第05講空間向量及其應(yīng)用（十六大題型）（講義）

第05講空間向量及其應(yīng)用

目錄

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基空間向量解立體幾何一般以解答題

本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其形式為主，每年必考，一般12分.以解

坐標(biāo)表示.答題為主，難度中等，可靈活選擇運(yùn)用

(2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，向量方法與綜合幾何方法，從不同角

掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量度解決立體幾何問(wèn)題,通過(guò)對(duì)比體會(huì)

2023年/卷第18題，12分

的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.向量方法的優(yōu)越性.選擇題和填空題

2023年〃卷第20題，12分

(3)理解直線的方向向量及平面的法向量，能一般不用空間向量法.但要理解向量

2022年/卷第19題，12分

用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系基本定理的本質(zhì)，感悟“基底”的思

2022年〃卷第20題，12分

的一些簡(jiǎn)單定理.想,并運(yùn)用它解決立體幾何中的問(wèn)題.

(4)能用向量法解決異面直線、直線與平面、

平面與平面的夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)

題的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問(wèn)題中的作

用.

f?基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：空間向量及其加減運(yùn)算

(1)空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模.空間向量也可

用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的模，若向量Z的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量￡也可以記作AB,

其模記為同或|畫.

(2)零向量與單位向量

規(guī)定長(zhǎng)度為o的向量叫做零向量，記作6.當(dāng)有向線段的起點(diǎn)n與終點(diǎn)8重合時(shí)，AB=6.

模為1的向量稱為單位向量.

(3)相等向量與相反向量

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量.空

間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量.

與向量￡長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為Z的相反向量，記為二.

(4)空間向量的加法和減法運(yùn)算

?OC=OA+OB=a+b,BA=OA-OB=a—b.如圖所75.

H

b

②空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律

a+b-b+a,(a+可+c=a+,+c)

知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

(1)數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)2與空間向量3的乘積稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)力＞0時(shí)，幾2與向量Z方向相同；當(dāng)力＜o(jì)時(shí)，

向量/lZ與向量Z方向相反.Aa的長(zhǎng)度是?的長(zhǎng)度的囚倍.

(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律

+可=2a+",2(〃a)=(2〃)a.

(3)共線向量與平行向量

如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，Z平

行于記作Z//5.

(4)共線向量定理

對(duì)空間中任意兩個(gè)向量2,A(^6),￡/4的充要條件是存在實(shí)數(shù)兀，使￡=力.

(5)直線的方向向量

如圖8-153所示，/為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)Z且平行于已知非零向量?的直線.對(duì)空間任意一點(diǎn)O,點(diǎn)P在直線/

上的充要條件是存在實(shí)數(shù)/,使麗+扇①，其中向量Z叫做直線/的方向向量，在/上取下=",則式

?^^OP=OA+tAB=04+t(dB-OA)=(1-t)OA+tOB②

①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)?=；，即點(diǎn)P是線段Z5的中點(diǎn)時(shí)，OP=^OA+OBy此

式叫做線段的中點(diǎn)公式.

(6)共面向量

如圖8-154所示，已知平面a與向量"，作8=3,如果直線。月平行于平面a或在平面a內(nèi)，則說(shuō)明

向量Z平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

O-------------------->A

（7）共面向量定理

如果兩個(gè)向量Z,[不共線，那么向量,與向量5共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（XJ）,

使P=XQ+.

推論：①空間一點(diǎn)?位于平面力8c內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（xj）,使萬(wàn)=工方+四化；或?qū)?/p>

空間任意一點(diǎn)。，有而-E=x與+該式稱為空間平面力的向量表達(dá)式.

②已知空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)Z,B,C,滿足向量關(guān)系式加=工方+y礪+z反（其中

x+y+z=l）的點(diǎn)尸與點(diǎn)Z,B,。共面；反之也成立.

知識(shí)點(diǎn)三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

（1）兩向量夾角

已知兩個(gè)非零向量ft,在空間任取一點(diǎn)。，作風(fēng)=￡,OB=b,則N40B叫做向量B的夾角，

記作（40,通常規(guī)定0,40〈萬(wàn)，如果（4,3）=那么向量Q,5互相垂直，記作QJ_1.

（2）數(shù)量積定義

己知兩個(gè)非零向量Q，b,貝”WWCOS（Q,B）叫做Q,書(shū)的數(shù)量積，記作。區(qū)即4?B=WWcOS（Q,B）.零

向量與任何向量的數(shù)量積為0,特別地，。?4=同.

（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：

（4。）彳=丸（4,ab=ba（交換律）；

a-{b+c^=a'b+a-c（分配律）.

知識(shí)點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用

（1）設(shè)a=（6，°2，〃3），B=（4也也），則Q+E=（〃]+々,出+辦2，。3+4）；

a-b=（a]-bl,a2-h2,a3-b3）；

Aa=（Aal9Aa29A,a3）；

a-b=+a2b2+〃也；

a/lb（bw0）=>a[=Ab^a2=e2M3=肋3；

〃_L5n+a2b2+613b3=0.

XZ

（2）設(shè)4（芭,凹,zj,5（2,^2,2）,PIOAB=OB-OA=（X2-xl,y2-yl,z2-zj.

這就是說(shuō)，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式.

①已知a=（《,。2，。3），5=（4也也），則卜卜=4a；+4+4；

W==??；+b；+"2；

a-b=ah+a2b2+a3b3；

cos(詞=岫+吟+地；

22

\/yja：+a2+a3JbJ+b；+b；

②已知4a，弘,ZI),8(4/2,Z2)，則網(wǎng)=J(X］-%2)2+(必一%)2+(Z1-Z2)2,

或者d(48)=|礪卜其中“48)表示4與8兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式.

(4)向量a

知識(shí)點(diǎn)五：法向量的求解與簡(jiǎn)單應(yīng)用

(1)平面的法向量：

如果表示向量［的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個(gè)向量垂直于平面a,記作］_La,如果

nla.那么向量［叫做平面a的法向量.

幾點(diǎn)注意：

①法向量一定是非零向量；②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；③向量［是平面的法向量，向量前是

與平面平行或在平面內(nèi)，則有Ri=0.

第一步：寫出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向￡=(%,弘，zj,b=(x2,y2,z2)；

xx+即+ZZ]=0

第二步:那么平面法向量7=(x,y,z),滿足}

n?b=0xx2+yy2+zz2=0

(2)判定直線、平面間的位置關(guān)系

①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線4,6的方向向量分別為Z,b.

若a〃B,即Q=則4〃6；

若a坂，即a?5=0,則aJ_b.

②直線與平面的位置關(guān)系：直線/的方向向量為■平面a的法向量為萬(wàn)，且LLa.

若G〃元，即a=丸〃，則/J_a；

若a_L〃，即a?〃=0,則a//a.

(3)平面與平面的位置關(guān)系

平面a的法向量為瓦，平面〃的法向量為%.

若R〃亢2,即R=An2,則a〃0；若萬(wàn)?,即耳?質(zhì)=0,則a.

知識(shí)點(diǎn)六：空間角公式.

(1)異面直線所成角公式：設(shè)Z,B分別為異面直線4，。上的方向向量，。為異面直線所成角的大

?,一㈠a-b

小，則cos6=cos(a,\).

1'71a\\b

(2)線面角公式：設(shè)/為平面a的斜線，1為/的方向向量，3為平面。的法向量，。為

a-n

/與。所成角的大小，則sin0=卜os(a,〃)|=麗.

(3)二面角公式：

設(shè)色，巧分別為平面a，￡的法向量，二面角的大小為6,貝|J6=(晨Q或%-伍凡)(需要根據(jù)具體

n.-幾、

情況判斷相等或互補(bǔ))，其中|cose|=」^?.

知識(shí)點(diǎn)七：空間中的距離

求解空間中的距離

(1)異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直

接計(jì)算.

如圖，設(shè)兩條異面直線a,6的公垂線的方向向量為萬(wàn)，這時(shí)分別在a,6上任取Z,8兩點(diǎn)，則向量在方

上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線a,6的距離.則"=|刀型即兩異面直線間的距離，等于兩異面

1?11?1

直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值.

*

B

(2)點(diǎn)到平面的距離

/為平面a外一點(diǎn)（如圖），斤為平面a的法向量，過(guò)/作平面a的斜線48及垂線X”.

|萬(wàn)7|=|萬(wàn)"抽。=|刀卜|85<而,〃>|=|而|當(dāng)二=當(dāng)三

48.n|n

\AB-n\

a=-----

l?l

【解題方法總結(jié)】

用向量法可以證點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線（或點(diǎn)）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問(wèn)題，也可

以求空間角和距離.因此，凡涉及上述類型的問(wèn)題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡(jiǎn)

單.

用向量法解題的途徑有兩利”一種是坐標(biāo)法，即通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，確定出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)

而求出向量的坐標(biāo)，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便

于表示所求的目標(biāo)向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點(diǎn)而不共面的三

條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進(jìn)行向量運(yùn)算.

一提升?必考題型歸納

題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算

例1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列命題中是假命題的是（）

A.任意向量與它的相反向量不相等

B.和平面向量類似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小

C.如果同=0,則3=0

D.兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同

【答案】A

【解析】對(duì)于A,零向量6的相反向量是它本身，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,空間向量是有向線段，不能比較大小，B正確；

對(duì)于C如果同=0,則G=0，C正確;

對(duì)于D,兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，D正確.

故選：A.

例2.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖所示，在平行六面體中，"為4G與4R的交

點(diǎn)，若麗=￡,~AD^b<AAt=c,則麗=（）

B.—aH—b+c

2222

C.——[-a——[b7+—cD.——a+—b+c

2222

【答案】D

---1---1---

【解析】因?yàn)椤?G與44的交點(diǎn)，所以用用4+萬(wàn)用G，

故麗=3瓦+麗=菊+，2%+；甌==

故選：D

例3.(2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？既?在三棱錐尸-Z8C中，點(diǎn)。為△ZBC的重心，點(diǎn)

E,尸分別為側(cè)棱為，PB,尸C的中點(diǎn)，若］=#，h=CE，云=麗,則而=()

A.—a+—b+—cB.——a——b——cC.——5——b——cD.—a+—h+—c

333333333333

【答案】D

【解析】取BC中點(diǎn)為"，

a=AF='PF-PA=^PC-PA,

h=CE=7E-~PC=-~PB-Tc,

2

c=BD='PD-PB=-PA-PB

2

三個(gè)式子相力口可得￡+石+工=-；(方+而+斤)=刀+而+定=-2僅+否+工)，

'^OP=AP-Jd=-7\4-^AM=-PA-^x^{AB+'AC^=-~PA-^(I^B-PA+PC-PA^

=-^-^(PB-PA+PC-PA)=-^PA-^PB-^PC=-^(PA+PB+PC)=^+b+c),

故選：D

p

變式1.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）如圖.空間四邊形O48C中，刀=￡,礪=和。心=",點(diǎn)朋"在上，且滿

足兩=2忘，點(diǎn)N為8c的中點(diǎn)，則加=（

2-2;1-

A.—a——b+—cB.—a+—b——c

232332

1-171一2-1T1一

C.—a+—b——cD.——a+—b+—c

222322

【答案】D

【解析】而=麗_兩=1?（礪+玩）_|a各

故選：D.

變式2.（2023?湖南長(zhǎng)沙?高三校聯(lián)考期中）如圖，M在四面體。/8C的棱8c的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM

上，且=設(shè)為=",OB=b^OC^c'則下列向量與麗相等的向量是（）

-171一

B.a+—h+—c

33

-171一

D.Q+—6+一。

66

【答案】A

【解析】因?yàn)椤霸谒拿骟w0/8C的棱8c的中點(diǎn)，所以的=；（赤+3）=；倒+，,

又點(diǎn)N在線段0M上，且=

2

故點(diǎn)N為。河的三等分點(diǎn)，所以O(shè)N=]OM,

所以而=而+麗=-"+g兩=-Z+gx；（礪+玩）=V+；0+,.

故選與麗相等的向量的向量是-a+￥+$；

故選：A.

變式3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在四面體O-H8。中，5是“8C的重心，G是。e上的一

點(diǎn)，且OG=2GG1,若礪=xG+y礪+z反，貝U（x,y,z）為（）

A11、,222

A.(5,5,5)B.

z222、

cD-(“§，§)

【答案】D

—?1—>—?

【解析】因?yàn)楹笫?。中點(diǎn)，所以O(shè)E=5（OB+OC）,

2

5是△IBC的重心，則

——2一2—?一

所以4G?=1/七=]（。￡一。4）,

因?yàn)镺G=2GG

所以

—2-----2―?----2—4——?—2—?4—2—?2—-—2—?2—?2—?

OG=-OG,=-(OA+AG.)=-OA^-(OE-OA)=-OA+-OE=-OA+-(OB+OC)=-OA+-OB+-OC

331399999999f

_______2

若OG=xOA+yOB+zOC,貝ijx=y=z=§.

故選：D.

變式4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底,

｛￡+制-正｝是空間的另一組基底.若向量方在基底M右｝下的坐標(biāo)為(4,2,3),則向量力在基底

｛a+5,a-5,c｝下的坐標(biāo)為()

A.(4,0,3)B.(1,2,3)C.(3,1,3)D.(2,1,3)

【答案】C

【解析】設(shè)向量p在基底瓦c｝下的坐標(biāo)為(x,y,z),則p=x(a+5)+y(a-b)+zc,

乂向量方在基底｛"區(qū)q下的坐標(biāo)為(4,2,3)，則p=4a+2b+3c,

111L1XI1ill111

Wf以4。+2力+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,即4。+2力+3c=(x4-y)a+(x-y)h+zc,

x+y=4,x=3,

所以<x-y=2,解得<.y=l,

z=3,z=3,

所以向量方在基底｛Z+碗-標(biāo)｝下的坐標(biāo)為(3,1,3).

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

空間向量的運(yùn)算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，可以類比平面向

量的運(yùn)算法則.

題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用

例4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若空間中任意四點(diǎn)。，4B,尸滿足麗="?次+〃礪，其中機(jī)+〃=1,

則()

A.PWABB.P^AB

C.點(diǎn)P可能在直線48上D.以上都不對(duì)

【答案】A

【解析】因?yàn)閙+”=l,所以加=1—〃，

所以麗+”無(wú)，^OP-OA=n(OB-OA),

即萬(wàn)=”而，所以"與而共線.

又萬(wàn)，在有公共起點(diǎn)4

所以P,A,8三點(diǎn)在同一直線上，即尸G/8.

故選：A.

例5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知￡=(2,-3,1),則下列向量中與￡平行的是()

A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,-1)D.(-2,-3,1)

【答案】B

【解析】因?yàn)?-4,6,-2)=-2?(2,-3,1)=-2￡,所以(-4,6,-2)與￡平行.

故選：B.

例6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))向量5分別是直線4，4的方向向量，且Z=(L3,5),1=(x,y,2),

若4〃4，則()

13

A.x=—,y=-B.x=3,?=15

55

-26、315

C.x=_,y=~D.x=—,y=—

5522

【答案】C

\=tx

3=W，解得x=],y=^.

)5=2t''

故選：C.

變式5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若點(diǎn)工(2,-5,-1),5(-1,-4-2),C(m+3,-3,〃)在同一條直線上,則

m-n=()

A.21B.4C.-4D.10

【答案】c

【解析】方=(-3,1,-1),5C=(W+4,l,n+2)

?點(diǎn)A,B,。在同一條直線上

??48〃BC則「一=;=「一

—J1-1

解得機(jī)=-7,〃=-3

/.m-n=-4

故選：C.

變式6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知)=(2蒼3),1=(1,3,9),如果￡與［為共線向量，則x=

()

111

A.1B.-C.-D.-

236

【答案】D

【解析】因?yàn)椤昱c行為共線向量，

匚2x131

所以T

故選：D

變式7.(2023?浙江?高三專題練習(xí))若力(m+1，〃-1,3)、B(2m,n,m-2〃)、C(加+3,〃-3,9)三點(diǎn)共線,

則加+〃=().

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】A

【解析】VZg=(W-1,1,fn-2n-3),就=(2,-2,6),

；?陽(yáng)=0、拉=0,w+w=0?

故選:A.

【解題方法總結(jié)】

空間共線向量定理:￡//砸中可。￡=泥.

利用此定理可解決立體幾何中的平行問(wèn)題.

題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

例7.(多選題)(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知向量1=(1,L1),5=(-1,0,2),則下列正確的是()

A.a+b=(0,1,3)B.同=百C.5>6=2D.伍

【答案】AB

【解析】向量2=(1,1」)，6=(-1,0,2),yilja+^=(0,1,3),A正確；

顯然向=Jl?+『+12=6B正確；

由數(shù)量積的定義得&幺=1'(T)+1'0+1'2=1,C錯(cuò)誤；

顯然|M=J(-l)2+22=6,則85苗而=第；=『/二零，即有伍石〉二二，D錯(cuò)誤.

\a\\b\V3xV524

故選：AB

例8.(多選題)(2023?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱七十三中?？计谥?如圖，在平行六面體48CQ-4用GA

中，其中以頂點(diǎn)/為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且彼此夾角都是60。，下列說(shuō)法中不正確的是()

A.4G=6^6

B.ACJBD

C.向量麻與麗夾角是60°

D.向量西與撫所成角的余弦值為當(dāng)

【答案】CD

【解析】???在平行六面體/BCD-44GA中，其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且彼此夾角都是60。,

.0.AA}-AB=AA}-AD=AD-AB=6x6xcos60°=18.

22

對(duì)丁A,{AA1+AB+AD^=AA1+AB+AD+2AAtAB+2ABAD+2^4^75

=36+36+36+3x2x18=216,.，.卜耳=%&+/8+/￡）|=>/216=6娓,A正確;

對(duì)于B,而.麗=（羽+布+75）?（萬(wàn)一前）

=AA.-AB-AA.-AD+A^-AB-AD+AB-Ab-Jb=O>

.?.而_L而，即NC|_L8。，B正確；

對(duì)于C,連接4。，由題意可知△44Q是等邊三角形，則N44Q=60。，

?.?豕=而，且向量而與麗的夾角是120。，

???向量而與無(wú)彳夾角是120。，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,?.■JD[='AD+AA[-AB,'AC=JB+'AD,

二兩.就=（75+羽_碼.函+而）

=AD-AB+AD+AAt-AB+AAt-AD-AB-AB-AD=36，

|西卜J（而+麴-可=6?羽=J（存+司2=6/3，

HFT-77；BD[-AC36V6

cos<BD,AC>=?---1.—-r=-T=------『=——,D錯(cuò)誤

]\BD^AC\6亞x6b6口仄.

例9.（多選題）（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）四面體43co中，AB工BD,CD1BD,48=3,BD=2,

CD=4,平面48。與平面58的夾角為：，則NC的值可能為（）

A.Vi7B.y[23C.V35D.歷

【答案】AD

【解析】在四面體4BC。中，ABLBD,CD_L8。，則（法，反）是二面角Z-8O-C的平面角，如圖,

祝=在+而+皮=-或+而+皮，而羽=3，80=2，CD=4,

AC2=BA2+RD2+DC2-2BA-DC=9+4+\6-2x3x4cos（BA,DC）=29-24cos（BA,DQ,

因?yàn)槠矫媪?0與平面88的夾角為g,則當(dāng)〈0，友〉=g時(shí)，|萬(wàn)|=后，

當(dāng)面,覺(jué)〉=與時(shí)，|衣上府，

所以/C的值可能為JI7，國(guó).

故選：AD

變式8.（多選題）（2023??？寄M預(yù)測(cè)）在平行六面體/BCD-44GA中，已知48=43=44=1,

B.線段4c的長(zhǎng)度為百

C.直線4c與8星所成的角為90。

D.直線4c與平面/8CO所成角的正弦值為當(dāng)

【答案】AC

【解析】設(shè)在=扇而=瓦鬲=d,則|汴向=|1|=1,且&石=知己=小*,

對(duì)于A,AlC^a+b-c,BD=b-a,

A^C-JD=(a+b-c\(b-a\=b2-a2+a-c-b-c=0,

所以直線4。與5。所成的角為90。，故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閲?guó)2^(a+b-c)2^a2+b2+c2-2b-c^2,

所以即卜收，故B錯(cuò)誤：

2

對(duì)于C,^A^C-JB}=(a+b-c)-c=a-c+b-c-c=0,

所以8片，4。，故C正確；

對(duì)于D,連接ZC,交8。于點(diǎn)O,則。為80,4。的中點(diǎn)，

因?yàn)锳B=AD=AA.=\,/LA,AB=ZAtAD=NBAD=60°,

所以/Cl8。，

又因，8。/Cc4c=C,A,C,ACu平面AAtC,所以5。2平面AA.C,

又BOu平面44(,所以平面力4。J?平面力88,

作4A/1/C,垂足為M,

因?yàn)槠矫嬗腃JL平面N8C。，平面平面/8CO=NC,平面44C，

所以4也J■平面ABCD,

則4c與平面/5C。所成的角為4。，

在心△//1C中，44]=1,/C=6，所以sin/4。=3

即直線4c與平面/BCO所成角的正弦值為乎，故D錯(cuò)誤.

變式9.(多選題)(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))空間直角坐標(biāo)系中，已知。(0,0,0),a=(-1,2,1),

O5=(-l,2,-l),4=(2,3,-1),則()

A.網(wǎng)=2

B.A/8C是等腰直角三角形

c.與萬(wàn)平行的單位向量的坐標(biāo)為恪-卓，-或(YW，乎

(636)(636

D.萬(wàn)在麗方向上的投影向量的坐標(biāo)為卜|[,|)

【答案】AC

【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，

UUflUU1UUL

AB=OB-OA

=(-1,2,-1)-(7,2,1)

=(0,0,-2)

:.\AB\=ylo2+02+(-2)2=2.選項(xiàng)A正確；

uumuuiium

AC=OC-OA

=(2,3,-1)-(-1,2,1)

=(3,1,-2)

uuur,--------------------_

:.\AC\=^2+\2+(-2)2=V14

uuuuuuucu

BC=OC-OB

=(2,3,-l)-(T,2,T)

=(3,1,0)

uuur-------------------.—

BC|=Vt32+l2+02=V10

計(jì)算可得，A/8C三條邊不相等，選項(xiàng)B不正確；

與方平行的單位向量為:

UUL

rOA

e=±uur

I。川

士(-1,2,1)

-7(-I)2+22+I2

+(-1,2,1)

=-^r

*鈣，當(dāng)

選項(xiàng)C正確;

(242、2

方在麗方向上的投影向量與西向量共線，|--,y,-|=-(-l,2,l),選項(xiàng)D不正確,

故選：AC.

變式10.(多選題)(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知空間向量1=(2,-1,3),fe=(-4,2,x),下列說(shuō)法正

確的是()

A.若值工人則x=g

B.若32+〃=（2,-1,10）,貝！jx=l

C.若萬(wàn)在5上的投影向量為:卻貝卜=4

D.若。與在夾角為銳角，則xe（5,+8）

【答案】ABD

【解析】對(duì)十A：；=0,

即:￡花=（2,-1,3）.（一4,2,力=一8-2+3%=0,

解得：X=y.

故A選項(xiàng)正確：

對(duì)于B：?.?3,+B=（2,-l,10）,

3a+6=3（2,-l,3）+（-4,2,x）=（2,-l,9+x）=（2,-l,10）

A9+x=10,解得：x=l.

故B選項(xiàng)正確；

a-bb

對(duì)于C：萬(wàn)在弦上的投影向量為：下「印

a-bb17

即下=代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)可得：x2-9x+50=0.X無(wú)解，

故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D：:々與B夾角為銳角，

；?ai=-10+3x>0,解得：x>與，

—4x2Y

且十與B不共線，即解得：戶-6,

所以萬(wàn)與B夾角為銳角時(shí)，解得：X*.

故D選項(xiàng)正確；

故選：ABD.

變式11.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體/8C。-44GA中,

：

AD=BD=4A]=1,AD1BD,ZA,A3=45C,ZAtAD=60,則線段S。1的長(zhǎng)為.

【答案】I

【解析】由題可得，AD=BD=\,AD1BD.

所以/8=7171=立且ND4B=45。，

因?yàn)樵录?現(xiàn)+五4+君+五4+N萬(wàn)，

所以

-■2/■—.一\2-2.22，―，?一，”?..

BD]=(-+?+)=+]+。一2,?—2,AD+2Ay,AD

=畫2+向(+1珂-2畫?]詞cos45。-2畫.畫cos45。+2畫.畫cos60。

=24-1+1-2-2+1=1,

所以|西卜1,

故答案為:1.

變式12.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知空間向量4=0,1,0）,*=（-1,0,2）,則5在B方向上的投影向

量為.

【答案】&0,一|）

【解析】???問(wèn)=/+0+4=6,.?.與5同向的單位向量巨=方=弋，0,明，

。在5方向上的投影向量為下pe=-；-e=|j，0，-《）

故答案為：（1°，一

變式13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知MN是棱長(zhǎng)為2的正方體力5co-44GA內(nèi)切球的一條直徑，

則可7.麗=-

【答案】2

【解析】因?yàn)檎襟w4BCD-44GA的棱長(zhǎng)為2,所以其內(nèi)切球的半徑r=；x2=l.

又球心一定在該正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)處，同體對(duì)角線長(zhǎng)為，2?+2?+2?=2、「，

所以設(shè)該正方體的內(nèi)切球的球心為O,則4。=JJ,OM=ON=1,

?AM=AO+OM,AN=AO+ON,

所以旃.麗=(亞+萬(wàn)分函+而)=\Ad\2+^(OM+ON)+OMON=3+0-\^2.

故答案為：2

變式14.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)已知向量@=(1,2,3),6=(-2,-4,-6),同=舊，若,+孫3=7,則

(a,c)=.

【答案】120°

【解析】設(shè)1=(“/卜.響量1=(1,2,3)3=(-2,-4,-6),同=71*(3+5"=7,

yjx2+y2+z2=y/14八a-cx+2y+3z1

:.d+b=(-1,-2,—3)設(shè)Z與"的夾角為e,c°s"麗=而而=一5'

-x-2y—3z=7

v00<(9<180°,.?.0=120°.

故答案為：120°.

變式15.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知空間向量1=(1,2,3),5=(2,-2,0),5=(11,⑷，若d_L(21+b),

貝IA=.

【答案】T

【解析】21+1=2(1,2,3)+(2,-2,0)=(4,2,6),

vc1(25+/)),：.c-[2a+b)-0,4+2+62=0,

解得2=-1,

故答案為：-L

變式16.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知向量￡=(0,1,0),向量石=(1,1,0),則￡與6的夾角的大小

為.

【答案】4

【解析】因?yàn)椤?(0,1,0),*=(1,1,0),

Ha-b1V2

因?yàn)镚&e[0,7t],所以卜@=：

故答案沏:

【解題方法總結(jié)】

a"6=|?||/j|cos=^1-^2+y1y2+ziz2；

求模長(zhǎng)時(shí)，可根據(jù)“=7^'=yjx：+Z：；

a'h

求空間向量夾角時(shí)，可先求其余弦值cosGl).要判斷空間兩向量垂直時(shí)，可以求兩向量的數(shù)

=邨

量積是否為0,即。石=0=。-1_尻

色可為銳角n7B>0；為鈍角=7B<0.由此，通常通過(guò)計(jì)算Z*的值來(lái)判斷兩向量夾角是

銳角還是鈍角.

題型四：證明三點(diǎn)共線

例10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在四面體O/8C中，點(diǎn)M,N分別為04、8c的中點(diǎn)，若

OG=^OA+xOB+yOC,且G、M,N三點(diǎn)共線，則x+V=

【答案】

3

若G、M,N三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)義，使得而=2兩+(1-/1)麗，乂點(diǎn)、M,N分別為ON、8c的中點(diǎn),

4」

___11_?1__y支曳歷+匕14反，則.=X

則。河=一。4,ON=-OB+—OC,則OG=±CM+~T--'解得X=y=),

22222226

1-A

—=y

2

則x+產(chǎn)!.

故答案為：

例11.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)4(1,2,3),B(0,1,2),C(-1,0,X),若4B,C

三點(diǎn)共線，則/l=_.

【答案】1

【解析】由題意，點(diǎn)Z(1,2,3),B(0,1,2),C(-L0,X),

WIU^S=(-1,-1,-1),SC=(-1,-1,2-2),

_1_|A-2

若/,B,。三點(diǎn)共線，則刀〃比，即一===一，解得2=L

故答案為：1.

例12.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，在平行六面體中，QC=2EC,A^C=3FC.

(1)求證：A、尸、E三點(diǎn)共線；

(2)若點(diǎn)G是平行四邊形片BCG的中心，求證：D、F、G三點(diǎn)共線.

【解析】(1)由題意，QC=2EC,A^C=3FC,

故"=祠+乖=麴+,而=麴+：(而+石-羽)

2—2—1—2——1—

=-AB+-AD+-AA.=-(AB+AD+-AA.).

333132''

AE=AC+CE=AB+AD+-CC.=AB+Ab+-AA.,

2,21

—2—?

故萬(wàn)施，由于"，荏有公共點(diǎn)4,

故4、F、E三點(diǎn)共線；

(2)由題意，點(diǎn)G是平行四邊形,田C。的中心,

故方=比+方=%5一；汞=]5一；(%方+而一羽)

2—?1—?1——?2—?1—?1——

=-AB——AD+-AA.==-CAB——AD+-AA.),

33313221

5G=5C+CG==

—?2—■

故。尸=5OG，因?yàn)镈F,DG有公共點(diǎn)D，

故。、P、G三點(diǎn)共線.

變式17.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體/88-44GA中，M為。。的中點(diǎn)，N在ZC上，且

AN:NC=2:1,E為8M的中點(diǎn).求證：4，E,N三點(diǎn)共線.

（解析】由圖作出如圖所示長(zhǎng)方體ABCD-A^QD,

由題可得，

A^E=A^A+AB+BE=-AA,+AB+^BM=-AA^AB+^iBC+CD+DM）

■,1■,1—?3.1.1—?

=-AA+AB+-（AD-AB+-AA,）=——AA.+-AB+-AD,

'22'4122

-----2-2---?----2—2