新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修二4.1.2圓的一般方程(1-2)課件

4.1.2圓的一般方程（1）

一.復(fù)習(xí)回顧：圓的標(biāo)準方程xyOCM(x,y)圓心C(a,b),半徑r特況：若圓心為O（0，0），則圓的方程為：標(biāo)準方程想一想，若把圓的標(biāo)準方程展開后，會得出怎樣的形式？二.引入新課：結(jié)論：任何一個圓方程可以寫成下面形式：x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0思考：是不是任何一個形如

x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

方程都表示的曲線是圓呢？三.講授新課：（1）當(dāng)時，此方程表示圓，（2）當(dāng)時，此方程表示點（3）當(dāng)時，此方程不表示任何圖形所以形如（D2+E2-4F>0）

可表示圓的方程定義

:圓的一般方程x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）2.圓的一般方程與標(biāo)準方程的關(guān)系：（1）a=-D/2，b=-E/2，r=

（2）標(biāo)準方程易于看出圓心與半徑

一般方程突出了方程形式上的特點

例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。注：讓學(xué)生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標(biāo)準形式。②、運用圓的一般方程的判斷方法求解。三.例題分析思考：什么時候可以表示圓?1、A＝C≠02、B=03、D2＋E2－4AF＞0

二元二次方程表示圓的一般方程結(jié)論：例2：求過三點O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）

的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標(biāo)。解：設(shè)所求的圓的方程為：∵

即圓心坐標(biāo)為（4，-3）,r=5O（0，0），M1

（1，1），M2

（4，2)在圓上小節(jié)：1.用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：（１）設(shè)圓方程-根據(jù)題意設(shè)出所求圓的方程為標(biāo)準式或一般式。（２）列方程組-根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r

或D，E，F(xiàn)

的方程。（３）求系數(shù)-解方程組，求出a，b，r

或D，E，F(xiàn)

的值，代入方程，就得到要求的方程．（4）小結(jié).2.求圓的方程時,要學(xué)會根據(jù)題目條件,恰當(dāng)選擇圓的方程形式:①若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標(biāo)準方程較簡單.②若已知三點求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解.(特殊情況時,可借助圖象求解更簡單)四.鞏固練習(xí)：4-6-3（3）方程x2+2xy+y2+x+y－2=0表示的曲線（）（A）兩條相交直線（B）兩條平行直線（C）不是圓也不是直線（D）圓B1.任何一個圓的方程都可以寫X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是方程X2+y2+Dx+Ey+F=0的曲線不一定是圓，只有在D2+E2-4F>0時，方程表示圓心為，半徑為的圓。五.小結(jié)1.任何一個圓的方程都可以寫X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是方程X2+y2+Dx+Ey+F=0的曲線不一定是圓，只有在D2+E2-4F>0時，方程表示圓心為，半徑為的圓。2.求圓的方程常用方法及解題步驟：幾何方法

求圓心坐標(biāo)（兩條直線的交點）（常用弦的中垂線）

求半徑（圓心到圓上一點的距離）

寫出圓的標(biāo)準方程待定系數(shù)法列關(guān)于a，b，r（或D，E，F(xiàn)）的方程組解出a，b，r（或D，E，F(xiàn)），寫出標(biāo)準方程（或一般方程）練習(xí)：P134A3

解法1：（待定系數(shù)法）設(shè)所求圓的方程為：

依題意，有故所求圓的方程為3.已知圓C的圓心在直線上，并且經(jīng)過原點和點A（2，1），求圓的標(biāo)準方程。P134A3圓心：兩條直線的交點半徑：圓心到圓上一點xyOCA(2,1)解法2：（幾何法）設(shè)OA的中垂線的斜率為k由中點公式，OA中點為OA中垂線中垂線方程為聯(lián)立兩條直線方程所求圓的方程為

4.1.2圓的一般方程（2）

—求軌跡方程問題一.求軌跡方程問題：xyaP(x,y)P(x,y)是直線a上任意一點點P的坐標(biāo)

(x,y)滿足的關(guān)系式CM(x,y)M(x,y)是圓C上任意一點點M的坐標(biāo)

(x,y)滿足的關(guān)系式求軌跡方程即為求出曲線上一動點坐標(biāo)x，y所滿足的關(guān)系.

例1

已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是（4，3）,端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.

yABMxo解決辦法：主被動點法

解.設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y)

A的坐標(biāo)為(x0,y0)因為M是AB的中點即又點A在圓上代入得即主動點被動點觀看動畫設(shè)主動點為(x0,y0)被動點為(x,y)所以M的軌跡是以點為圓心，1為半徑的圓x0=f(x),y0=g(y)代入主動點方程整理得軌跡方程主被動點法1.如圖，已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點，點A是x軸上的定點，坐標(biāo)為A（12，0），當(dāng)點P在圓上運動時，線段PA的中點M的軌跡是什么？PMAxoyθ練習(xí)例2：已知點M與兩定點O(0,0)、P(3,0)的距離的比為1/2，求點M的軌跡方程。解決辦法：直譯法yx

.O..（-1，0）A(3,0)M(x,y)練習(xí)1.長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的軌跡方程關(guān)鍵:找到幾何關(guān)系依題意有

幾何關(guān)系法xyBP(x,y)OAAB中點軌跡為以原點為圓心，a為半徑的圓

解：設(shè)點AB中點為P（x，y）練習(xí)2.已知P(2,0),Q(8,0)，點M到點P的距離是它到點Q的距離的1/5，求M的軌跡方程。，（并求軌跡上的點到直線l:8x-y-1=0的最小距離）練習(xí)3.已知圓的一條直徑的兩端點分別是關(guān)鍵:找到幾何關(guān)系解：設(shè)點M（x，y）為圓上任意一點

圓的方程即M的軌跡方程幾何關(guān)系法求證此圓的方程是附加例3已知點P（5，3），點M在圓x2+y2-4x+2y+4=0

上運動，求|PM|的最大值和最小值.yCPMxoAB1.若實數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值3.已知P(x,y)為圓x2+y2-6x-4y+12=0上的點

(1)求的最小值

(2)求x2+y2的最大值與最小值4.已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,問：是否存在斜率為1的直線使l被圓C截得得弦AB為直徑的圓過原點，若存在，寫出直線方程。附加練習(xí)題