河北省衡水市武強中學2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題 含解析

武強中學2024-2025學年度上學期期中考試高三數(shù)學試題一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質求出集合B，再集合交集的概念求解可得答案.【詳解】由題意得，又因為，所以，所以，故選：C.2.若角為第二象限角，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系得到方程組，解得即可.【詳解】因為，，又角為第二象限角，解得.故選：B3.已知是關于x的方程的一個根，，則（）A.0 B.2 C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程根的性質，結合一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解即可.【詳解】因為是關于x的方程的一個根，，所以是關于x的方程的一個根，于是有，故選：D4.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦差角公式結合弦切關系分別計算，再根據(jù)和角公式計算即可.【詳解】因為，又，即，則，所以，故.故選：D5.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求導，通過賦值逐項判斷即可.【詳解】因為，所以，則，所以，則，所以.故選：C6.若，使得成立是真命題，則實數(shù)的最大值為（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意先將問題等價轉化成在上恒成立，接著將恒成立問題轉化成最值問題，再結合基本不等式即可求解.【詳解】，使得成立是真命題，所以,恒成立.所以在上恒成立，所以，因為，當且僅當即時等號成立，所以，所以，即實數(shù)的最大值為.故選：B.7.已知圓關于直線對稱，則的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.4【答案】D【解析】【分析】轉化為直線過圓心即，再利用基本不等式可得答案.【詳解】因為圓關于直線對稱，所以直線過圓心，即，則因為，且，所以，所以，當且僅當即等號成立，則的最小值是4.故選：D.8.若函數(shù)，在上單調遞增，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質判斷上的單調性和值域，結合其區(qū)間單調性及分式型函數(shù)的性質，討論參數(shù)確定參數(shù)范圍.【詳解】當時，單調遞增且值域為，而在上單調遞增，則在上單調遞增，且，當時，在上單調遞增，滿足題設；當時，在上單調遞增，此時只需，即；綜上，.故選：A二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.）9.設正實數(shù)滿足，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】分析】運用基本不等式逐一運算判斷即可.【詳解】對于A，因為正實數(shù)，滿足，所以，當且僅當且，即，時等號成立，故A正確；對于B，，則，當且僅當時等號成立，故B正確；對于C，，，當且僅當時等號成立，所以的最大值為，故C錯誤；對于D，由，可得，當且僅當時等號成立，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.的最大值為2B.在上單調遞增C.的圖象關于點中心對稱D.的圖象可由的圖象向右平移個單位得到【答案】ACD【解析】【分析】利用輔助角公式及周期公式可得函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)的值域、單調性、對稱性及圖象變換一一判定選項即可.【詳解】易知，其最小正周期為，所以，即，顯然，故A正確；令，顯然區(qū)間不是區(qū)間的子區(qū)間，故B錯誤；令，則是的一個對稱中心，故C正確；將的圖象向右平移個單位得到，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，則（

）A.是的極小值點 B.有兩個極值點C.的極小值為 D.在上的最大值為【答案】BD【解析】【分析】對應求導，根據(jù)其符號確定單調區(qū)間并判斷極值點、求極值判斷ABC；進而求函數(shù)在上的最大值判斷D.【詳解】由題設，令，則或，令，則，所以、上遞增，上遞減，故為極大值，為極小值，A、C錯誤，B正確；在上，在上遞減，在上遞增，而，所以在上的最大值為，D正確.故選：BD三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知曲線在點處的切線的傾斜角為,則的值為______.【答案】##【解析】【分析】對原函數(shù)進行求導,代入得出切線斜率.曲線在處的切線傾斜角為可得出斜率.構造關于的方程，解方程即可.【詳解】曲線的導數(shù),∵曲線在處的切線的傾斜角為,∴,∴,∴故答案為:.13.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，若在上是增函數(shù)，則正數(shù)m的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)對稱軸與周期的關系，結合正弦型函數(shù)的單調性進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，解得，即，因為在上是增函數(shù)，則，所以函數(shù)的增區(qū)間包含，令，得，所以，所以故的取值范圍為.故答案為：14.已知a、b、c分別為的三個內角A、B、C的對邊，，且，則面積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】先求出角的大小，由，考慮余弦定理建立的方程，再由基本不等式求的最大值.【詳解】解析：因為，根據(jù)正弦定理可知，即，由余弦定理可知，又，故，又因為，所以，（當且僅當時取等號），即所以，即面積的最大值為，故答案為：.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.在中，角的對邊分別為，面積為S，且.（1）求B；（2）若，，D為邊的中點，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形面積公式及余弦定理計算即可；（2）利用余弦定理先求c，結合平面向量數(shù)量積公式及其運算律計算即可【小問1詳解】由三角形面積公式及條件可知：，由余弦定理知，所以，因為，所以；【小問2詳解】結合（1）的結論，根據(jù)余弦定理有，所以，易知，所以，即.16.設三角形的內角、、的對邊分別為、、且．（1）求角的大??；（2）若，邊上的高為，求三角形的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用內角和為化簡，利用二倍角公式化簡，再利用輔助角公式化簡即可求得；（2）由面積公式和余弦定理，聯(lián)立方程組求解三角形即可.【小問1詳解】因為，，為的內角，所以，因為，所以可化為：，即，即，因為，解得：，即．【小問2詳解】由三角形面積公式得，代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以周長為.17.已知函數(shù)．（1）若在R上單調遞減，求a的取值范圍；（2）若，判斷是否有最大值，若有，求出最大值；若沒有，請說明理由．【答案】（1）（2）有最大值，最大值為e【解析】【分析】（1）求導，得到恒成立，根據(jù)根的判別式得到不等式，求出a的取值范圍；（2）求導，得到函數(shù)單調性，從而求出函數(shù)的最大值.【小問1詳解】因為，所以，因為在R上單調遞減，所以恒成立，所以，，所以a的取值范圍是．【小問2詳解】當時，，，令，解得，令，解得，所以當時，單調遞增，當，時，單調遞減，當時，，又時，，所以有最大值，最大值e．18.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.（2）若在只有一個零點，求.【答案】（1）極小值，無極大值；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，結合幾何意義求出，再分析單調性求出極值.（2）由函數(shù)零點的意義，等價變形得在只有一解，轉化為直線與函數(shù)圖象只有一個交點求解.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為R，求導得，，依題意，，則，，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.【小問2詳解】函數(shù)在只有一個零點，等價于在只有一個零點，設，則函數(shù)在只有一個零點，當且僅當在只有一解，即在只有一解，于是曲線與直線只有一個公共點，令，求導得，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，函數(shù)在取得極小值同時也是最小值，當時，；當時，，畫山大致的圖象，如圖，在只有一個零點時，，所以在只有一個零點吋，.19.基本不等式是高中數(shù)學的重要內容之一，我們可以應用其解決數(shù)學中的最值問題．（1）已知，R，證明；（2）已知，，，R，證明，并指出等號成立的條件；（3）已知，，，，證明：，并指出等號成立的條件.（4）應用（2）（3）兩個結論解決以下兩個問題：①已知，證明：；②已知，，且，求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析，當且僅當時取“”（3）證明見解析，當且僅當時取“”（4）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）由展開即可得結果；（2）根據(jù)題意結合（1）中結論分析證明；（3）根據(jù)題意結合（1）中結論分析證明；（4）①根據(jù)題意結合（2）中結論分