

可取n=(0,2,1).

工日I/T；I〃?加8小

丁ZEIcos(/］fAN)A|——,

\n\'AN\

所以直線4V與平面陰州所成角的正弦值為坐.

［類題通法］向量法求線面角的一般步驟

1.建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).

2.寫出相關(guān)向量的坐標(biāo).

3.求平面的法向量.

4.求線面角的正弦值.

5.轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.

提醒：直線和平面所成角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕

對(duì)值，即注意函數(shù)名稱的變化.

■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練................................................................

如圖10-2,菱形ABCD中,乙仿0=60°,47與被相交于點(diǎn)0,四J_平面ABCD,CF//AE,

A4AE=2.

圖10-2

(D求證：勿_1平面/。再

(2)當(dāng)直線尸。與平面腐所成的角為45°時(shí)，求異面直線毋'與配'所成的角的余弦

值大小.

［解］(1)證明：I?四邊形力6"是菱形，.,.初

,.3￡L平面4?中，8m平面A8CD,

：.BDLAE.

.?.物J_平面力性

⑵以。為原點(diǎn)，0A,必的方向?yàn)閤,y軸正方向，過(guò)。且平行于〃'的直線為z軸響

上為正方向)，建立空間直角坐標(biāo)系，則6(0,小，0),。(0,一小，0),6(1,0,2),

尸（一1,0,a）（a>0）,⑦=（一1,0,a）.

設(shè)平面￡切的法向量為〃=(x,y,z),

n?03=0‘即惶:。'令Q則片(一

則有〈

、刀,OE=0

2,0,1）,

X

\0F?n\—5

由題意得sin45°=|cos(OF,ri)解得a=3或一

|談I"「歷1.m—2

1

3,

由a>0,得<3=3,

。產(chǎn)=（-1,0,3）,BE=3一/，2）,

:-1+6y［5

cos〈OF,BE）=—r=---

V10X^/84

故異面直線OF與應(yīng)■所成的角的余弦值為坐］

■題型強(qiáng)化集訓(xùn).........................................................

（見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)”）

題型2向量法求二面角（答題模板）

（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第34頁(yè)）

利用向量法求二面角的大小是高考對(duì)立體幾何的常規(guī)考法，它以代數(shù)運(yùn)算代替抽象的

思維，給立體幾何帶來(lái)了鮮活的方法，此類問(wèn)題建系是突破口，求解的關(guān)鍵是平面的

法向量.（2017?全國(guó)I卷TI8.2017?全國(guó)II卷TI9.2017?全國(guó)III卷T電2016?全國(guó)I

卷Tis.2016,全國(guó)II卷T19.2014,全國(guó)I卷Tig.2013,全國(guó)H卷Tis）

■典題試解尋法.........................................................

【典題】（本小題滿分12分）（2017?全國(guó)II卷）如圖10-3,四棱錐中，

側(cè)面|面媯等邊三角形產(chǎn)且［垂直于底面力麗|②，四=%=以。,ABAl）=AABC

“看語(yǔ)彩做潺

=90°,￡是陽(yáng)的中點(diǎn).

圖10-3

（1）證明：直線四〃平面處尺

J瘡棱夕6上產(chǎn),

直線8內(nèi)底面/比晰成角為45°

求二面角稱49?曲勺余弦值|?.

【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804073】

［審題指導(dǎo)］

題眼挖掘關(guān)鍵信息

看到必〃為等邊三角形，

①

想到等邊三角形的有關(guān)性質(zhì).

看到必。垂直于底面ABCD,

②

想到面面垂直的性質(zhì).

看到證明直線四〃平面PAB,

③

想到線面平行的判定或面面平行的性質(zhì).

看到"在棱PC上,

④

想到只必，。三點(diǎn)共線，想到點(diǎn)"的設(shè)法.

看到直線5V與底面465所成角為45°,

⑤

想到線面角的求法，想到平面法向量的計(jì)算方法.

看到求二面角井/層〃的余弦值，

⑥

想到求平面物8與平面4初的法向量.

［規(guī)范解答］(1)證明：|取必的中點(diǎn)司⑦,連接即BF.

因?yàn)椤晔切牡闹悬c(diǎn)，所以EF〃的,EF=；AD.2分

由/劭〃=//仇?=90°舄BC〃AD,

又BC=%D,所以即缺BC,

四邊形式跖是平行四邊形，CE//BF.4分

又6代平面兩平面用8,故龍〃平面

(2)

由已知得胡，/〃，以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，贏方向?yàn)閤軸正方向，|法|為單位長(zhǎng)度，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系斤xyz,?

則4(0,0,0),6(1,0,0),<7(1,1,0),?(0,1,y/3),尸，=(1,0,一4)，48=(1,0,0).

7分

設(shè)M(x,y,z)(0<Kl),則

BM=(x—l,y,z),PM=(%,y-1,z-木).

因?yàn)榧?與底面4?(力所成的角為45°,

而n=(0,0,1)是底面48徵的法向量,

所以|cos〈BM,ri)|=sin45°

，yj~x—\~2+y+z2

即(x—lY+y-z=0.①8分

又/監(jiān)E棱/T上，設(shè)PM=入PC,⑨則

x=A,y=l,z=木一木A.②

x=\kl一手

由①②解得1y=b(舍去)，或(y=b

.乖

I9—21z—2

所以j/1—g?,從而44(1—平,

10分

設(shè)卬=(xo,jb,zo)是平面24V的法向量，則

2zz*4Q0,Ab+2jb+,\/6zo=O,

―?[加=0,

m?AB=0,

所以可取m—(0,一乖,2).11分

m?ny[10

于是cos(m,ri)

=向曠5?

因此二面角林小。的余弦值為12分

［閱卷者說(shuō)］

易錯(cuò)點(diǎn)防范措施

⑦因空間想象力不足，導(dǎo)致不

當(dāng)題設(shè)條件出現(xiàn)邊的中點(diǎn)，要證明線面平行時(shí)，

會(huì)作輔助線，進(jìn)而導(dǎo)致(1)無(wú)

常取另一個(gè)邊的中點(diǎn)，構(gòu)造平行關(guān)系.

法證明.

熟知常見(jiàn)的空間直角坐標(biāo)系的建法，結(jié)合已知的

⑧因?qū)D形和立體幾何的理

圖形中的垂直關(guān)系建系，如本題也可以4〃的中點(diǎn)

論體系不熟，導(dǎo)致不會(huì)建系，

為坐標(biāo)原點(diǎn)，0C為x軸，如為y軸，8為z軸

進(jìn)而不會(huì)求二面角的余弦值.

建系.

⑨因?qū)ο蛄抗簿€知識(shí)不熟，導(dǎo)

致點(diǎn)，"的坐標(biāo)計(jì)算不出，致使點(diǎn)M在棱R7上，則為三A南0<A<1).

(2)無(wú)法求解.

［通性通法］向量法求二面角的方法

1若"2分別是二面角。-心￡的兩個(gè)半平面a,￡的法向量，則二面角e

11,.

的大小滿足boseI=-1—2-.然后利用圖形判斷二面角是銳角或鈍角.

叫I

2若他徵是二面角心￡的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大

小0為法與五的夾角或其補(bǔ)角.

■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練.........................................................

(2017?安徽馬鞍山模擬)已知四棱錐P-ABCD中,如圖10-4,底面ABCD是梯形,BC

//AD,ABA.AD,且AB=BC=1,AD=2,頂點(diǎn)尸在平面ABCD內(nèi)的射影〃在/。上，PALPD.

圖10-4

(1)求證：平面力顯L平面門以；

⑵若直線北與外所成角為60°求二面角力-%〃的余弦值.

【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804074］

［解］(1)證明：：掰，平面4犯9,48u平面4成》,J.PHLAB.

'：ABVAD,ADCPH=H,AD,/?=平面為〃從L平面處〃.

又/氏平面PAB,平面必反L平面PAD.

(2)以4為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系4-式彩，如圖，

：掰_1_平面ABCD,

，z軸〃加

則4(0,0,0),以1,1,0),

。(0,2,0),設(shè)AH=a,PH=h{Q<a<2,A>0).

則尸(0,a,A).

'.AP^(0,a,A),〃P=(0,a—2,H),AC—(1,1,0).

"：PALPD,.?.亞?5a(a—2)+力2=0.

?."C與如所成角為60°,

1

S礪1

co2+2

(a—2)2=/T,:.(a—2)(a—1)=0,

V0<5<2,???a=L??,力>0,???力=1,A7^(0,1,1).

：.AP=(0t1,1),孤=(1,1,0),詬=(1,0,-1),而=(1,-1,0),設(shè)平面加&的法

n?AP=y+

向量為〃=(x,y,z),由J，

—?

n?AC=x+y=0

得平面4c的一個(gè)法向量為/2=(1,-1,1),

設(shè)平面的法向量為。=(x,y,z).

―?

m?PC=x-z=0

由<,

—?

227?DC=X一尸a

得平面〃%的一個(gè)法向量為25=(1,1,1).

?/\m'n1

..cosn)=-、~n~r—7.

m\n\3

???二面角力-微〃的平面角為鈍角，

二面角力小〃的余弦值為一

?J

■題型強(qiáng)化集訓(xùn).........................................................

(見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)4、T.,)

題型3利用空間向量求解探索性問(wèn)題

(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第36頁(yè))

■核心知識(shí)儲(chǔ)備.........................................................

立體幾何中探索性問(wèn)題的種類及其求法

(1)立體幾何中的探索性題目主要有兩類：一是利用空間線面關(guān)系的判定與性質(zhì)定理

進(jìn)行推理探究，二是對(duì)幾何體的空間角、距離和體積等的研究.

(2)其解決方法多通過(guò)求角、距離、體積等把這些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)參數(shù)的方程問(wèn)

題，根據(jù)方程解的存在性來(lái)解決.

■典題試解尋法.........................................................

【典題】如圖10-5(1),在直角梯形中，AD//BC,ADLAB,AD=\,BC=2,E為CD

上一點(diǎn)，且應(yīng)'=1,￡'(7=2,現(xiàn)沿應(yīng)■折疊使平面89平面兒祝，廠為緲的中點(diǎn)，如圖

10-5(2).

圖10-5(1)圖10-5(2)

(1)求證：平面腔1；

2

⑵能否在邊47上找到一點(diǎn)只使平面4黨與平面位所成角的余弦值為耳？若存在,

試確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

面面垂直

［思路分析］⑴證明力反1座,——?力反1平面仇若；

建系唯邊/16上__求法向量

⑵證明"LL平面/戚——?求點(diǎn)4C,E,廠的坐標(biāo)——?7P=XAB——?由

2

兩平面所成角的余弦值為可確定〃的位置.

［解］⑴證明：在直角梯形4?切中作〃整」笫于M連接的

貝|JC#=2-1=1,CD=DE+CE=l+2=3,

則D1UAB=79—1=4=2木,C

cosC=叫，

則BE=[C后+C總一2CE?CB?cosCAR

=弋4+4-2*2義2><；=平,

AE=7Alf+D^—2AD，DE、cos/ADE

i2m

=A/1+1-2X1X1X-=-J-,

所以4片+6爐=/4,故瓦且折疊后46與跖位置關(guān)系不變.

又平面6(%比平面且平面比石0平面46初=陽(yáng)所以月反1平面6◎:

(2)連接CF,因?yàn)樵凇?位中，BC=CE=2,F為跖的中點(diǎn)，所以CFLBE.又平面BCEL

平面4皮刃，且平面腔'A平面4跳》=龐，

所以"平面ABED.以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸且平行于/￡的直線為x軸，F(xiàn)B,此1所

在直線分別為y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz,

則用0,0,0),

設(shè)平面力。？的法向量為血=(小，/I,Zi),

m?AE=0f

則1

jn?CE=G,

｛述n

一寸-…，

即＜lr-

2m2乘

L3y~3?-O,

令Z\=lf

則吊=0,月=一小,

可得平面^^的一個(gè)法向量為切=(0,一/，1).

2~A-A

假設(shè)在四上存在一點(diǎn)只使平面43與平面5所成角的余弦值為可，且448

（0W"1）.

因?yàn)獒?,平，0），

所以正=（—半，半，0），

故碼-哈，給，。）

又研乎,邛-明

所以蘇=己+展=（乎1-A，￥2A-1

又熊（o,o,平）,

設(shè)平面位的法向量為〃=（應(yīng)，氏Z2）,

［n-CP=0,

即《呼廠k。，廠廠

羋一二呼2——羋片。,

、J0O

令X2=24—l,得〃=（24—1,小（4—1）,0）為平面心'的一個(gè)法向量，

.,、?m，n2久一1|2

所rr以iqCOS（227,n）=------=~r=---，,，,=g,

加h小?yj/22,-12-+2A-l23

2

解得力=可或4=0,

O

因此存在點(diǎn)尸，且尸為線段4?上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)或尸與4重合時(shí)，平面1四與

2

平面叱所成角的余弦值為不

［類題通法］利用空間向量巧解探索性問(wèn)題

1對(duì)于存在型問(wèn)題，解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，

把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“是否有解”“是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.

2對(duì)于位置探索型問(wèn)題，通常是借助向量，引入?yún)?shù)，綜合條件和結(jié)論列方程，

解出參數(shù)，從而確定位置.

■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練.........................................................

如圖10-6,在五面體力以為％1中，平面力及》，/力〃C=/胡〃=90°,尸為棱必

的中點(diǎn)，PD=BC=eAB=AD=l,且四邊形CW為平行四邊形.

⑴判斷4C與平面叱的位置關(guān)系，并給予證明：

(2)在線段印上是否存在一點(diǎn)0,使得80與平面陽(yáng)C所成角的正弦值為于？若存在,

0

請(qǐng)求出〃的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804075)

［解］(1)/%平面頌理由如下：

設(shè)線段相交小于點(diǎn)兒連接FN,如圖所示，

因?yàn)樗倪呅稳缢臑槠叫兴倪呅?，所以點(diǎn)4為7T的中點(diǎn)，

又點(diǎn)尸為陽(yáng)的中點(diǎn)，所以〃/G

因?yàn)锳化平面渤40■平面0EF,所以平面困：

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的，DC,如所在直線為x軸，y軸，z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镻D=BC=pAB=AD=\,所以龍=2,

所以尸(0,0,?,6(1,1,0),(7(0,2,0),4(1,0,0),

所以法=(1,1,一位)，5C=(-1,1,0).

設(shè)平面月弘的法向量為。=(x,y,z),

m,PB—x,y,z?1,1,一/=0，

則彳

-A

m?BC=x,y,z,-1,1,0=0,

即F+y-mz=。，解得

【一葉y=0,[z=y[2x1

令X=l,得平面陽(yáng)，的一個(gè)法向量為227=（1,1,

假設(shè)存在點(diǎn)。滿足條件.

由/Q,0,乎），￡（0,2,鏡），可得座=（一/2,

設(shè)混4花（0W4^1）,

整理得七±23/1”）,

因?yàn)橹本€制與平面布所成角的正弦值為y當(dāng)R

BQ,m_______51一I______小

所以Icos{BQ,jn)|=

-2，194:一IO/+7-6

IBQ\,\m

得14儲(chǔ)一54—1=0,又OWaWL所以4=(，

■題型強(qiáng)化集訓(xùn)........................................................

（見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)T。

三年真題I驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果

（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第37頁(yè)）

1.（2017?全國(guó)HI卷）如圖，四面體力靦中，△/比1是正三角形，XACD

是直角三角形，NABD=4CBD,AB=BD.

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著精彩做深

B

圖10-7

（1）證明：平面力切，平面45C；

⑵過(guò)/C的平面交協(xié)于點(diǎn)￡,若平面4%把四面體/及力分成體積相等的兩部分，求

二面角2力￡。的余弦值.

［解］⑴證明：由題設(shè)可得△力3△◎?,從而/〃=⑦

又△/⑦是直角三角形，

所以/從心=90°.

取〃'的中點(diǎn)0,連接。0,BO,

貝D0=A0.

又因?yàn)槭钦切?，?0J_4C,

所以/戊歷為二面角的平面角.

在RtZX/1如中，BG+AG=AR,

又AB=BD,所以加+加=/+/〃=力4=*,

故/比＞6=90°.

所以平面/切，平面ABC.

(2)由題設(shè)及(1)知，OA,OB,切兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，物的方向?yàn)閤軸正方向，；處|為單位長(zhǎng)度，

工

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz,

貝lj4(1,0,0),8(0,小,0),＜7(-1,0,0),〃(0