2020-2021學年新教材高中數(shù)學導數(shù)及其應用6.1導數(shù)6.1.3基本初等函數(shù)的導數(shù)課時素養(yǎng)檢測含解析

十五基本初等函數(shù)的導數(shù)(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)1.曲線y=xn在x=2處的導數(shù)為12,則n等于 ()A.1B.2【解析】選C.y=xn求導,得y′=nxn-1,令n·2n-1=12,解得n=3.2.下列命題中正確的是 ()①若f′(x)=cosx,則f(x)=sinx;②若f′(x)=0,則f(x)=1;③若f(x)=sinx,則f′(x)=cosx;④若f(x)=QUOTE,則f′(x)=QUOTE.A.① B.①② C.③ D.①②③④【解析】選C.①當f(x)=sinx+1時,f′(x)=cosx;②當f(x)=2時,f′(x)=0;④若f(x)=QUOTE,則f′(x)=-QUOTE.3.若f(x)=sinx,f′(α)=QUOTE,則下列α的值中滿足條件的是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】選A.因為f(x)=sinx,所以f′(x)=cosx.又因為f′(α)=cosα=QUOTE,所以α=2kπ±QUOTE(k∈Z).當k=0時,α=QUOTE.4.函數(shù)y=ex在點(2,e2)處的切線與坐標軸圍成三角形的面積為 ()A.QUOTEe222D.QUOTE【解析】選D.因為當x=2時,y′=e2,所以切線方程為y-e2=e2(x-2).當x=0時,y=-e2,QUOTE×|-e2|×1=QUOTE.5.對任意的x,有f′(x)=4x3,f(1)=-1,則此函數(shù)解析式可以為 ()A.f(x)=x3 B.f(x)=x4-2C.f(x)=x3+1 D.f(x)=x4-1【解析】′(x)=4x3知f(x)中含有x4項,所以A,C不正確,然后將x=1代入B,D中驗證可得B正確.6.(多選題)若f(x)=x2,g(x)=x3,則能滿足g′(x)-f′(x)>0的區(qū)間有 ()A.(-∞,0) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】′(x)=3x2,f′(x)=2x,由g′(x)-f′(x)>0,得3x2-2x>0,得x>QUOTE或x<0.二、填空題(每小題5分,共10分)7.曲線y=lnx在點M(e,1)處的切線的斜率是________;切線方程為________.

【解析】由題得f′(x)=QUOTE,所以切線的斜率為QUOTE,所以切線的方程為y-1=QUOTE(x-e),即x-ey=0.答案:QUOTEx-ey=08.若質(zhì)點P的運動方程是s=t2,則質(zhì)點P在t=8時的瞬時速度為________.

【解析】由s=t2得s′=2t,所以v=2t.所以t=8時,v=16.答案:16三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知f(x)=lnx,g(x)=x2,求適合f′(x)+1=g′(x)的x值.【解析】因為f′(x)=QUOTE,g′(x)=2x,又f′(x)+1=g′(x),所以QUOTE+1-2x=0,2x2-x-1=0,得x=1或x=-QUOTE(舍),所以x的值為1.10.已知曲線y=5QUOTE,求:(1)這條曲線與直線y=2x-4平行的切線方程.(2)過點P(0,5)且與曲線相切的切線方程.【解析】(1)設切點為(x0,y0),由y=5QUOTE,得y′=QUOTE,所以切線斜率為QUOTE,因為切線與直線y=2x-4平行,所以QUOTE=2.所以x0=QUOTE,所以y0=QUOTE.則所求切線方程為y-QUOTE=2QUOTE,即16x-8y+25=0.(2)因為點P(0,5)不在曲線y=5QUOTE上,設切點坐標為M(t,u),則切線斜率為QUOTE,又切線斜率為QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以2t-2QUOTE=t,又t≠0,解得t=4.所以切點為M(4,10),斜率為QUOTE.所以切線方程為y-10=QUOTE(x-4),即5x-4y+20=0.【補償訓練】過已知直線x-y-4=0上的任意一點P作曲線y=x2的切線,切點分別為A,B,求證:直線AB過定點.【證明】因為點P是已知直線x-y-4=0上的任意一點,所以設P(m,m-4),又設A(x1,y1),B(x2,y2),因為y=x2,所以y′=2x,所以切線AP的方程為y-y1=2x1(x-x1),即y+y1=2x1x,同理可得切線BP的方程為y+y2=2x2x,因為AP,BP都經(jīng)過點P,所以m-4+y1=2x1m,m-4+y2=2x2m,這兩個式子說明(x1,y1),(x2,y2)都是方程m-4+y=2xm的解,也就是直線m-4+y=2xm經(jīng)過兩個點A(x1,y1),B(x2,y2),所以直線AB的方程為m-4+y=2xm,即m(1-2x)+(-4+y)=0經(jīng)過定點QUOTE.所以直線AB過定點QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.滿足fQUOTE=f′QUOTE的函數(shù)fQUOTE可以是 ()QUOTE=log1920 QUOTE=QUOTEQUOTE=x20 QUOTE=ex【解析】選D.利用求導公式可得只有D滿足fQUOTE=f′QUOTE.2.已知函數(shù)f1(x)=sinx,fn+1(x)=fn′(x),則f2021QUOTE= ()QUOTE QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】1(x)=sinx,fn+1(x)=fn′(x),故f2(x)=cosx,f3(x)=-sinx,f4(x)=-cosx,f5(x)=sinx,周期為4,故f2021(x)=f1(x)=sinx,f2021QUOTE=sinQUOTE=QUOTE.3.正弦曲線y=sinx上一點P,以點P為切點的切線為直線l,則直線l的傾斜角的范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE∪QUOTE D.QUOTE∪QUOTE【解析】選C.設P(x0,y0),因為y′QUOTE=cosx0,所以直線l的斜率k=cosx0∈[-1,1].又直線l的傾斜角α∈[0,π),所以0≤α≤QUOTE或QUOTE≤α<π.4.已知直線y=3x+1與曲線y=ax3+3相切,則a的值為 () B.±1 【解析】選A.設切點為(x0,y0),則y0=3x0+1,且y0=aQUOTE+3,所以3x0+1=aQUOTE+3…①.對y=ax3+3求導得y′=3ax2,則3aQUOTE=3,aQUOTE=1…②,由①②可得x0=1,所以a=1.二、填空題(每小題5分,共20分)5.曲線y=QUOTE在Q(16,8)處的切線的斜率是________.

【解析】因為y=QUOTE,所以y′=QUOTE,所以在點Q(16,8)處的切線的斜率為QUOTE.答案:QUOTE6.在平面直角坐標系xOy中,點A在曲線y=lnx上,且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點(-e,-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則點A的坐標是________.

【解析】因為y=lnx,所以y′=QUOTE(x>0),設A(x0,lnx0),則在點A處的切線方程為y-lnx0=QUOTE(x-x0),化簡為y=QUOTEx+lnx0-1,因為切線過點(-e,-1),所以-1=QUOTE(-e)+lnx0-1,所以lnx0-QUOTE=0,所以x0=e時方程成立,又因為y=lnx-QUOTE遞增(x>0),所以方程有唯一解x0=e,A(e,1).答案:(e,1)7.已知直線y=kx是曲線y=3x的切線,則k的值為________.

【解析】設切點為(x0,y0).因為y′=3xln3,所以k=QUOTEln3,所以y=(QUOTEln3)·x,又因為(x0,y0)在曲線y=3x上,所以QUOTEln3·x0=QUOTE,所以x0=QUOTE=log3e.所以k=eln3.答案:eln38.已知函數(shù)y=f(x)的圖像在M(1,f(1))處的切線方程是y=QUOTEx+2,則f(1)+f′(1)=________.

【解析】依題意知,f(1)=QUOTE×1+2=QUOTE,f′(1)=QUOTE,所以f(1)+f′(1)=QUOTE+QUOTE=3.答案:3三、解答題(每小題10分,共30分)9.若曲線y=QUOTE在點(a,QUOTE)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18,求實數(shù)a的值.【解析】因為y′=-QUOTE·QUOTE,所以y′|x=a=-QUOTE·QUOTE,所以在點(a,QUOTE)處的切線方程為y-QUOTE=-QUOTE·QUOTE·(x-a).令x=0,得y=QUOTE,令y=0,得x=3a,所以QUOTE×3a×QUOTE=18,解得a=64.10.過點P(-1,0)作直線l與曲線C1:y=QUOTE和曲線C2:y=x2+x+c都相切,求c的值.【解析】設直線l與曲線C1:y=QUOTE相切于點M(x0,y0),則QUOTE=QUOTE,又y0=QUOTE,解得x0=1,y0=1,所以切點為(1,1),切線l的方程為y=QUOTE(x+1),因為直線l與曲線C2:y=x2+x+c相切,所以由方程組QUOTE消元整理得x2+QUOTEx+c-QUOTE=0,所以判別式Δ=QUOTE-4QUOTE=0,所以c=QUOTE.11.設拋物線y=x2與直線y=x+a(a是常數(shù))有兩個不同的交點,記拋物線在兩交點處切線分別為l1,l2,求a值變化時l1與l2交點的軌跡.【解析】將y=x+a代入y=x2整理得x2-x-a=0,①因為直線與