2024年高考數(shù)學(xué)考前押題及答案解析

2024年高考數(shù)學(xué)考前押題

1.如圖所示，在正三棱柱A8C-4B1。中，AB=AA\^2,E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn).

(1)求證：BiCi〃平面4ER

(2)若點(diǎn)G是線段BICI的中點(diǎn)，求二面角Ai-E尸-G的正弦值.

【分析】(1)證明E尸〃8C,說明E尸〃BiCi.然后證明為。〃平面41EF.

(2)向量法：以尸為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系尸求出平面4EF的一個(gè)法向量，

平面GEF的一個(gè)法向量，設(shè)二面角Ai-EF-G的平面角為。，利用空間向量的數(shù)量積求

解二面角Ai-EF-G的正弦值即可.

幾何法：在正三棱柱ABC-A出1。中，取BC中點(diǎn)。，連接AZ),且40nM=0,連接

40,G0,說明/40G即為二面角4-E尸-G的平面角，記為0.連接41G,通過求

解三角形△4OG中，推出結(jié)果.

【解答】解：(1)證明：在正三棱柱ABC-A181cl中，BC//B\C\.

,：E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，

尸是△ABC的中位線，J.EF//BC.

又,：BC〃B\Ci,：.EF//B\C\.

又物C1C平面4EF,EFu平面4EF,

.,.BlCl〃平面AiEF.

(2)向量法：

在正三棱柱ABC-4&C1中，

取4。的中點(diǎn)4,連接我"，則"/〃CC1.

在正△ABC中，連接FB,plijFB±AC.

又因?yàn)锳8=A4=2,

所以FB=遮，F(xiàn)C=1.

如圖，以尸為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系尸-xyz.

4](0,—1/2),E0)，尸(。，0/0)/G(-^/2)A]E=(-^，

T——>-1

2)，A],F=(0，1/—2)，GE-(0,—1，—2)，GF=(—工,—]，—2).

設(shè)益=(%,y,z)為平面AiE/7的一個(gè)法向量,

J61

則:"'=個(gè)+2，~=。.令zj則入=孕產(chǎn)2.

(m-ArF=y-2z=0

?*?nr=(―^―,2,1),

同理可求，平面GEF的一個(gè)法向量為：￡=(竽，2,-1).

設(shè)二面角Ai-EF-G的平面角為0,

i+4-l,_13

cosd—I-7=~I卞

8V3

所以二面角Ai-EF-G的正弦值為一.

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幾何法：

在正三棱柱ABC-4&C1中，

取BC中點(diǎn)。，連接AO,且AOAEF=O,

連接40,GO,

則AQ_LBC,又A4i_LBC,AA\QAD=A,

；.8C_L平面AiOG.

由(1)知：EF//BC,

；.EF_L平面40G.

...N40G即為二面角4-EF-G的平面角，記為6.

,GO=I4+,=A-^G=y/3)

連接4G,ZUiOG中，&0=

￥+*■3「3

由余弦定理得:

2x掣x孥一好

所以二面角40-G的正弦值為行

【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空

間想象能力，邏輯推理能力以及計(jì)算能力，是中檔題.

2.如圖，在四棱錐P-ABC。中，側(cè)面左BJ_底面A8C。，底面ABC。是直角梯形，AD//

BC,AB±BC,ZPAB=nO°,PA=AD=AB=19BC=2.

(1)證明：平面PBC_L平面處8；

(2)在線段P8上是否存在點(diǎn)M,使得直線AM與平面尸8。所成角的正弦值為手？若

存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理可得，8C,平面ABP,由面面垂直的判定定理證

明即可;

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，PM=APB(^0<A<1),

求出直線的方向向量和平面法向量，由已知條件列出等式，求解即可.

【解答】(1)證明：因?yàn)槠矫嫖?,平面ABCD,且平面％8n平面A8CO=A8,

因?yàn)?C_LAB,BCu平面ABC。，

所以8C_L平面ABP,

又因?yàn)锽Cu平面P8C,

所以平面P8C_L平面PAB-.

(2)解：在平面內(nèi)，過點(diǎn)A作A&LA8交尸8于點(diǎn)E,則可知AE_L平面A8CZ),

以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

由NMB=120°,R\=AD=AB=\,BC=2,

故點(diǎn)P(一稱,0,暮)，B(點(diǎn)0,0),C(l,2,0),D(0,1,0),

所以DP=(—2,—1,,DB=(1,—1/0),PB=(,，0，-,

設(shè)藍(lán)=(x,y,z)為平面PBD的法向量，

則有色."=0,即卜*y+^z=0,

堵?DB=0(%-y=0

取1=1,則y=l,z=V3,

故幾=(1,LV3),

設(shè)京=4而(0W441),

m.i.,34-1>/3(1-4)、

則力M=AP+PM=(―2—,n0,—~~-)，

因?yàn)橹本€AM與平面PBD所成角的正弦值為《一,

貝ij|cos<AM,n>\=-27=j=------=-r-,

\AM\\n\J3#一32+1x75

解得4=4或A=I，

故存在點(diǎn)M滿足題意，此時(shí)PM=萼或PM=竽.

【點(diǎn)評】本題考查了面面垂直的證明和線面角的應(yīng)用，在求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候，

一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于

中檔題.

3.如圖，四棱錐P-ABC。的底面ABC。內(nèi)接于半徑為2的圓。，A8為圓0的直徑，AB

//CD,2DC=AB,E為AB上一點(diǎn)，PE_L平面ABCQ,EDVAB,PE=EB.求:

(1)四棱錐尸-48C。的體積；

(2)銳二面角C-P8-。的余弦值.

【分析】(1)連接00，OC,△OOC是正三角形，求出底面面積和高，即可求解四棱錐

P-ABCC的體積.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系E-肛z,求出平面P8。的法向量，平面P8C的法向量，利用

空間向量的數(shù)量積求解銳二面角C-PB-。的余弦值.

【解答】解：(1)連接0。，0C,易得△0DC是正三角形，

"."AB//CD,：.ZA0D=ZODC=60°,

:EDLAB,：.ED=V3,E0=l,；.PE=EB=3,

:,SABCD=)x(2+4)xg=373,

**?^P-ABCD=WX3V3X3=3V3,

???四棱錐P-ABCD的體積為3次.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

貝ijB(0,3,0),C(國，2,0),。(遮，0,0),P(0,0,3),

：.BD=(V3,-3,0),PB=(0,3,-3),BC=(V3,-1,0),

設(shè)平面PBO的法向量為元=(無廣yr,Zi),

由,皆,"1一O，即"1二。，取y]=l,則X]=依，zi=l,得元=(遮，1,1),

IpB-n^O(3%-3=0

設(shè)平面P8C的法向量為電=(x2,y2>z2)>

由呼.弓一0,gp(V3x2-y2-0取,2=1,則X2=空,Z2