2025屆高考數(shù)學一輪復習第9章平面解析幾何第3講橢圓作業(yè)試題2含解析新人教版

第三講橢圓1.[2024八省市新高考適應性考試]橢圓x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦點為F1,F2A.1 B.2 C.3 D.22.[2024廣東深圳模擬]已知動點M在以F1,F2為焦點的橢圓x2+y24=1上,動點N在以M為圓心,|MF1|為半徑的圓上,則|NF2|的最大值為A.2 B.4 C.8 D.163.[2024安徽省示范中學名校聯(lián)考]已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為其左、右焦點,|F1F2|=22,B為短軸的一個端點,△BFA.4 B.8 C.1+3324.[2024福建省三明市模擬]已知P是橢圓x225+y29=1上一點,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,且∠F1PF2=60°,則△F1PFA.33 B.23 C.3 D.35.[多選題]已知P是橢圓E:x24+y2m=1(m>0)上隨意一點,M,N是橢圓上關(guān)于坐標原點對稱的兩點,且直線PM,PN的斜率分別為k1,k2(k1k2≠0),若|k1|+|kA.橢圓E的方程為x24+yB.橢圓E的離心率為1C.曲線y=log3x-12D.直線2x-y-2=0與E有兩個公共點6.[2024全國卷Ⅲ,5分]設F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若△MF1F7.[2024洛陽市第一次聯(lián)考]已知橢圓C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)與雙曲線C2:x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0)有相同的焦點F1,F2,點P是曲線C1與C2的一個公共點,e1,e8.[2024惠州市二調(diào)]已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長為2,上頂點為A,左頂點為B,左、右焦點分別是F1,F2,且△F1AB的面積為2-329.[2024貴陽市四校其次次聯(lián)考]在平面直角坐標系中,橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的方程;(2)過橢圓C左焦點F1的直線l(不與坐標軸垂直)與橢圓C交于A,B兩點,若點H(-13,0)滿意10.[2024陜西省百校第一次聯(lián)考]已知橢圓x2a2+y2b(1)求橢圓的方程;(2)設A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點,若AC·DB+AD·CB=10,求k的值.11.[2024黑龍江大慶調(diào)研]已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),過原點的直線交橢圓于A,B兩點,以AB為直徑的圓過右焦點F,若∠FAB=α,α∈[A.[22,3-1] B.[22,C.(0,22] D.[612.[2024四川遂寧模擬]已知橢圓T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長半軸長為2,且過點M(0,1).若過點M引兩條相互垂直的直線l1,l2,P為橢圓上隨意一點,記點P到l1,l2的距離分別為d1,dA.2 B.433 C.513.[2024四川五校聯(lián)考]設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為53,以F1A.13 B.12 C.314.[2024江西南昌模擬]已知F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,過原點O且傾斜角為30°的直線l與橢圓C的一個交點為A,若AF1⊥AFA.x26+y22=1 B.C.x28+y22=1 D.15.[2024廣東七校聯(lián)考]已知橢圓C的方程為x2a2+y2b16.[2024四省八校聯(lián)考]設點P是橢圓C:x28+y217.[2024山東棗莊模擬][遞進型]已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,直線3x-y+43=0過點F1且與C在其次象限的交點為P,若∠POF1=60°(O為坐標原點),則F18.[2024河北六校第一次聯(lián)考]已知P(2,3)是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點,以點P及橢圓的左、右焦點F(1)求橢圓C的標準方程;(2)過F2作斜率存在且相互垂直的直線l1,l2,M是l1與C兩交點的中點,N是l2與C兩交點的中點,求△MNF2面積的最大19.[2024廣西北海市高三一模][數(shù)學與物理綜合]2024年3月9日,我國在西昌衛(wèi)星放射中心用長征三號運載火箭,勝利放射北斗系統(tǒng)第54顆導航衛(wèi)星,第54顆導航衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設地球半徑為R,若其近地點、遠地點離地面的距離大約分別是115R,13R,則第54顆導航衛(wèi)星運行軌道(橢圓)的離心率是A.25 B.15 C.220.[多選題]歷史上,很多人探討過圓錐的截口曲線.如圖9-3-1,在此圓錐中,圓錐的母線與軸的夾角為30°,現(xiàn)有一截面與圓錐的一條母線垂直,與軸的交點O到圓錐頂點M的距離為1,下列關(guān)于所得截口曲線的命題中說法正確的是()A.該曲線為橢圓B.點O為該曲線上隨意兩點之間的線段中最長的線段的三等分點C.該曲線上隨意兩點間的距離中最長的距離為1D.該曲線上隨意兩點間的距離中最短的距離為2圖9-3-1答案第三講橢圓圖D9-3-31.C如圖D9-3-3所示,由題意可得△AF1F2為等邊三角形,所以∠AF2O=π3,|AF1|=|AF2|=m2+1,所以sin∠AF2O=sinπ3=|AO2.B由橢圓的方程可得焦點在y軸上,長半軸長a=2.由題意可得|NF2|≤|F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|,當N,M,F2三點共線且M在線段NF2上時,|NF2|取得最大值,而此時|NF2|=|F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|=2a=4,所以|NF2|的最大值為4,故選B.3.B由題意可知c=2,S△BF1O=12bc=224.A解法一由橢圓標準方程,得a=5,b=3,所以c=a2-b2=4.設|PF1|=t1,|PF2|=t2,由橢圓的定義可得t1+t2=10①.在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,依據(jù)余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=|F1F2|2=(2c)2=64,整理可得t12+t22-t1t2=64②.把①兩邊平方得t12+t22+2t1t2=100③.由③-②可得t1t2=12,所以S△解法二由橢圓焦點三角形的面積公式,得S△F1PF2=b2tan5.ACD設P(x0,y0),M(x1,y1),x0≠±x1,y0≠±y1,則N(-x1,-y1),x024+y02m=1,x124+y12m=1,所以y02=m-m4x02,y12=m-mx124,k1k2=y0-y1x0-x1·y6.(3,15)不妨令F1,F2分別為橢圓C的左、右焦點,依據(jù)題意可知a=6,c=36-20=4.因為△MF1F2為等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.設M(x,y),則x236+7.92設點P在雙曲線的右支上,F2為兩曲線的右焦點,由橢圓及雙曲線的定義可得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.設|F1F2|=2c,因為PF1⊥PF2,所以(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,整理得a12+a228.[1,4]由已知得2b=2,故b=1,∴a2-c2=b2=1①.∵△F1AB的面積為2-32,∴12(a-c)b=2-32,∴a-c=2-3②.由①②聯(lián)立解得,a=2,c=3.由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴1|PF1|+1|PF2|=|PF1|+|PF9.(1)由題意得2c=2,即c=1,所以a2=b2+c2=b2+1,將(1,22)代入x2b2+1+y即2b2+b2+1=2b2(b2+1),整理得(2b2+1)(b2-1)=0,解得b2=-12(舍去)或b2=1,則a2所以橢圓C的方程為x22+y(2)由題意得F1(-1,0),設直線l的方程為y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立橢圓C與直線l的方程,可得x2+2k2(x+1)2=2,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,則Δ=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+1)>0,且x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.設AB的中點為M(x0,y因為點H(-13,0)滿意所以kMH=-1k,即k2k則x1+x2=-4k22k2+1=-43所以|AB|=k2+1·(x1+x210.(1)由題意知,a+c=3+1,a-c=3-1.又a2=b2+c2,所以可得b=2,c=1,a=3,所以橢圓的方程為x23+(2)由(1)可知F(-1,0),則直線CD的方程為y=k(x+1),由y消去y得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.Δ=36k4-4(2+3k2)(3k2-6)=48k2+48>0.設C(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=-6k22+3k2,x1又A(-3,0),B(3,0),所以AC·DB+AD·CB=(x1+3,y1)·(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)·(3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2=10,解得k=±105圖D9-3-411.B設橢圓的另一個焦點為F',連接AF',BF,BF',如圖D9-3-4所示,則四邊形AFBF'是矩形,所以|AB|=|FF'|=2c,|FA|=2c·cosα,|FB|=2c·sinα,由橢圓的定義可知,|FA|+|AF'|=|FA|+|FB|=2a,即2c·cosα+2c·sinα=2a.所以離心率e=ca=1sinα+cosα=12sin(α+π4).因為α∈[π12,π3],所以π4+α∈[12.B由題意可得a=2,b=1,所以橢圓的方程為x24+y①若直線l1,l2中的一條直線的斜率不存在,則另一條直線的斜率為0,不妨設直線l1的方程為x=0,則l2的方程為y=1.則d12+d22=x2+(1-y)2,因為P在橢圓上,所以x所以d12+d22=5-3y2-2y=5-3(y+13所以當y=-13時,d12+d22有最大值163,所以d12+則l2的方程為y=-1k則d1=|kx-y+1|所以d12+d=x2+y2-2y+1=4-4y2+y2-2y+1=5-3y2-2y,由①可得d12+13.B解法一由題意可知,|F1F2|=2c,又由e=ca=53得c=53a,所以|F1F2|=253a.因為點P是以F1F2為直徑的圓與橢圓C在第一象限的交點,故PF1⊥PF2且|PF1|>|PF2|,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|=89a2,所以|PF1|=43a,|PF2|=23a,所以直線PF1的斜率kP解法二因為e=ca=53,故可設a=3,c=5,則b=2,S△PF1F2=b2tan∠F1PF22=b2tan45°=12|PF1|·|PF2|=4.因為點P在第一象限,所以|PF1|>|PF2|,又|PF1|+|PF2|=2a=6,故|PF114.A因為點A在橢圓上,所以|AF1|+|AF2|=2a,把該等式兩邊同時平方,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2.又AF1⊥AF2,所以|AF1|2+|AF2|2=4c2,則2|AF1||AF2|=4a2-4c2=4b2,即|AF1||AF2|=2b2,所以S△AF1F2=12|AF1||AF2|=b2=2.因為△AF1F2是直角三角形,∠F1AF2=90°,且O為F1F2的中點,所以|OA|=12|F1F2|=c.不妨設點A在第一象限,則∠AOF2=30°,所以A(32c,12c),所以S△AF1F2=12|F1F2|·115.32設直線l與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點為A(x1,y1),則y1=24x1,由|AB|=2c,可知|OA|=x12+y12=c(O為坐標原點),即x12+(24x1)2=c,解得x1=223c,所以A的坐標為(223c,13圖D9-3-516.[42-17,42+17]如圖D9-3-5,設F'是橢圓的左焦點,連接AF',PF',則F'(-2,0),∴|AF'|=42+1∵|PF|+|PF'|=2a=42,∴|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF'|≤2a+|AF'|=42+17,|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF'|=2a-(|PF'|-|PA|)≥2a-|AF'|=42-17.∴|PA|+|PF|的取值范圍是[42-17,42+17].17.(4,0)3-1因為直線3x-y+43=0過左焦點F1,所以F1的坐標為(-4,0),F2的坐標為(4,0).因為直線3x-y+43=0的斜率為3,所以∠OF1P=60°,又∠POF1=60°,所以△F1OP是等邊三角形,過點P作PD⊥F1F2,垂足為D,則D為F1O的中點,所以|DP|=|F1D|tan60°=23,所以P點的坐標為(-2,23),所以2a=|PF1|+|PF2|=4+62+(23)2=4+4318.(1)由點P(2,3)在橢圓上,可得2a2+整理得2b2+3a2=a2b2①.由S△PF1F2=所以a2=b2+c2=b2+4,代入①式整理得b4-b2-12=0,解得b2=4,a2=8.所以橢圓C的標準方程為x28+(2)由(1)可得F2(2,0),所以設直線l