考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷2（共98題）

考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷2（共4套）（共98題）考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、微分方程y〞－4y＝χ＋2的通解為()．A、(C1＋C2χ)e2χ－B、(C1＋C2χ)e-2χ－C、C1e-2χ＋C2e2χ－D、C1e-2χ＋C2e2χ－標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程y〞－4y＝0的特征方程為λ2－4＝0，特征值為－2，2，則方程y〞－4y＝0的通解為C1e－2χ＋C2e2χ，顯然方程y〞－4y＝χ＋2有特解，選D．2、設(shè)y(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ滿足初始條件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，則()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ中，令χ＝0，則y〞(0)＝2，于是，故選A．3、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y〞－2y′－3y＝(2χ＋1)e－χ的特解形式為()．A、(aχ＋b)e－χB、χ2e－χC、χ2(aχ＋b)e－χD、χ(aχ＋b)e－χ標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：方程y〞－2y′－3y＝(2χ＋1)e－χ的特征方程為λ2－2λ－3＝0，特征值為λ1＝－1，λ2＝3，故方程y〞－2y′－3y＝(2χ＋1)e－χ的特解形式為χ(aχ＋b)e－χ，選D．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、微分方程χy′＝＋y的通解為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：arcsin＝ln｜χ｜＋C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e-4χ＋χ2＋3χ＋2，則Q(χ)＝_______，該微分方程的通解為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－12χ2－34χ－19；y＝C1e－4χ＋C2e3χ＋χ2＋3χ＋2(其中C1，C2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：顯然λ＝－4是特征方程λ2＋λ＋q＝0的解，故q＝－12，即特征方程為λ2＋λ－12＝0，特征值為λ1＝－4，λ2＝3．因?yàn)棣?＋3χ＋2為特征方程y〞＋y′－12y＝Q(χ)的一個(gè)特解，所以Q(χ)＝2＋2χ＋3－12(χ2＋3χ＋2)＝－12χ2－34χ－19，且通解為y＝C1e－4χ＋C2e3χ＋χ2＋3χ＋2(其中C1，C2為任意常數(shù))．6、以y＝C1e-2χ＋C2eχ＋cosχ為通解的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y〞＋y′－2y＝－sinχ－3cosχ知識(shí)點(diǎn)解析：特征值為λ1＝－2，λ2＝1，特征方程為λ2＋λ－2＝0，設(shè)所求的微分方程為y〞＋y′－2y＝Q(χ)，把y＝cosχ代入原方程，得Q(χ)＝－sinχ－3cosχ，所求微分方程為y〞＋y′－2y＝－sinχ－3cosχ．7、設(shè)y〞－3y′＋ay＝－5e-χ的特解形式為Aχe-χ，則其通解為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C1e－χ＋C2e－4χ＋χe－χ知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榉匠逃刑亟釧χe－χ，所以－1為特征值，即(－1)2－3×(－1)＋a＝0，則推出a＝－4，所以特征方程為λ2＝－3λ－4＝0λ1＝－1，λ2＝4，齊次方程y〞－3y′＋ay＝0的通解為y＝C1e－χ＋C2e4χ，再把Aχe－χ代入原方程得A＝1，原方程的通解為y＝C1e－χ＋C2e－4χ＋χe－χ．8、設(shè)f(χ)可導(dǎo)，且∫01[f(χ)＋χ(χt)]dt＝1，則f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－χ知識(shí)點(diǎn)解析：由∫11[f(χ)＋χf(χt)]dt＝1得∫01f(χ)dt＋∫01f(χt)d(χt)＝1，整理得f(χ)＋∫0χf(u)du＝1，兩邊對(duì)χ求導(dǎo)得f′(χ)＋f(χ)＝0，解得f(χ)＝Ce－χ，因?yàn)閒(0)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝e－χ．9、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)滿足△y＝△χ＋o(△χ)，且有y(1)＝1，則∫02y(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由△y＝＋o(△χ)得函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)可微且y′＝，積分得因?yàn)閥(1)＝1，所以C＝0，于是y(χ)＝，故三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)10、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)二階可導(dǎo)，且y′≠0，χ＝χ(y)是y＝y(tǒng)(χ)的反函數(shù)．(1)將χ＝χ(y)所滿足的微分方程＝0變換為y＝y(tǒng)(χ)所滿足的微分方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)＝0，y′(0)＝的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：代入原方程得y〞－y＝sinχ，特征方程為r2－1＝0，特征根為r1,2＝±1，因?yàn)閕不是特征值，所以設(shè)特解為y*＝acosχ＋bsinχ，代入方程得a＝0，b＝－，故y*＝－sinχ，于是方程的通解為y＝C1eχ＋C2e－χ－sinχ，由初始條件得C1＝1，C2＝－1，滿足初始條件的特解為y＝eχ－e－χ－sinχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)函數(shù)f(χ，y)可微，＝－f(χ，y)，f(0，)＝1，且＝ecoty，求f(χ，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：解得f(0，y)＝Csiny．由f(0，)＝1，得C＝1，即f(0，y)＝siny．又由＝－f(χ，y)，得lnf(χ，y)＝－χ＋lnφ(y)，即f(χ，y)＝φ(y)e－χ，由f(0，y)＝siny，得Pφ(y)＝siny，所以f(χ，y)＝e－3siny．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)函數(shù)f(χ)(χ≥0)可微，且f(χ)＞0．將曲線y＝f(χ)，χ＝1，χ＝a(a＞1)及χ軸所圍成平面圖形繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體體積為[a2f(a)－f(1)]．若f(1)＝，求：(1)f(χ)；(2)f(χ)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由題設(shè)知π∫1af2(χ)dχ＝[a2－f(a)－f(1)]，兩邊對(duì)a求導(dǎo)，得3f2(a)＝2af(a)＋a2，令，即f(a)＝，由f(1)＝，得c＝－1，所以f(χ)＝．(2)因?yàn)閒′(χ)＝，令f′(χ)＝0，得χ＝，又因?yàn)閒〞()＜0，所以為極大值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)函數(shù)f(χ)滿足χf′(χ)－2f(χ)＝－χ，且由曲線y＝f(χ)，χ＝1及χ軸(χ≥0)所圍成的平面圖形為D．若D繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積最小，求：(1)曲線y＝f(χ)；(2)曲線在原點(diǎn)處的切線與曲線及直線χ＝1所圍成的平面圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由χf′(χ)－2f(χ)＝－χf(χ)＝χ＋cχ2．設(shè)平面圖形D繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V，則因?yàn)閂〞(c)＝＞0，所以c＝－為V(c)的最小值點(diǎn)，且曲線方程為fχ)＝χ－χ2．(2)f′(χ)＝1－χ，f′(0)＝1，曲線f(χ)＝χ－χ2在原點(diǎn)處的切線方程為y＝χ，則A＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、位于上半平面的上凹曲線y＝y(tǒng)(χ)過(guò)點(diǎn)(0，2)，在該點(diǎn)處的切線水平，曲線上任一點(diǎn)(χ，y)處的曲率與及1＋y′2之積成反比，比例系數(shù)為k＝，求y＝y(tǒng)(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閜(2)＝0，所以C1＝0，故y′＝P＝±，進(jìn)一步解得，因?yàn)閥(0)＝2，所以C2＝0，故曲線方程為y＝＋2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、一條曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，0)，且在切點(diǎn)與y軸之間的切線長(zhǎng)為2，求該曲線．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線在點(diǎn)(χ，y)處的切線方程為y－y＝y(tǒng)′(X－χ)，令X＝0，則Y＝y(tǒng)－χy′，切線與y軸的交點(diǎn)為(0，y－χy′)，南題χ2得χ2y′2，＝4，解得y′＝±，變量分離得dy＝±dχ，積分得y＝＋C因?yàn)榍€經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，0)，所以C＝0，故曲線為y＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)曲線L1與L2皆過(guò)點(diǎn)(1，1)，曲線L1在點(diǎn)(χ，y)處縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之商的變化率為2，曲線L2在點(diǎn)(χ，y)處縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之積的變化率為2，求兩曲線所圍成區(qū)域的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)曲線L1，由題意得＝2，解得y＝χ(2χ＋C1)，因?yàn)榍€L1過(guò)點(diǎn)(1，1)，所以C1＝－1，故L1：y＝2χ2－χ．對(duì)曲線L1，由題意得(χy)＝2，解得y＝，因?yàn)榍€L2過(guò)點(diǎn)(1，1)，所以C2＝－1，故L2：y＝2－．由2χ2－χ－2＝得兩條曲線的交點(diǎn)為(，0)及(1，1)，故兩條曲線所圍成區(qū)域的面積為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、用變量代換χ＝sint將方程(1－χ2)－4y＝0化為y關(guān)于t的方程，并求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：代入原方程得－4y＝0．－4y＝0的通解為y＝C1－2t＋C2e2t，故原方程的通解為y＝C1e－2arcsinχ＋C2e2arcsinχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、用變量代換χ＝lnt將方程＋e2χy＝0化為y關(guān)于t的方程，并求原方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：代入原方程得＋y＝0．＋y＝0的通解為y＝C1cost＋C2sint，故原方程的通解為y＝C1coseχ＋C2sineχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(diǎn)(χ，y)處的曲率為，又此曲線上的點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y＝χ＋1，求該曲線方程，并求函數(shù)y(χ)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€是上凸的，所以y〞＜0，由題設(shè)得令y′＝p，y〞＝，則有＝－(1＋p2)arctanp＝C1－χ．因?yàn)榍€y＝y(tǒng)(χ)在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y＝χ＋1，所以P｜χ＝0＝1，從而y′＝tan(－χ)，積分得y＝ln｜c(diǎn)os(－χ)｜＋C2．因?yàn)榍€過(guò)點(diǎn)(0，1)，所以C2＝1＋，所求曲線為y＝lncos(－χ)＋1＋，χ∈()．因?yàn)閏os(－χ)≤1，所以當(dāng)χ＝時(shí)函數(shù)取得極大值1＋．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、飛機(jī)以勻速v沿y軸正向飛行，當(dāng)飛機(jī)行至O時(shí)被發(fā)現(xiàn)，隨即從χ軸上(χ0，0)處發(fā)射一枚導(dǎo)彈向飛機(jī)飛去(χ0＞0)，若導(dǎo)彈方向始終指向飛機(jī)，且速度大小為2v．(1)求導(dǎo)彈運(yùn)行的軌跡滿足的微分方程及初始條件；(2)導(dǎo)彈運(yùn)行方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)t時(shí)刻導(dǎo)彈的位置為M(χ，y)，根據(jù)題意得，兩邊對(duì)χ求導(dǎo)數(shù)得所以導(dǎo)彈運(yùn)行軌跡滿足的微分方程及初始條件為(2)令，則故軌跡方程為y＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、細(xì)菌的增長(zhǎng)率與總數(shù)成正比．如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在24h內(nèi)由100增長(zhǎng)到400，求前12h后的細(xì)菌總數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻細(xì)菌總數(shù)為S，則有＝kS，S(0)＝100，S(24)＝400，所以S＝，S(12)＝100eln2＝200．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、某湖泊水量為V，每年排入湖泊中內(nèi)含污染物A的污水量為，流入湖泊內(nèi)不含A的水量為，流出湖的水量為．設(shè)1999年底湖中A的含量為5m0，超過(guò)國(guó)家規(guī)定指標(biāo)．為了治理污染，從2000年初開(kāi)始，限定排入湖中含A污水的濃度不超過(guò)．問(wèn)至多經(jīng)過(guò)多少年，湖中污染物A的含量降到m0以內(nèi)(設(shè)湖中A的濃度是均勻的)?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)從2000年初開(kāi)始，第t年湖中污染物A的總量為m，則濃度為，任取時(shí)間元素[t，t＋dt]，排入湖中污染物A的含量為，流出湖的污染物A的含量為，則在此時(shí)間元素內(nèi)污染物A的改變量為，解得m＝又由m(0)＝5m0，得C＝－，于是m＝，令m＝m0，得t＝6ln3，即至多經(jīng)過(guò)7年，湖中污染物A的含量不超過(guò)m0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、在t＝0時(shí)，兩只桶內(nèi)各裝10L的鹽水，鹽的濃度為15g／L，用管子以2L／min的速度將凈水輸入到第一只桶內(nèi)，攪拌均勻后的混合液又由管子以2L／min的速度被輸送到第二只桶內(nèi)，再將混合液攪拌均勻，然后用1L／min的速度輸出．求在任意時(shí)刻t＞0，從第二只桶內(nèi)流出的水中含鹽所滿足的微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)在任意時(shí)刻t＞0，第一只桶和第二只桶內(nèi)含鹽分別為，m1(t)，m2(t)，在時(shí)間[t，t＋dt]內(nèi)有dm1＝－×2×dt，即＝0，且滿足初始條件，m1(0)＝150，解得m1(t)＝；在時(shí)間[t，t＋dt]內(nèi)有，且滿足初始條件m2(0)＝150．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、某人的食量是2500卡／天(1卡＝4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陳代謝．在健身運(yùn)動(dòng)中，他所消耗的為16卡／千克／天乘以他的體重．假設(shè)以脂肪形式儲(chǔ)存的熱量百分之百有效，而一千克脂肪含熱量10000卡，求該人體重怎樣隨時(shí)間變化．標(biāo)準(zhǔn)答案：輸入率為2500卡／天，輸出率為(1200＋16w)，其中w為體重，根據(jù)題意得，ω(0)＝ω0，由，得w(t)＝，代入初始條件得C＝w0－，于是w(t)＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、一條均勻鏈條掛在一個(gè)無(wú)摩擦的釘子上，鏈條長(zhǎng)18m，運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)鏈條一邊下垂8m，另一邊下垂10m，問(wèn)整個(gè)鏈條滑過(guò)釘子需要多長(zhǎng)時(shí)間?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)鏈條的線密度為ρ，取χ軸正向?yàn)榇怪毕蛳?，設(shè)t時(shí)刻鏈條下垂χ(t)m，則下垂那段的長(zhǎng)度為(10＋χ)m，另一段長(zhǎng)度為(8－χ)m，此時(shí)鏈條受到的重力為(10＋χ)ρg－(8－χ)ρg＝2(χ＋1)ρg．鏈條的總重量為18ρ，由牛頓第二定理F＝ma得，且χ(0)＝0，χ′(0)＝0，解得χ(t)＝，當(dāng)鏈條滑過(guò)整個(gè)釘子時(shí)，χ＝8，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、質(zhì)量為1g的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng)，外力和時(shí)間成正比，和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度成反比，在t＝10s時(shí)，速度等于50cm／s．外力為39．2cm／s2，問(wèn)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始1min后的速度是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得F＝k，因?yàn)楫?dāng)t＝10時(shí)，v＝50，F(xiàn)＝39．2，所以k＝196，從而F＝196，又因?yàn)镕＝m，所以，分離變量得vdv＝196tdt，所以v2＝98t2＋C，由v｜t＝10＝50，得C＝－8550，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)非負(fù)函數(shù)f(χ)當(dāng)χ≥0時(shí)連續(xù)可微，且f(0)＝1．由y＝f(χ)，χ軸，y軸及過(guò)點(diǎn)(χ，0)且垂直于χ軸的直線圍成的圖形的面積與y＝f(χ)在[0，χ]上弧的長(zhǎng)度相等，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意得∫0χf(t)dt＝，所以分離變量得＝±dχ，積分得lnC(y＋)＝±χ，或者C(y＋)＝e±χ，由y(0)＝1，得C＝1，所以y＋＝e±χ，解得y＝＝chχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)函數(shù)f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)＝1且有f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2χ∫01f(tχ)dt＋e－χ＝0，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣帧?1f(tχ)dt＝∫0χf(u)du，所以f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2χ∫01f(tχ)dt＋e－χ＝0可化為f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2∫0χf(t)dt＋e－χ＝0，兩邊對(duì)χ求導(dǎo)得f〞(χ)＋3f′(χ)＋2f(χ)＝e－χ，由λ2＋3λ＋2＝0得λ1＝－1，λ2＝－2，則方程f〞(χ)＋3f′(χ)＋2f(χ)＝0的通解為C1e－χ＋C2e－2χ．令f〞(χ)＋3f′(χ)＋2f(χ)＝e－χ的一個(gè)特解為y0＝aχe－χ，代入得a＝1，則原方程的通解為f(χ)＝C1e－χ＋C2e－2χ＋χe－χ．由f(0)＝1，f′(0)＝－1得C1＝0，C2＝1，故原方程的解為f(χ)＝e－2χ＋χe－χ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、早晨開(kāi)始下雪整天不停，中午一掃雪車(chē)開(kāi)始掃雪，每小時(shí)掃雪體積為常數(shù)，到下午2點(diǎn)掃雪2km，到下午4點(diǎn)又掃雪1km，問(wèn)降雪是什么時(shí)候開(kāi)始的?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)單位面積在單位時(shí)間內(nèi)降雪量為a，路寬為b，掃雪速度為c，路面上雪層厚度為H(t)，掃雪車(chē)前進(jìn)路程為S(t)，降雪開(kāi)始時(shí)間為T(mén)，則H(t)＝a(t－T)，又b×H(t)×△s＝c×△t，且S(12)＝0，S(14)＝2，S(16)＝3，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)曲線y=y(x)滿足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)與直線x=1及x軸所圍的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最小，則y(x)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原方程可化為其通解為曲線y=x+Cx2與直線x=1及x軸所圍區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V(C)=π∫01(x+Cx2)2=令V’(C)=，得。故是唯一的極值點(diǎn)，則為最小值點(diǎn)，所以。故選C。2、設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)y1，y2，y3都是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3。B、C1y1+C2y2一(C1+C2)y3。C、C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3。D、C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥1，y2，y3是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)線性無(wú)關(guān)的解，所以(y1一y3)，(y2—y3)都是齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)與(y2一y3)線性無(wú)關(guān)，因此該齊次線性方程的通解為y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)。比較四個(gè)選項(xiàng)，且由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，故選D。3、在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C2sin2x(C1，C2，C3為任意常數(shù))為通解的是()A、y’’’+y’’一4y’一4y=0。B、y’’’+y’’+4y’+4y=0。C、y’’’一y’’一4y’+4y=0。D、y’’’一y’’+4y’一4y=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：已知題設(shè)的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x，可知齊次線性方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根為λ=1，λ=±2i，所以特征方程為(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=0，即λ3一λ2+4λ一4=0。因此根據(jù)微分方程和對(duì)應(yīng)特征方程的關(guān)系，可知所求微分方程為y’’’一y’’+4y’一4y=0。故選D。4、方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式為()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：齊次微分方程y’’一3y’+2y=0的特征方程為λ2一3λ+2=0，特征根為λ1=1，λ2=2，則方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解為y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。故選D。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)5、微分方程的通解是______。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=Cxe—x(x≠0)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程等價(jià)為兩邊積分得ln｜y｜=ln｜x｜一x+C。取C=eC1，整理得y=Cxe—x(x≠0)。6、微分方程xy’+y=0滿足初始條件y(1)=2的特解為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：原方程可化為(xy)’=0，積分得xy=c，代入初始條件得c=2，故所求特解為xy=2，即。7、微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：(x+C)cosx知識(shí)點(diǎn)解析：直接利用一階線性微分方程的通解公式可知y=e—∫tanxdx(∫cosx·e∫tanxdx+C)=(x+C)cosx。8、微分方程y’+y=e—xcosx滿足條件y(0)=0的特解為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e—xsinx知識(shí)點(diǎn)解析：原方程的通解為y=e—∫ldx(∫e—xcosx·e∫ldxdx+C)=e—x(∫cosxdx+C)=e—x(sinx+C)。由y(0)=0得C=0，故所求解為y=e—xsinx。9、微分方程(y+x3)dx一2xdy=0滿足y｜x=1=的特解為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：原方程變形為由一階線性微分方程通解公式得由得C=1，因此所求的解為10、已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，則該方程的通解為y=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x知識(shí)點(diǎn)解析：顯然y1一y3=e3x和y2一y3=ex是對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，且y*=一xe2x是非齊次微分方程的一個(gè)特解。由解的結(jié)構(gòu)定理，該方程的通解為y=C1e3x+C2ex一xe2x。11、微分方程y’’一y’+=0的通解為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：二階齊次微分方程的特征方程為λ2一λ+=0，解方程得λ1=λ2=。因此齊次方程的通解為。12、微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)的特征方程為λ2一2λ+2=0，解得其特征根為λ1，2=1±i。由于α=1不是特征根，可設(shè)原方程的特解為y*=Aex，代入原方程解得A=1。因此所求的通解為y=C1excosx+C2exsinx+ex。13、若二階常系數(shù)齊次線性微分方程y’’+ay’+by=0的通解為y=(C1+C2x)ex，則非齊次方程y’’+ay’+by=x滿足條件y(0)=2，y’(0)=0的特解為y=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：x(1一ex)+2知識(shí)點(diǎn)解析：由常系數(shù)齊次線性微分方程y’’+ay’+by=0的通解為y=(C1+C2x)ex可知y1=ex，y2=xex為其兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，代入齊次方程，有y’’1+ay’1+by1=(1+a+b)ex=0=>1+a+b=0，y’’2+ay’2+by2=[2+a+(1+a+b)x]ex=0=>2+a=0，從而a=一2，b=1，故非齊次微分方程為y’’+ay’+by=x。設(shè)特解y*=Ax+B，代入非齊次微分方程，得一2A+Ax+B=x，即Ax+(一2A+B)=x所以特解為y*=x+2，非齊次方程的通解為y=(C1+C2x)ex+x+2。把y(0)=2，y’(0)=0代入通解，得C1=0，C2=一1。故所求特解為y=一xex+x+2=x(1一ex)+2。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)14、求微分方程y’’一3y’+2y=2xex的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：齊次方程y’’一3y’+2y=0的特征方程為λ2一3λ+2=0，由此得λ1=2，λ2=1。即對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為y=C1e2x+C2ex。設(shè)非齊次方程的特解為y*=(ax+b)xex，則有(y*)’=[ax2+(2a+b)x+b]ex，(y*)’’=[ax2+(4a+b)x+2a+2b]ex，代入原方程得a=一1，b=一2，因此所求解為y=C1e2x+C2ex一x(x+2)ex。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)函數(shù)y=y(x)在(一∞，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)。15、將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知，于是有代入原微分方程得y’’—y=sinx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=的特解。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程(*)所對(duì)應(yīng)的齊次方程y’’一y=0的通解為Y=C1ex+C2e—x。設(shè)方程(*)的特解為y*=Acosx+Bsinx．代入方程(*)，求得A=0，，故y*=sinx，因此y’’一y=sinx的通解是y=Y+y*=C1ex+C2e—x—。由y(0)=0，y’(0)=，得C1=1，C2=一1。故所求初值問(wèn)題的特解為y=ex—e—x一。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f’u(u，v)+f’v(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e—2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由y(x)=e—2xf(x，x)，有y’(x)=一2e—2xf(x，x)+e—2x[f’1(x，x)+f’2(x，x)]，由f’u(u，v)+f’v(u，v)=sin(u+v)eu+v可得f’1(x，x)+f’2(x，x)=(sin2x)e2x。于是y(x)滿足一階線性微分方程y’(x)+2y(x)=sin2x，通解為y(x)=e—2x(∫sin2x·e2xdx+C)，由分部積分公式，可得∫sin2x·e2xdx=(sin2x一cos2x)e2x，所以y(x)=(sin2x一cos2x)+C—2x。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足f’u(u，v)+f’v(u，v)=uv。求y(x)=e—2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由y(x)=e—2xf(x，x)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)有y’=一2e—2xf(x，x)+e—2xf’1(x，x)+e—2xf’2(x，x)=一2e—2xf(x，x)+e—2x[f’1(x，x)+f’2(x，x)]=一2y+e—2x[f’1(x，x)+f’2(x，x)]。已知f’u(u，v)+f’v(u，v)=uv，即f’1(u，v)+f’2(u，v)=uv，則f’1(x，x)+f’2(x，x)=x2。因此，y(x)滿足一階微分方程y’+2y=x2e—2x。由一階線性微分方程的通解公式得y=e∫2dx(∫x2e—2xe∫2dxdx+C)=e—2x(∫x2dx+C)=e—2x(C為任意常數(shù))。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)y=y(x)是區(qū)間(一π，π)內(nèi)過(guò)的光滑曲線，當(dāng)一π＜x＜0時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)0≤x＜π時(shí)，函數(shù)y(x)滿足y’’+y+x=0。求函數(shù)y(x)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，當(dāng)一π＜x＜0時(shí)，法線均過(guò)原點(diǎn)，所以有即ydy=一xdx，得y2=一x2+C。又代入y2=一x2+C得C=π2，從而有x2+y2=π2，即當(dāng)0≤x＜π時(shí)，y’’+y+x=0，得其對(duì)應(yīng)齊次微分方程y’’+y=0的通解為y*=C1cosx+C2sinx。設(shè)其特解為y1=Ax+B，則有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y1=一x是方程的特解，因此y’’+y+x=0的通解為y=C1cosx+C2sinx一x。因?yàn)閥=y(x)是(一π，π)內(nèi)的光滑曲線，故y在x=0處連續(xù)且可導(dǎo)，所以由已知得y｜x=0=π，y’｜x=0=0，故得C1=π，C2=1，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)其上任一點(diǎn)P(x，y)處的法線與y軸的交點(diǎn)為Q，且線段PQ被x軸平分。求曲線y=f(x)的方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x，y)處的法線方程為令x=0，則它與y軸的交點(diǎn)為。由題意，此點(diǎn)與點(diǎn)P(x，y)所連的線段被x軸平分，由中點(diǎn)公式得，即2ydy+xdx=0，上式兩端積分得(C為任意常數(shù))，代入初始條件得故曲線y=f(x)的方程為即x2+2y2=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析在xOy坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線L過(guò)點(diǎn)M(1，0)，其上任意點(diǎn)P(x，y)(x≠0)處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax(常數(shù)a＞0)。21、求L的方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線L的方程為y=f(x)，則由題設(shè)可得這是一階線性微分方程，其中，Q(x)=ax，代入通解公式得=x(ax+C)=ax2+Cx，又f(1)=0，所以C=一a。故曲線L的方程為y=ax2一ax(x≠0)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、當(dāng)L與直線y=ax所圍成平面圖形的面積為時(shí)，確定a的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：L與直線y=ax(a＞0)所圍成的平面圖形如圖所示。所以D=∫02[ax一(ax2一ax)]dx=a∫02(2x—x2)dx=，故a=2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)L是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)P(x，y)(x＞0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離恒等于該點(diǎn)處的切線在y軸上的截距，且L經(jīng)過(guò)點(diǎn)。23、試求曲線L的方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線L過(guò)點(diǎn)p(x，y)的切線方程為Y一y=y’(X一x)，令X=0，則Y=一xy’+y，即它在y軸上的截距為一xy’+y。根據(jù)距離公式，點(diǎn)P(x，y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為。故由題設(shè)條件得即得此為一階齊次微分方程，令y=ux，則代入上式，方程變?yōu)閮啥送瑫r(shí)積分得=一lnx+C，即把代入上式，得由題設(shè)曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，解得，故所求方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求L位于第一象限部分的一條切線，使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形面積最小。標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題知曲線的方程為則y’一2x，點(diǎn)P(x，y)=，所以在點(diǎn)P處的切線方程為Y一(一x2)=一2x(X一x)，分別令X=0，Y=0，解得在y軸，x軸上的截距分別為此切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為由于該曲線在第一象限中與兩坐標(biāo)軸所圍成的面積為定值，記為S0，于是題中所求的面積為S(x)=A(x)一S0=(4x2+1)2—S0，求最值點(diǎn)時(shí)與S0無(wú)關(guān)，而令S’(x)=0，得。當(dāng)時(shí)，S’(x)＜0；當(dāng)時(shí)，S’(x)＞0。根據(jù)極值存在的第一充分條件知，是S(x)在x＞0時(shí)的唯一極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)，于是所求切線方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、微分方程xdy+2ydx=0滿足初始條件y｜x=2=1的特解為()A、xy2=4。B、xy=4。C、x2y=4。D、一xy=4。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原微分方程分離變量得，兩端積分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，將y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解為x2y=4。故選C。2、設(shè)y1，y2是一階線性非齊次微分方程y’+p(x)y=q(x)的兩個(gè)特解，若常數(shù)λ，μ使λy1+μy2是該方程的解，λy1一μy2是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件可得由λy1+λy2仍是該方程的解，得(λy’1+μy’2)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)q(x)，則λ+μ=1。由λy1一μy2是所對(duì)應(yīng)齊次方程的解，得(λy’1一μy’2)+p(x)(λy1一μy1)=(λ一μ)q(x)，則λ一μ=0。綜上所述。故選A。3、具有特解y1=e—x，y2=2xex，y3=3ex的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是()A、y’’’一y’’一y’+y=0。B、y’’’+y’’一y’一y=0。C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0。D、y’’’一2y’’一y’+2y=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由y1=e—x，y2=2xe—x，y3=3ex是所求方程的三個(gè)特解知，λ=一1，一1，1為所求三階常系數(shù)齊次微分方程的特征方程的三個(gè)根，則其特征方程為(λ一1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2一λ一1=0，對(duì)應(yīng)的微分方程為y’’’+y’’一y’一y=0。故選B。4、若y=xex+x是微分方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，則()A、a=1，b=1，c=1。B、a=1，b=1，c=一2。C、a=一3，b=一3，c=0。D、a=一3，b=1，c=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于y=xex+x是方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，則xex是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，其特征方程有二重根λ1=λ2=1，則a=1。x為非齊次方程的解，將y=x代入方程y’’一2y’+y=bx+c，得b=1，c=一2。故選B。5、微分方程y’’一λ2y=eλx+e—λx(λ＞0)的特解形式為()A、a(eλx+e—λx)。B、ax(eλx+e—λx)。C、x(aeλx+be—λx)。D、x2(aeλx+be—λx)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2一λ2=0，其特征根為r1，2=±λ，所以y’’一λ2y=eλx的特解為y1*=axeλx，y’’一λ2y=eλ2x的特解為y2*=bxe—λx，根據(jù)疊加原理可知原方程的特解形式為y*=y1*+y2*=x(aeλx+be—λx)。故選C。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)6、微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將已知微分方程變形整理得，則有兩邊積分可得因此7、微分方程滿足初始條件y(1)=1的特解是y=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：xe1—x知識(shí)點(diǎn)解析：此方程為一階齊次微分方程，令y=ux，則有所以原方程可化為，u｜x=1=1。解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去絕對(duì)值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，將u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1—x，因此原方程的解為y=xe1—x。8、微分方程xy’+2y=sinx滿足條件y｜x=π=的特解為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將已知方程變形整理得根據(jù)通解公式得由得C=0，因此9、微分方程(y+x2e—x)dx一xdy=0的通解是y=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：x(一e—x+C)知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程(y+x2e—x)dx一xdy=0，可變形為所以其通解為10、微分方程ydx+(x一3y2)dy=0，x＞0滿足條件y｜x=1的特解為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=y2知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)原微分方程變形可得，即此方程為一階線性微分方程，所以又y=1時(shí)x=1，解得C=0，因此x=y2。11、微分方程xy’’+3y’=0的通解為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令p=y’，則原方程化為其通解為p=Cx—3。因此y=∫Cx—3dx=12、微分方程y’’一4y=e2x的通解為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e—2x+(C2+)e2x知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特征方程為λ2一4=0，解得λ1=2，λ2=一2。故y’’一4y=0的通解為y1=C1e—2x+C2e2x，其中C1，C2為任意常數(shù)。由于非齊次項(xiàng)為f(x)=e2x，α=2為特征方程的單根，因此原方程的特解可設(shè)為y*=Axe2x，代入原方程可求出。故所求通解為y=C1e—2x+(C2+)e2x。13、微分方程y’’一3y’+2y=2ex滿足的特解為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=一3ex+3e2x一2xex知識(shí)點(diǎn)解析：y’’一3y’+2y=2ex對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程是λ2一3λ+2=0，它的兩個(gè)特征根分別是λ1=1，λ2=2。因此對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為y=C1ex+C2e2x。又因?yàn)閤=1是特征方程的單根，所以，設(shè)非齊次方程的特解為y*=Axex，則(y*)’=Aex+Axex，(y*)’’=2Aex+Axex，將以上三式代入方程得A=一2。因此，此非齊次線性微分方程的通解為y=C1ex+C2e2x一2xex。由所給題設(shè)條件可得y(0)=0，y’(0)=1，代入上式解得y=一3ex+3e2x一2xex。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、求微分方程(x2一1)dy+(2xy—cosx)dx=0滿足y(0)=1的解。標(biāo)準(zhǔn)答案：整理微分方程(x2一1)dy+(2xy一cosx)dx=0，得先解對(duì)應(yīng)的齊次方程解得ln｜y｜=一ln｜x2一1｜+C，即有將上式代入原微分方程得到故C(x)=sinx+c，則原微分方程的解為又因?yàn)閥(0)=1，代入上式得到c=一1，則原微分方程的解為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知函數(shù)f(x)滿足方程f''(x)+f'(x)一2f(x)=0及f''(x)+f(x)=2ex。15、求f(x)的表達(dá)式；標(biāo)準(zhǔn)答案：齊次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程為λ2+λ一2=0，特征根為λ1=1，λ2=一2，因此該齊次微分方程的通解為f(x)=C1ex+C2e—2x。再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex一3C2e—2x=2ex，因此C1=1，C2=0。所以f(x)的表達(dá)式為f(x)=ex。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求曲線y=f(x2)∫0xf(一t2)dt的拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線方程為y=ex2∫0xe—t2dt，則y’=1+2xex2∫0xe—t2dt=2x+2(1+2x2)ex2∫0xe—t2dt，令y’’=0得x=0。下面證明x=0是y’’=0唯一的解，當(dāng)x＞0時(shí)，2x＞0，2(1+2x2)ex2∫0xe—t2dt＞0，可知y’’＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，2x＜0，2(1+2x2)ex2∫0xe—t2dt＜0，可知y’’＜0?？芍獂=0是y’’=0唯一的解。同時(shí)，由上述討論可知曲線y=f(x2)∫0xf(一t2)dt在x=0左、右兩邊的凹凸性相反，因此(0，0)點(diǎn)是曲線y=f(x2)∫0xf(一t2)dt唯一的拐點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求微分方程y’’(x+y2)=y’滿足初始條件y(1)=y’(1)=1的特解。標(biāo)準(zhǔn)答案：因本題不含y，所以可設(shè)y’=p，于是y’’=p’，因此原方程變?yōu)閜’(x+p2)=p，從而有，解之得x=p(p+C)。將p(1)=1代入x=p(p+C)得C=0。于是x=p2，所以，從而結(jié)合y(1)=1得。故。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)上可導(dǎo)，f(0)=1，且滿足等式f'(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。18、求導(dǎo)數(shù)f’(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0。上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得(x+1)f’(x)=一(x+2)f’(x)，即有兩邊積分，得ln｜f’(x)｜=一x一ln(x+1)+C1，所以在題設(shè)等式中令x=0，得f’(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f’(0)=一1，代入f’(x)的表達(dá)式，得C=一1，故有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、證明當(dāng)x≥0時(shí)，成立不等式e—x≤f(x)≤1。標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題中結(jié)果知，當(dāng)x≥0時(shí)，f’(x)＜0，即f(x)單調(diào)減少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。設(shè)φ(x)=f(x)一e—x，則φ(0)=0，φ’(x)=f’(x)+e—x=，當(dāng)x≥0時(shí)，φ’(x)≥0，即φ(x)單調(diào)增加。因而φ(x)≥φ(0)=0，即有f(x)≥e—x。綜上所述，當(dāng)x≥0時(shí)，不等式e—x≤f(x)≤1成立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)f(x)連續(xù)并滿足f(t)=cos2t+∫0tsinsds，求f(t)。標(biāo)準(zhǔn)答案：因f(t)連續(xù)，因此∫0tf(s)sinsds可導(dǎo)，從而f(t)可導(dǎo)，于是f(t)=cos2t+∫01f(s)sinsds，所以利用公式f(t)=e∫sintdt(∫—2sin2t·e∫sintdt+C)，由f(0)=1得C=e。因此，f(t)=e1—cost+4(cost一1)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、用變量代換x=cost(0＜t＜π)化簡(jiǎn)微分方程(1一x2)y’’一xy’+y=0，并求其滿足y｜x=0=1，y’｜x=0=2的特解。標(biāo)準(zhǔn)答案：代入原方程，得解此微分方程，得y=C1cost+C2sint=C1x+，將y｜x=0=1，y’｜x=0=2代入，得C1=2，C2=1。故滿足條件的特解為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、利用代換將方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化簡(jiǎn)，并求出原方程的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由，得y’=u’secx+usecxtanx，y’’=u’’secx+2u’secxtanx+u(sectan2x+sec3x)，代入原方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex，得u’’+4u=ex。(*)先求其相應(yīng)齊次方程的通解。由于其特征方程為λ2+4=0，則特征方程的根為λ=±2i。所以通解為=C1cos2x+C2sin2x(C1，C2為任意常數(shù))。再求非齊次方程的特解。設(shè)其特解為u*(x)=Aex，代入(*)式，得(Aex)*+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex，解得A=，因此u*(x)=ex。故(*)的通解為u(x)=C1cos2x+C2sin2x+ex(C1，C2為任意常數(shù))。所以，原微分方程的通解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個(gè)不同的特解，則方程的通解為()A、y=Cy1(x)。B、y=Cy2(x)。C、y=C1y1(x)+C2y2(x)。D、y=C[y1(x)一y2(x)]。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個(gè)不同的特解，則y1(x)一y2(x)為該方程的一個(gè)非零解，則y=[y1(x)一y2(x)]為該方程的解。2、已知，y1=x，y2=x2，y3=ex為方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三個(gè)特解，則該方程的通解為()A、y=C1x+C2x2+ex。B、y=C1x2+C2ex+x。C、y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。D、y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：方程y’’+P(x)y’+g(x)y=f(x)是一個(gè)二階線性非齊次方程，則(x一x2)和(x一ex)為其對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則原方程通解為y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故選C。3、函數(shù)y=C1ex+C2e－2x+xex滿足的一個(gè)微分方程是()A、y’’一y’一2y=3xex。B、y’’一y’一2y=3ex。C、y’’+y’一2y=3xex。D、y’’+y’一2y=3ex。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)所給解的形式，可知原微分方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征根為λ1=1，λ2=一2。因此對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為λ2+λ一2=0，故對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為y’’+y’一2y=0。又因?yàn)閥*=xex為原微分方程的一個(gè)特解，而λ=1為特征根且為單根，故原非齊次線性微分方程右端的非齊次項(xiàng)形式為f(x)=Cex(C為常數(shù))。比較四個(gè)選項(xiàng)，應(yīng)選D。4、微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為()A、y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。B、y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)。C、y*=ax2+bx+c+Asinx。D、y*=ax2+bx+c+Acosx。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)齊次方程y’’+y=0的特征方程為λ2+1=0，特征根為λ=±i，對(duì)于方程y’’+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，從而其特解形式可設(shè)為y1*=ax2+bx+c，對(duì)于方程y’’+y=sinx，i為特征根，從而其特解形式可設(shè)為y2*=x(Asinx+Bcosx)，因此y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Beosx)。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)5、微分方程xy’=yln的通解為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x．eCx＋1知識(shí)點(diǎn)解析：令y=xμ，代入原方程，則有xμ’+μ=μlnμ,即，兩邊求積分，即得ln｜lnμ一1｜=ln｜x｜+C，去掉對(duì)數(shù)符號(hào)與絕對(duì)值符號(hào)得y=xeCx＋1，C為任意常數(shù)。6、微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：tany=C(ex一1)3知識(shí)點(diǎn)解析：兩邊同乘以，方程分離變量為積分得ln｜tany｜=3ln｜ex一1｜+C。所以方程有通解為tany=C(ex一1)3。7、微分方程滿足y｜x=1=1的特解為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=，x＞e－1知識(shí)點(diǎn)解析：令μ=，則原方程變?yōu)?，分離變量得即，將y｜x=1=1代入上式得C=e。故滿足條件的方程的特解為ex=，x＞e－1。8、微分方程xy’+2y=xlnx滿足y(1)=的特解為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=知識(shí)點(diǎn)解析：原方程可等價(jià)為y’+y=lnx，于是通解為9、微分方程滿足初始條件y｜x=2=1的特解是_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=y2+y知識(shí)點(diǎn)解析：將x看作未知函數(shù)，則=y。上式為x對(duì)y的一階線性方程，又因y=1＞0，則x==elny(∫y．e－lnydy+C)=y(∫dy+C)=y(y+C)，將x=2，y=1代入，得C=1。故x=y2+y。10、設(shè)y=ex(asinx+bcosx)(a，b為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’一2y’+2y=0知識(shí)點(diǎn)解析：由通解的形式可知，特征方程的兩個(gè)根是λ1，λ2=1±i，因此特征方程為(λ—λ1)(λ一λ2)=λ2一(λ1+λ2)λ+λ1λ2=λ2一2λ+2=0，故所求微分方程為y’’一2y’+2y=0。11、微分方程y’’+2y’+5y=0的通解為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e－x(C1cos2x+C2sin2x)知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程為λ2+2λ+5=0。解得λ1，2==一1±2i。則原方程的通解為y=e－x(C1cos2x+C2sin2x)。12、二階常系數(shù)非齊次線性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解為y=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1eX+C2e3x一2e2x知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為λ2一4λ+3=0，解得λ1=1，λ2=3。則對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程y’’一4y’+3y=0的通解為y=C1ex+C2e3x。設(shè)非齊次線性微分方程y’’一4y’+3y=2e2x的特解為y*=ke2x，代入非齊次方程可得k=一2。故通解為y=C1ex+C2e3x—2e2x。13、三階常系數(shù)線性齊次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解為y=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為λ3一2λ2+λ一2=0。解上述方程可得其特征值為2，±i，于是其中一組特解為e2x，cosx，sinx。因此通解為y=C1e2x+C2cosx+C3sinx。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)14、求微分方程y’’一a(y’)2=0(a＞0)滿足初始條件y｜x=0=0，y’｜x=0=一1的特解。標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=p，則y’’=，將之代入原方程，得一ap2=0，分離變量并積分=∫adx，由此得=ax+C1，由x=0，y’=0，y’=p=一1，得C1=1，即由x=0，y=0，得C2=0，所以y=ln(ax+1)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知函數(shù)f(x)滿足方程f''(x)+f'(x)一2f(x)=0及f''(x)+f(x)=2ex。15、求f(x)的表達(dá)式；標(biāo)準(zhǔn)答案：齊次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程為λ2+λ一2=0，特征根為λ1=1，λ2=一2，因此該齊次微分方程的通解為f(x)=C1ex+C2e－2x。再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex一3C2e－2x=2ex，因此可知C1=1，C2=0。所以f(x)的表達(dá)式為f(x)=ex。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求曲線y=f(x2∫0xf(－t2)dt