新高考數(shù)學二輪考點培優(yōu)專題（精講+精練）14 平面向量中等和線的應用（原卷版）

素養(yǎng)拓展14平面向量中等和線的應用（精講+精練）一、知識點梳理一、知識點梳理一、平面向量共線定理已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則A，B，C三點共線，反之亦然.二、等和線平面內(nèi)一組基底SKIPIF1<0及任一向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則SKIPIF1<0（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線.當?shù)群途€恰為直線AB時，k=1；當?shù)群途€在O點和直線AB之間時，SKIPIF1<0；當直線AB在點O與等和線之間時，SKIPIF1<0；當?shù)群途€過O點時，k=0；若兩等和線關(guān)于O點對稱，則定值k互為相反數(shù).三、證明步驟如圖1，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面上一點，過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0，由平面向量基本定理知：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0下面根據(jù)點SKIPIF1<0的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和SKIPIF1<0的值=1\*GB3①若SKIPIF1<0時，則射線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0無交點，由SKIPIF1<0知，存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0=2\*GB3②若SKIPIF1<0時，（i）如圖1，當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0右側(cè)時，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交射線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的相似比為SKIPIF1<0由SKIPIF1<0三點共線可知：存在SKIPIF1<0使得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（ii）當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0左側(cè)時，射線SKIPIF1<0的反向延長線與SKIPIF1<0有交點，如圖1作SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0，由（i）的分析知：存在存在SKIPIF1<0使得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0綜合上面的討論可知：圖1中SKIPIF1<0用SKIPIF1<0線性表示時，其系數(shù)和SKIPIF1<0只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖1中，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0邊的垂線SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交直線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(SKIPIF1<0的符號由點SKIPIF1<0的位置確定)，因此只需求出SKIPIF1<0的范圍便知SKIPIF1<0的范圍一般解題步驟：（1）確定單位線（當SKIPIF1<0時的等和線）；（2）平移等和線，分析何處取得最值；（3）從長度比計算最值.二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（）【典例2】如圖，四邊形SKIPIF1<0是邊長為1的正方形，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延長線上，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0（含邊界）的動點，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）【題型訓練-刷模擬】一、單選題1.已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）2.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的任意一點，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．43.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A.3B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.24.在SKIPIF1<0中，點D是線段BC上任意一點，且滿足SKIPIF1<0，若存在實數(shù)m和n，使得SKIPIF1<0，則m+n=（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<05.已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為F，點SKIPIF1<0，過點F且斜率為1的直線交拋物線于AB兩點，點P為拋物線上任意一點，若SKIPIF1<0，則m+n的最小值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<06.在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0在以點SKIPIF1<0為圓心且與SKIPIF1<0相切的圓上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為()SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<07.已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)（不含邊界），若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上任一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1二、填空題1.如圖，在同一個平面內(nèi)，向量SKIPIF1<0的模分別為1，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則m+n=______.2.已知