2022年高中數(shù)學(xué) 解析幾何 1 圓錐曲線的方程與軌跡方程

專題1圓錐曲線的方程與軌跡方程

一、考情分析

求圓錐曲線的方程與軌跡方程,一般出現(xiàn)在解答題第（1）問，考查頻率非常高，求圓錐曲線的方程一般用待定系數(shù)法,

比較容易，求圓錐曲線的軌跡方程一般用定義法,有時(shí)可用到直接法、相關(guān)點(diǎn)法、交軌法等,難度一般中等或中等以下.

二、解題秘籍

（一）用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程

1.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件

建立關(guān)于a,b的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mxi+ny2

=1（巾＞0,〃＞0,〃用〃）的形式.思路：直接解不等式，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間

求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般用待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求雙曲線方程具體過程中先定形，再定量，即先確定雙2.雙曲

線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，注意焦點(diǎn)BE的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”,

若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上;若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在y軸上.確定方程的形式后，然后再根據(jù)a,b,c,e及

漸近線之間的關(guān)系，求出a,b的值，當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)的位置不確定時(shí)，為了避免討論焦點(diǎn)的位置，常設(shè)雙曲線方程為心2

+8）2=I（4B＜0）,這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

3.如果已知雙曲線的漸近線方程〉=±±彳（。〉0力＞0）,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)雙曲線方程為，一方=2（7知）,

再由條件求出2的值即可.與雙曲線去一方=1（4＞0力＞0）有共同漸近線的方程可表示去一樂=，存0）.

4.利用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟

（1）依據(jù)條件設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.（2）求參數(shù)p的值.（3）確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【例1】已知橢圓。:「+，=1（。＞6＞0）*,8分別為橢圓。的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn),F為橢圓C的右焦點(diǎn)，橢圓C的離

心率為的面積為

22

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)尸作直線交橢圓于M,N兩點(diǎn)，若|而卜R而求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

【解析1

（1）由題意得（=3,則a=2c2=&.V8/X的面積為;（"°我=日，則（a—c）b=6

0）

將a=2c,6=6c,代入上式，得c=l,則a=2,b=石做橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+工=1.

43

（2）由（I）知網(wǎng)1,0）,當(dāng)直線M/V的斜率不為0時(shí),設(shè)直線MV的方程為x=sy+l,Ma，yJ,N（w，y2）,

將x=畋+1代入橢圓方程得（叫:）一+白1,化簡(jiǎn)得（3加+4）y2+6my-9=0,

則A=I44（丑2+［）＞o,所以3+%=①，必必=-3〃：+4②，

由網(wǎng)=川麗|得而=/麗■，即（1-孫-%）=冗（口-L,），則%=.

-1-

①'②得2+年+2=-9.所以一“一；+2=一白

an,1c4/M2416目i/164

即2d---2=---T---=------5----，易知?！夺芤?；；2~TT'＜彳，

A3m2+439m2+1239療+123

14114

故0?丸+1一2＜三,易知4+7—220怛成立,由幾十工一2＜三，得3A2—1024-3＜0,

/I3A.A3

解得產(chǎn)＜3.

當(dāng)直線MN的斜率等T0時(shí),

用（一2,0）."（2,0）或“（2,0）,"（-2,。）,則/1=隅=；或力=隅=3

綜上，實(shí)數(shù)4的取值范圍為-,3.

【例2】已知雙曲線Wy2=1（a力＞0）的漸近線方程為y=士*，左焦點(diǎn)為尸（-2,0）.

a

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過點(diǎn)。（2,0）作直線/與雙曲線C右支交于A,B兩點(diǎn)，若麗=2而，求直線/的方程.

【解析】:

（1）0雙曲線1-營(yíng)=1（。/＞0）的漸近線方程為＞=±烏左焦點(diǎn)為尸（20）.

c=2

佟=￡■，解得c=2,a=&,b=l.回雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—-/=1.

回

a33

c2=/+/

(2)設(shè)直線/的方程為x-2=my.A(xnyi),B(x2,V2),

13通=2函回X=-2%①,“

x-2=my

聯(lián)立直線與雙曲線方程彳/，化簡(jiǎn)整理，可得（療—3）產(chǎn)+4沖+1=0,

---y=1

I3

-47771

由韋達(dá)定理，可得x+K=-^―7②,X%=；③.

m-3m-3

由①②③得機(jī)=±W，此時(shí)檢驗(yàn)得A＞0,

回直線/方程為y=±JH（x-2）.

-2-

【例3】已知拋物線E:y2=2px(〃>0)的焦點(diǎn)為F,其中p為E的準(zhǔn)線上一點(diǎn),0是坐標(biāo)原點(diǎn)，且。尸。尸=-二.

(1)求拋物線E的方程；

(2)過。(1,0)的動(dòng)直線與E交于C,D兩點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)"&0)(20),使得x軸平分NCMD?若存在,

求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由.

【解析】：

(1)拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，,0).設(shè)力§%),則礪=(多0),而=(-多力)

因?yàn)镺F?。尸=-：,所以-坦---2,得P=3.所以拋物線E的方程為丁=6x;

(2)假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)"(f,O)?wO),使得x軸平分NC.

設(shè)動(dòng)直線的方程為x="9+1,點(diǎn)C(X|,x),￡>(&,必)，

[x=my+1.

聯(lián)立<2-，可得-6%y-6=0.

[y=6x

A=36/n2+24>0恒成立，

...%+必=6機(jī),乂必=-6

設(shè)直線MC,MD的斜率分別為人,右，則

“%上當(dāng)_"超7)+必(為一。

/十勺-1-777\

X\~lX2~l(X1~t)\X2~t)

二y(陽2+1T)+%(%+1T)2陽通+。7)(必+%)

(x,-t)(x2-r)(x,-r)(x,-r)

由定點(diǎn)〃豐0)，使得x軸平分4MD,則勺+&=0,

所以2,孫為+(1-)(X+%)=°?把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得利+〃"=。，

得f=-L

故存在f=-l滿足題意.

綜上所述，在x軸上存在定點(diǎn)M(-1,0),使得x軸平分NCMD.

-3-

(二)直接法求曲線軌跡方程

1.直接法求曲線方程的關(guān)鍵就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)性.通常將步驟簡(jiǎn)記為建

系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這幾個(gè)步驟，但最后的證明可以省略.

2.求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性.

3.對(duì)方程化簡(jiǎn)時(shí)，要保證前后方程解集相同，必要時(shí)可說明的取值范圍.

【例4】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在直線y=。和y=-2上的射影分別為點(diǎn)N和/?,已知麗.砥=萬記，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求動(dòng)點(diǎn)用的軌跡E的方程；

(2)過直線x-y-2=0上的一點(diǎn)作軌跡E的兩條切線期和PB(A,8為切點(diǎn)),求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).

【解析】(1)設(shè)M(x,y),則N(x,O),R(x,-2),所以麗=(x,y),MN=(0,-y),MR=(0,-2-y),

山條件可得-y(-y-2)=V+y2,整理可得點(diǎn)M的軌方程為爐=2y；

(2)由(1)知,y=*，求導(dǎo)可得y'=x，設(shè)A(和x),B(”2),則切線叢的方程為y-立=xgxj即一產(chǎn)-4①,

222

同理可得切線網(wǎng)的方程為y="予②，聯(lián)立①②，解得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為七衛(wèi),竽)，

X?_再

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x—y—2=0匕所以五戶一竽—2=0,即中2=再+占-4,乂直線AB的斜率k_T_T_&+x2,

22K----

x2-xx2

所以直線AB的方程為：尸手=左三(xf),即y=a+"x-x/又再起"+X2-4,

222

代入可得y=(xfT)+2,所以直線43過定點(diǎn)(1,2).

(三)定義法求曲線軌跡方程

1.運(yùn)用圓錐曲線的定義求軌跡方程，可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出方程.

2.定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線的軌跡類型，利用條件把待定系數(shù)求出來,使問題得解.

3.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)RR的距離之和等于常數(shù)(大于IQBI)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦

點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

集合P={M|MQ|+|MF2|=2a},|QB|=2G其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：

(1)若a>c,則集合P為橢圓；

⑵若a=c，則集合P為線段；

⑶若a<c,則集合P為空集.

4.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于IQBI)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲

線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

集合P={MIMQITMF2||=2a},|F|F2l=2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.

⑴當(dāng)2a<尸/2|時(shí),P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；

⑵當(dāng)2a=|BBI時(shí),P點(diǎn)的軌跡是以Fi,尸2為端點(diǎn)的兩條射線；

⑶當(dāng)2a>內(nèi)尸2|時(shí),P點(diǎn)不存在.

-4-

5.平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1（1不經(jīng)過點(diǎn)少的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),

直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

注意：

（1）定直線/不經(jīng)過定點(diǎn)F.

（2）定義中包含三個(gè)定值，分別為一個(gè)定點(diǎn)，一條定直線及一個(gè)確定的比值.

［例5］已知圓（x+l）2+y2=16的圓心為A,點(diǎn)尸是圓A上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)G在線段”上，且

滿足|GH=|GB|.

（1）求點(diǎn)G的軌跡E的方程：

（2）不過原點(diǎn)的直線/與（1）中軌跡E交于N兩點(diǎn),若線段MN的中點(diǎn)。在拋物線V=4x上,求直線I的斜率k的

取值范圍.

【解析】:

易知A（-1,O）,?.?點(diǎn)B是拋物線V=?的焦點(diǎn)，二8（1,0），依題意|G4|+|G曰==4＞2=|明,

所以點(diǎn)G軌跡是一個(gè)橢圓,其焦點(diǎn)分別為A8,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

r22

設(shè)該橢圓的方程為三+二=1（。＞人＞0）,則2〃=4,20=2,/.。=2"=1,二.從二〃2一6;2=3,

a-b-

22

故點(diǎn)G的軌跡E的方程為三+乙=1.

43

（2）易知直線1的斜率存在,設(shè)直線I：y=h+《fwO）,A/（石，M）,N（孫必），。（%，％），

72=12得：（止+3片+8如+4?2小

由

4J-12

△=（86）2—4（3+必2）（4/一12）＞0,即4產(chǎn)—廠+3>0,I1乂％+/=TT7）~,-X,

4k~+34k2+3

故。鹿為舟卜。（一借，舟）田…，得-誓則②公。＞

將②代入①，得：16-2（4r+3）＜81,4x16“4+3x16?公一81＜0,即r+2^_f±J＜0,

即用一心+巧＜°，即*=＜°，??邁＜發(fā)（如且八°，即2的取值范圍為:-逅＜&＜。或。＜左〈返

I32八32；328888

-5-

［例6］在平面直角坐標(biāo)系MY中,已知圓A:（x+2）2+y2=8,8（2,0）,動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)8且與圓A相外切，記動(dòng)圓的圓

點(diǎn)尸的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）試問，在x軸上是否存在點(diǎn)"，使得過點(diǎn)"的動(dòng)直線/交C于E,尸兩點(diǎn)時(shí)，恒有=若存在，求出

點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由.

【解析】:

（1）設(shè)動(dòng)圓P的半徑長(zhǎng)為「,則|尸卻=r.|PA|=r+2近,

.?.|P@-|網(wǎng)=2及.因此圓心P的軌跡為以A（-2,0）、8（2,0）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2立的雙曲線的右支，

22

設(shè)C的方程為5-2=1（x>0），則根據(jù)雙曲線定義a=0,c=2,

ab

.?12=C2一/=2,因此C的方程為三-￡=1（x>0）.（說明：沒寫X的范圍扣1分）

（2）不存在滿足條件的點(diǎn)理由如下：

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（加。）,白線/的斜率為Z，則直線/的方程為y=&（x-/n）.

y=k^x-m）,

由*22消去y并整理，得伊—1卜2—2,滋2%+后/+2=0,設(shè)磯…）、打?qū)O力）,則占+々

--------二—=1,

I22

中2=卓=，（*）由ew=N/^，得篇+女”=0,即3+2=°，

將乂=%（菁-利）.％=女（々-加）代入上式并化簡(jiǎn),得2%玉+（2-加）（5+七）-4/〃=0.

將（*）式代入上式，有2?匕士+（2-〃。?終-癡=0,

k2-\、）k2-\

解得機(jī)=-1.

而當(dāng)直線/交C于E,尸兩點(diǎn)時(shí)，必須有%+々>0且%,%,>0.

-2k2P+2

當(dāng)m=-l時(shí),西+々=—；—，x,x=——,

F-110-k2-l

冷乜無解,

則當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，不符合條件.因此，不存在滿足條件的點(diǎn)

-6-

【例7】已知一定點(diǎn)尸(0,1),及一定直線/：y=-l,以動(dòng)點(diǎn)歷為圓心的圓M過點(diǎn)F,且與直線/相切.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡c的方程；

(2)設(shè)P在直線/上，直線方,PB分別與曲線C相切于A,B,N為線段A8的中點(diǎn).求證：[48|=2|'尸|,且直線48

恒過定點(diǎn).

【解析】(1)動(dòng)點(diǎn)M為圓心的圓例過點(diǎn)￡且與宜線/相切，

動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)尸(0,1)與定直線尸-1的距離相等，

動(dòng)圓圓心的軌跡為拋物線，其中F(0,1)為焦點(diǎn),y=-l為準(zhǔn)線，

，=1=>p=2.，動(dòng)圓圓心軌跡方程為A~=4V.

(2)依題意可設(shè)P(%,-1),Ax,

又d=4y,y=；x1>'=gx

故切線R4的斜率為4=g玉.

2

故切線=^x1（x-xl）=>2x1x-4y-x1=0

同理可得到切線PB:2X2X-4）-x；=0

又P（%,-1）,；?2玉/+4-父=0且2工2%+4-工22=（）,

故方程/-2/1-4=0有兩根內(nèi),當(dāng)，王電二-4,

,,111?

-k\k2=2XIX2%2=4%,%2=-..PA±PB

又N為線段AB的中點(diǎn),」AB\=2\NP\

又由2xx+4—X；=0得到:—xx+1——=0即—■%玉）+]_y=（）

l021042

同理可得到gx/0+l-），2=0,

故直線A8方程為：；XM-y+l=0,故直線過定點(diǎn)尸（0,1）.

-7-

(四)相關(guān)點(diǎn)法求曲線軌跡方程

“相關(guān)點(diǎn)法''求軌跡方程的基本步驟

(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(xi,yi)；

(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式"

ly=gx，y；

(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

【例8］如圖,P是圓/+＞2=4上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)尸在x軸上的射影是點(diǎn)。，點(diǎn)M滿足次7=步＞.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；

(2)過點(diǎn)N(3,0)的直線I與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A,艮求以O(shè)AQB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的

軌跡方程.

【解析】：

⑴設(shè)M(x,y),則D(x,0),P(x”％),由晶=步＞知，得x,=苞％=2)，

2

???點(diǎn)P在圓爐+丫2=4上，?.必+4)2=4,故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為，+y2=l,且軌跡C為橢圓.

(2)設(shè)E(x,)，),由題意知/的斜率存在，

.2

設(shè)/：丁=攵(冗一3),代入，+產(chǎn)=1,

得(1+43)/—24Nr+36攵2—4=0,(*)

、24人2

設(shè)A(X1J|),8(X2J2),則X\+X2=|I|_44-2,

?'?yi+yi=k(x\-3)+k(x2-3)

3

八24k,,—6k

iX2)-6k=]+4攵2-62=]+4爐?

???四邊形OAEB為平行四邊形，

.?.流=溫+仍=(xi+x2,yi+y2)=[j^^，77^)

(_24P

IX1+4/'

又9=(x,y),?X一消去上得始十年—6%=0,

—6k

由(*)中/=(—24^2)2—4(1+4攵2)(36攵2—4)>0,得Z:2<^,0<r<y

...頂點(diǎn)E的軌跡方程為r+與A-Gxnobavl).

(五)交軌法求曲線軌跡方程

-8-

求兩曲線的交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù),或者先引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)來得到軌

跡方程，稱之交軌法.若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，可以通過這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)的軌跡方程，也可以解方程組先

求出交點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)方程，再化為普通方程.

［例9］已知拋物線C:y=V,過點(diǎn)M(l,2)的直線交拋物線C于48兩點(diǎn)，以A,B為切點(diǎn)分別作拋物線C的兩條切線

交于點(diǎn)P.

3

(1)若線段AB的中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為萬,求直線A8的方程；

(2)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡.

【解析】：

(1)依題意有：直線AB的斜率必存在，故可設(shè)直線AB的方程為y-2=Z(x-l).

fy-2=A:(x-1),

2

由12可得：x—kx+k—2=0.

設(shè)4(3,％),3(*2，%),則有X1+x2=k,=k-2.

于是：X+為=M+￥=(飛+-2&W=X-2k+4=3,解得％=1,

故直線AB的方程為x-y+l=O.

(2)設(shè)P(x0,%),對(duì)于拋物線》=■?,)，=2x,

于是：A點(diǎn)處切線方程為y-y=2x1(x-xj,

點(diǎn)尸在該切線上，故%H=2占(蒞-占),即M-2%與+%=0.

同理：P點(diǎn)坐標(biāo)也滿足考-2々丙+為=0,

于是：3,為是方程_?-2%》+為=0的兩根，

所以％+%=2%,x,x2=%.

又由(1)可知：玉+毛=A,%%=火-2,

于是％=*2，消k得%=2%-2，于是P的軌跡方程為2x-y-2=0,點(diǎn)尸的軌跡是一條直線.

三、跟蹤檢測(cè)

-9-

1.如圖所示，拋物線E：y2=2px(p>0)與圓0：/+V=8相交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為2.過劣弧A8上動(dòng)點(diǎn)P(xo,yo)

作圓0的切線交拋物線E于C,D兩點(diǎn),分別以CD為切點(diǎn)作拋物線E的切線IM與/2相交于點(diǎn)M.

(1)求P的值；

(2)求動(dòng)點(diǎn)例的軌跡方程.

【解析】(1)由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),代入解得p=1.

(2)由(1)知拋物線E：產(chǎn);會(huì),設(shè)C(2k,yJ,O(左,％)田邦,)*0.切線人的斜率為匕則切線東y-yi=k(x-

代入爐=2x,得^y2—2_y+2yi—^y,2=0,由/=0,解得的方程為y=；x+5,

1%

y=—x+毛，

y.2IT，

同理/2的方程為y=~x+^-.聯(lián)立-:解得易知CQ的方程為Mv+yoy=8,

為21y2

y=一工+平，1V",2L±2A'

%2

￥+%=一如，

'r=2iA

y2—2xX。Q2，

其中Xo,并滿足+=8由c[2,2夜J,由，~'。得xoy+2yoy-16=0,則，16代入

國(guó)犬+%產(chǎn)8,

%月=一?["2

%

88

x=---,xo=—，->

玉）

可得A/(x,y)滿足，可得8；代入+=8,并化簡(jiǎn)，得卷一)2=1.

Q，V..=—'

2

考慮到A-G[2,272】，知xG[-4,-272],???動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為土一產(chǎn)=1內(nèi)丘[-4,一2夜].

08

2.在平面直角坐標(biāo)系xOv中，點(diǎn)”是以原點(diǎn)。為圓心,半徑為。的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以原點(diǎn)。為圓心,半徑為

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b（a>b>0）的圓與線段OM交于點(diǎn)N,作MD_Lx軸于點(diǎn)。，作N。MD于點(diǎn)Q.

(I)令=a，若。=4,b=1,。,求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)Q的軌跡為曲線C,求曲線C的方程;

(3)設(shè)（2）中的曲線C與X軸的正半軸交于點(diǎn)A,與y軸的正負(fù)半軸分別交于點(diǎn)片，區(qū)，若點(diǎn)E、F分別滿足

荏=-3在,4A7=30瓦，證明直線片E和名尸的交點(diǎn)K在曲線C上.

.71.

x=x

M=4cos—=2，因此。卜，|;

【解析】（1）設(shè)Q（xy）,則由題知，

.7T73

y=yD=Sm-=--I7

x=acosa2

r*1（4>。>0）；

（2）設(shè)NMO￡）=a及Q（x,y）,則由題知jsina'則點(diǎn)°的軌跡0為橢圓'方程為：「

2=1

（3）設(shè)K（x,y）,由知，4（0乃）,哈0）,5（0,詢,F（a,一|b）,

ab~，即4/zr+ay=心

4

8

x=-a

y+h_x丫22o21c2

M:33二Z,即bx-4ay=4ab，聯(lián)列直線方程,解得，17卞■+方=》+或_=1,因此交點(diǎn)K在橢圓C上.

——b+b15,

4y=-----b

17

尤2丫21

3.已知橢圓C：：+方=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)為尸，離心率為過點(diǎn)尸且垂直于x軸的直線交C于48兩點(diǎn),

|AB|=3

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若直線/過點(diǎn)“（Y,0）且與橢圓相交于A,8兩點(diǎn)，求AABF面積最大值及此時(shí)直線/的斜率.

C_1

a=2

lb',22

【解析】由題知：，——=3=>%=所以橢圓C:二+乙=1.

（1）a

c一=43

a2=b2+c21

x=my-4

⑵設(shè)直線/的方程為A陽-4,設(shè)A（x，x）、3（孫必），與橢圓方程聯(lián)立得f丁消去“得

----1----=1

[43

(3療+4)/-24陽+36=0.則A=576川-4x36(3加?+4)=144(川-4)>0.所以M>4.

24〃？

由根與系數(shù)的關(guān)系知J%.所以卜亭.①

3"i+4=4^

____S=⑻=18<18=3百

令^，加-十對(duì)》則①式可化為由一訴正一二^口/）一丁?當(dāng)且僅當(dāng)3，=1，即，=時(shí),等號(hào)成

立.此時(shí)m=土酒，所以直線/的斜率為土亙

314

-11-

22

4.已知雙曲線C:j-4=1(a>0/>0)的虛軸長(zhǎng)為4,直線2x-y=0為雙曲線C的一條漸近線.

a2b-

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A,反過點(diǎn)7(2,0)的直線/交雙曲線C于點(diǎn)MM點(diǎn)〃在第一象限)，記直線MA

斜率為占，直線N8斜率為內(nèi),求證：3為定值.

【解析】(1)???虛軸長(zhǎng)為4,.?.力=4,即6=2,1?直線2x—y=0為雙曲線C的一條漸近線」2=2,\a=1.

a

2

故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-22=1.

4

(2)由題意知,4-L0),3(1,0),由題可知.宜線/斜率不能為零，故可設(shè)直線/的方程為工=町，+2.

2y［

X5

設(shè)M($,X)N?，必)聯(lián)立\4，得(4*-I)y2+16〃y+12=0,/.y}+y2=.y%=——7，

4n~4n~-1

尤=+2

ny,y,=+%),?.?直線的斜率K=~^~7，直線NB的斜率&=，

4Xj+1%-1

.4二"十］=y(佻+1)二肛％+y=一”|+乃)+。=］為作?侑

.%2%(財(cái)+3)孫片+3必_3(y+%)+3必耳，」

-12-

5.已知拋物線C：/=2Px〈p>0）的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線I交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)/J_x軸時(shí),|鉆|=2.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線/交y軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)D且垂直于y軸的直線交拋物線C于點(diǎn)P,直線PF交拋物線C于另一點(diǎn)Q.

①是否存在定點(diǎn)M使得四邊形AQBM為平行四邊形？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由.

②求證：S公QAF'S^QBF為定值.

【解析】（1）當(dāng)/JLx軸時(shí)，易得|明=2〃,所以2P=2,解得p=l,所以拋物線C的方程為V=2x；

（2）①解：易知直線/的斜率存在且不為0,設(shè)直線/的方程為x=，wy+；（相聲0）,

代入拋物線C的方程V=2x，并整理得/-2^-1=0,

設(shè)A（%,yJ.8（電，％）曲根與系數(shù)的關(guān)系得,=2機(jī)，乂%=T.

所以土也=町+力8+1=近±1,所以線段AS的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（當(dāng)士連接QM若四邊形AQ8例為平行

四邊形，則N是QM的中點(diǎn)，

易知。（。，-/-1，因此?］甘^,-4-1,

\2m）\8機(jī)2m）

設(shè)直線PQ的方程為x="+；，代入拋物線C的方程丁=2x,整理得y?-2。-1=0,

所以力%=_（-我=-1，

故”=2加,因此°（2病,2/n）,

2+l2

故可得4="'^x2-2m=l,yM=2w-2/n=0,

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（l,0）,

因此存在定點(diǎn)加（1,0）,使得四邊形AQBM為平行四邊形；

②證明：點(diǎn)Q（2”,2m）到直線/:X=四，+.的距離-廣_2_1,

\lm2+12ylm2+1

由A（x，yJ.尸（7。］,可得|4/|=Jw+1血,

因此為斗"=;同，

同理可得%"=;網(wǎng)，

所以S?2"?S.='|兇，2|=、，為定值.

-13-

6.己知拋物線C：丁=2?儲(chǔ)>0）的焦點(diǎn)為尸，戶為C上的動(dòng)點(diǎn)，。為尸在動(dòng)直線y=f（f<0）上的投影.當(dāng)APQF為

等邊三角形時(shí)，其面積為40.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)。為原點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線/與C相切，且與橢圓片+片=1交于A,8兩點(diǎn)，直線OQ與線段A8交于點(diǎn)M.試問:

42

是否存在f,使得△。加4和4QMB的面積相等恒成立？若存在，求f的值；若不存在,請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）設(shè)尸5,%）.尸（04卜△「。尸為等邊三角形時(shí)淇面積為46，

1x|PQ『si吟=4石，解得歸。=4,???Q為尸在動(dòng)直線y=r（f<0）上的投影,，0（%：

%+勺4,

當(dāng)/\PQF為等邊三角形時(shí),|尸。=|PF|=|硝，山拋物線的定義知,f=Jy；+/=16,解得p=2,

片=2p%

??C的方程為x?=4y；

（2）設(shè)尸（為,%）,4（%,但）,8（孫力），則片=4加。（如￡）

1

?y=~^x，,.y='x，

二切線/：y-%=；5一玉），即/：了二3/不一九，

1

y=~x^-y(

i1+/X；卜-2/0),0工+2)'；-4=0,

22=

廠+廣-1

142

?西+々=^^

1+獷

1112垢%)4yo

?y+%=”七一%+-xox2-jo=-xox—產(chǎn)-2%=學(xué)

?-222i+L：/+,

t

y=----x

?.?Q(々M，，d：y=—-x,

Aox；—2t

y=-v-3?o

???△QAM和^QMB的面積相等，且A,M,B在同一條直線上，

則點(diǎn)M為45的中點(diǎn),

???2yM=乂+%,即；=7^77，則1=T?

x（）—NT+Z

綜上，存在,,使得△。加4和三角形^QMB面積相等恒成立」二-1.

-14-

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2,0）,（2,0）,尸是動(dòng)點(diǎn)，且直線分與EP的斜率之積等于

（1）求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C的方程；

（2）已知直線），=履+，”與橢圓：三+丁=1相交于A,8兩點(diǎn)，與，軸交于點(diǎn)若存在”?使得3+3礪=4兩，求用

4

的取值范圍.

【解析】（1）設(shè)尸（X,力則%勺.=三?上;=-9（x*±2），所以可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為《+y2=l（xw±2）.

x—2x+244

(2)設(shè)A(與,y),8(電,y?),又"(0,，"),山麗+3OB=4OM得(％+3%,y+3%)=(0,4〃?).占=-3x2

y=kx+m

聯(lián)立X2,可得(4々2+1b2+8輸+41-4=0；A=(84w)2-4x(4F+i)x(4m2-4)>0,

.T+-v-

_一8km

X1+x

2-4攵2+1

即Mk2-16帆2+16>04/一加2+1>o,且，

4m2一4

2=4公+1

4ktrikm4

or2_/4V-4機(jī)、

又%=-3%\x2=4/+j，則X,?%,

2,2I

\\6k2m2-4k2+m2-1=0,\k~=—------7"fA4k2-zn2+1>0W--+>0,

4-16"\-4m2

J<W2<1，解得rne（-l,-1）U（1j）.???m的取值范圍是（-1,-》U（；」）

4乙乙乙乙

8.在平面直角坐標(biāo)系xOx中，己知直線/:x=l,點(diǎn)/（4,0）,動(dòng)點(diǎn)p到點(diǎn)F的距離是它到直線/的距離的2倍，記尸的軌

跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

⑵過點(diǎn)F且斜率大于外的直線交C于兩點(diǎn)，點(diǎn)。（-2,0）,連接04、QB交直線/于M、N兩點(diǎn),證明：點(diǎn)F在以MV

為直徑的圓上.

._________,>2?>2

【解析】（1）設(shè)尸（x,y）,由題意得k4）寸=2|1卜化簡(jiǎn)得？嶗=1,所以曲線C的方程為.暇=1.

（2）證明：設(shè)A（3,y）、5（孫％）、設(shè)直線AB的方程為y=「（x-4）且無>省,

y=%（無一4）

聯(lián)立｛x2>2得（3-公卜2+8人2X一16后Z-iZnOJ-rwOAMM/+dG-rXiG幺+izblM^+iA。

----------=1

412

由韋達(dá)定理可得西=華=，平,=吟詈，因?yàn)辄c(diǎn)M在直線QA匕貝U勺M=*如，即y±，可得

K—3K—3JX|+Z

"=工=筆'同理可得"含U'而=（T〃?）?麗=（一3，江