常微分方程試題庫(kù)(1-48)

隴東學(xué)院數(shù)學(xué)系重點(diǎn)課程建設(shè)常微分方程試題庫(kù)

施R步選

第二批重點(diǎn)課程建設(shè)材料

常微分方程

2006年—2008年

-1-

隴東學(xué)院數(shù)學(xué)系重點(diǎn)課程建設(shè)常微分方程試題庫(kù)

目錄

常微分方程課程試題（一）..................................-3-

常微分方程課程試題（二）..................................-5-

常微分方程課程試題（三）..................................-7-

常微分方程課程試題（四）..................................-8-

常微分方程課程試題（五）.................................-10-

常微分方程課程試題（六）.................................-12-

常微分方程課程試題（七）.................................-14-

常微分方程課程試題（八）..............................................................-15-

常微分方程課程試題（九）.................................-16-

常微分方程課程試題（十）..............................................................-18-

常微分方程試題（十一）...................................-20-

常微分方程試題（十二）...................................-24-

常微分方程試題（十三）...................................-29-

常微分方程試題（十四）...................................-33-

常微分方程試題（十五）...................................-38-

常微分方程試題（十六）...................................-42-

常微分方程試題（十七）...................................-46-

常微分方程試題（十八）...................................-51-

常微分方程試卷（十九）.....................................-55-

常微分方程試卷（二十）.....................................-60-

-2-

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常微分方程課程試題(一)

一、填空題(每空2分，共16分)。

1.方程位=/+>2滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是

dr

dy

2.方程組——=F(x,y),xeR,Y&R"的任何一個(gè)解的圖象是_________維空間中的一條積分

dx

曲線.

3.f(x,y)連續(xù)是保證方程生=/(x,y)初值唯一的

x.條件.

dx

4.方程組,的奇點(diǎn)(0,0)的類型是

電=%

Idr

5.方程y=盯'+g(y')2的通解是

6.變量可分離方程M(x)N(yg+p(x)q(y)dy=0的積分因子是

7.二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y=隊(duì)(x),y=/(x)成為其基本解組的充要條件是

8.方程y"+4y'+4y=0的基本解組是

二、選擇題(每小題3分，共15分)。

9.一階線性微分方程蟲+p(x)y=q(x)的積分因子是().

d.x

(A)〃=e"1k(B)〃=eW岫(0〃=/心心(D)〃=e

10.微分方程ylnydx+(x-lny)dy=0是()

(A)可分離變量方程(B)線性方程

(C)全微分方程(D)貝努利方程

11.方程My?-1)心+)，(？-l)d)=0的所有常數(shù)解是().

(A)x=±l(B)y=±l

(C)y=±1,x=±1(D)y=\,x=1

12.〃階線性非齊次微分方程的所有解().

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(A)構(gòu)成一個(gè)線性空間(B)構(gòu)成一個(gè)”-1維線性空間

(C)構(gòu)成一個(gè)〃+1維線性空間(D)不能構(gòu)成一個(gè)線性空間

13.方程方=］廠—+2()奇解.

(A)有一個(gè)(B)有無數(shù)個(gè)(C)只有兩個(gè)(D)無

三、計(jì)算題(每小題8分，共48分)。

14.求方程位=2沖；廠的通解

dxx2

15.求方程上dx+(y3+lnx)dy=0的通解

X

16.求方程y=(y')2-xy'+g/的通解

17.求方程y"—3y'=e*的通解

18.求方程才+y'-2y=e*(cosx-7sinx)的通解

dY「35、

19.求方程組一=AY,A=的實(shí)基本解組

dx1-53,

四、應(yīng)用題(本小題11分，共11分)。

20.(1)求函數(shù)/⑺=e”的拉普拉斯變換

(2)求初值問題1"的解

x(0)=0,xz(0)=0

五、證明題(本小題10分，共10分)。

21.證明：對(duì)任意小及滿足條件OY%Y1的右，方程立=」(丁』的滿足條件TO。)=%

dxl+.r+y

的解y=y(x)在(-co,+oo)上存在。

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常微分方程課程試題（二）

一、填空題（每空2分，共16分）。

1.李普希滋條件是初值問題存在唯一解的條件.

2.一階微分方程的一個(gè)特解的圖像是

維空間上的一條曲線.

dY

3.線性齊次微分方程組——=A（x）Y的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能

dr

個(gè)，其中xeR,YeR".

4.二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y=（P\（x）,y=%（x）成為其基本解組的充要條件

是.

5.方程y=xy'+sin（y'f的通解是

6.變量可分離方程M（x）N（y）c/x+p（x）q（y）dy=0的積分因子是

7.性齊次微分方程組的解組K（X）,丫2（外,…，％（x）為基本解組的條件是它們的朗斯基

行列式卬（x）wO.

8.方程y〃+5y'+4y=0的基本解組是

二、選擇題（每小題3分，共15分）。

9.兩個(gè)不同的線性齊次微分方程組（）的基本解組.

（A）一定有相同（B）可能有相同

（C）一定有相似（D）沒有相同

d-r-+y

dr

10.萬程組＜2X的奇點(diǎn)（0,0）的類型是（）.

dx3X

-.-+4

dr

（A）穩(wěn)定焦點(diǎn)（B）不穩(wěn)定焦點(diǎn)（C）鞍點(diǎn)D）不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

11.方程32-1方+）&_1）由,=0的所有常數(shù)解是（）.

（A）x=±l（B）y=±1

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(C)y=±1,x=±1(D)y=\,x=1

12.〃階線性非齊次微分方程的所有解().

(A)構(gòu)成一個(gè)線性空間(B)構(gòu)成一個(gè)“一1維線性空間

(C)構(gòu)成一個(gè)n+1維線性空間(D)不能構(gòu)成一個(gè)線性空間

13.方程-=Jy—x+4()奇解.

d_x

(A)無(B)有一個(gè)(C)有兩個(gè)(D)可能有

三、計(jì)算題(每小題8分，共48分)。

14.求方程包=2+tan)的通解

dxxx

15.求方程(一一l-y)dx+xdy=0的通解

16.求方程y=(y')2-盯'+的通解

17.求方程y〃-3y=/"的通解

18.求方程y"+4y=3sin2x的通解

dY「35、

19.求方程組一=AY,A=的實(shí)基本解組

dx1-53,

四、應(yīng)用題(本小題11分，共11分)。

20.(1)求函數(shù)/(f)=e"的拉普拉斯變換

(2)求初值問題《的解

x(0)=0,x,(0)=0

五、證明題(本小題10分，共10分)。

21.設(shè)夕(x)在區(qū)間(-QO,+8)上連續(xù).試證明方程

?=9(x)siny

dr

的所有解的存在區(qū)間必為(一8,+00).

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常微分方程課程試題（三）

一、計(jì)算題（每小題7分，共70分）。

1、求解方程包=工―+1?的通解。

dxx+y-3

2、求解方程：=+的通解

dxx2

3、求解方程：丁'+21丁+町4=0的通解

4、求解方程：（3%之+6盯2）dx+（6/y+4）/）dy=0的通解

九4

5、求解方程：（/+y+x3cosy）dx+（A：2y—x-萬siny）dy=0的通解

6、求解方程：x（yy"+y'2）+3?'=21

7、求解方程：y'〃一3y"+9y'+13y=0

8、求解方程：y（4）-4y“'+5y"-4y'+4y=0

9、求解方程：y"—4y'+4y=2e2"的一個(gè)特解

10、求解方程：y"+y=2sinx的一個(gè)特解

二、討論（每小題10分，共10分）。

1、討論方程包=2所確定的線素場(chǎng)。

dxx

三、應(yīng)用（每小題10分，共10分）。

1、已知方程（x-l）y"-xy'+y=0的一個(gè)非零解必=x,試用劉維爾公式求其通解。

四、證明（每小題10分，共10分）。

1、證明函數(shù)組在任意區(qū)間（。力）上線性無關(guān)（其中當(dāng)iwj時(shí)

404/）

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常微分方程課程試題(四)

一、填空題(每小題3分，本題共12分)

1.-階微分方程的一個(gè)特解的圖像是維空間上的一條曲線.

2.方程包=?所有常數(shù)解是_______.

dxx

3.方程y=xy'+siny'的通解是.

4.變量可分離方程sinxcosydx+xydy=0的積分因子是.

二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，本題共12分)

5.一階線性微分方程包+p(x)y=q(x)的積分因子是().

dx

(A)〃=eS(B)〃=eW"⑹…"也(D)〃=e4""

6.方程更=/+/()奇解.

dr

(A)有三個(gè)(B)無(C)有一個(gè)(D)有兩個(gè)

7.方程位=3/過點(diǎn)(0,0)().

dr

(A)有無數(shù)個(gè)解(B)只有三個(gè)解

(C)只有解y=0(D)只有兩個(gè)解

8.微分方程(3/+6xy2)dx+(6/y+4y3)辦，=0是()

(A)可分離變量方程(B)線性方程

(C)全微分方程(D)貝努利方程

三、計(jì)算題(每小題8分，本題共64分)

求下列方程的通解或通積分：

2

9dy=2xy-y

dxx2

10.且U+l

dxx

11.—dx+(y3+Inx)dy=0

x

12.?”+(斤+3/=o

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13.x2(ex4-3y2)dx+2x3ydy=O0

14.(x2ey-y)dx+xdy=0

15.y=(^f)2-xy'+~x2

16,包=上+大

dx2x2y

四、證明題(本題共12分)

17.設(shè)/(x)在［0,+8)上連續(xù)，且lim/(x)=O,求證：方程

字+y=/(x)

dr

的任意解y=y(x)均有l(wèi)imy(x)=0.

Xf+O0

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常微分方程課程試題(五)

一、選擇題(每題3分，共15分)。

1、函數(shù)f(x,y)Ty,y是否滿足李普希茲條件().

(A)不滿足；(B)滿足；(C)可能滿足；(D)可能不滿足

2、下列方程中無奇解的是.()

(A)y'-3y5(B)y'-yjl-y2(C)y'-xy'+2y'2(D)y'-x1+y2

3、向量函數(shù)組y,(x),匕(x),…，％(x)在其定義區(qū)間/上的朗斯基行列式W(x)=0,xe/,是其

線性相關(guān)的().

(A)充分條件；(B)充要條件；(C)必要條件；(D)既非充分又非必要條件.

4、〃階線性非齊次微分方程的所有解能否構(gòu)成一個(gè)線性空間.()

(A)能；(B)不能；(C)不確定；(D)與n有關(guān).

5、〃階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是()個(gè).

(A)n(B)72-1(C)n+1(D)n+2

二、解下列一階微分方程(每小題5分，共25分)

1、求解方程曳=2一(2)2;

Axxx

2、求解方程y蟲=x(l—/)；

dx

3、求解方程*+3y=e2'

4、解方程/e+3y2心+2/煙=0

5、求解方程y=(y')2-町'+；/

三、解下列方程組(每小題8分，共16分).

dx

—=x+y

1、求方程組I山的通解；

M=4x+y

[dt

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今=3%+%-%

at

生=一%+2%+%的通解,

2、求方程組，

at

dy3

~a~tT=%+%+%

四、解下列高階方程（每小題8分，共24分）。

1、求方程y'"-3y"+9y'+l3y=0的通解，

2、求方程y⑷一4了"+5），"-4y+4y=0的通解,

3、求方程y"—5y'=-5x?+2x的通解，

五、應(yīng)用題（共10分）。用拉普拉斯變換求解初值問題：x"—3x'+2x=2e"；x（O）=O,x'（O）=（k

心

力--

力

六、證明題（共10分）?？疾煜到y(tǒng)W的零解的穩(wěn)定性與漸近穩(wěn)定性。

一-

力-

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常微分方程課程試題（六）

一、選擇題（每題3分，共15分）。

dy[0,當(dāng)y=0

1、方程工=《滿足解存在惟一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是（）.

心[yln|y|,當(dāng)y^O

（A）xoy平面（B）左半平面（C）右半平面（D）除x軸外的全平面

2、丫（%,々）=陽(yáng)2+只是一個(gè)（）的李雅普諾夫函數(shù).（）

（A）正定的（B）負(fù)定的（C）常正的（D）常負(fù)的

3、下列方程中無奇解的是.（）

(A)y'=3/(B)=(C)y'-xy'+2y'2(D)y'-x2+y2

4、用待定系數(shù)法求方程y"+y=2sinx的非齊次特解力時(shí)，應(yīng)將特解力設(shè)為（）.

（A）>]=Asinx（B）必=Asinx+8cosx

（C）-Bcosx（D）乃=x（Asinx+Bcosx）

5、〃階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)（）線性空間.（）

（A）n—1維（B）〃+l維（C）〃維（D）〃+2維

二、解下列一階微分方程（每小題5分，共25分）

1、求解方程蟲=e*r；

dx

2、求解方程12女=孫一,2；

dx

3、求解方程立-工=/

dxx

4、解方程（31+6◎+3y2）dx+（2x?+3xy）dy=0

5、求解方程），=y"一孫，+g/

三、解下列方程組（每小題8分，共16分）。

I

d一rX+

由

1、求方程組<的通解;

d-y

一

山

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今=3%+%-%

at

華=一%+2y2+%的通解，

2、求方程組＜

at

①-V+V+V

.一十了2十了3

at

四、解下列高階方程（每小題8分，共24分）。

1、求方程y'"-3y〃+9y'+l3y=0的通解,

m

2、求方程y^-4y+5y"-4y'+4y=0的通解,

3、求方程〉"一5〉'=一5》2+2x的通解,

五、應(yīng)用題（共10分）。用拉普拉斯變換求解初值問題:

x"-3x'+2x=2e3';x(0)=0,x'(0)=0。

dx

—=-x

dt的零解的穩(wěn)定性與漸近穩(wěn)定性。

六、證明題（共10分）。考察系統(tǒng)?

dy_v

（dt

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常微分方程課程試題(七)

一、填空題(每小題共3分，共15分)

1.常微分方程是聯(lián)系、未知函數(shù)及之間的關(guān)系式.

2.一階微分方程的一個(gè)特解的圖像是維空間上的一條曲線.

3.方程位=yIny所有常數(shù)解是________________.

dr

4.方程y〃+5y'+6y=0的基本解組是.

5.變量可分離方程M(x)N(y)dr+P(x)Q(y)dy=0的積分因子是.

二、求下列方程的通解(每小題共8分，共64分)

6.包=上7.—dx+(y3+lnx)dy=0

dxxx

、dy

8.—=y4-sinx

dx

9dyx-y+1

dxy-3

10.ydx+(y=0

11.y"+3y'+2y=0

12.yw-3/+3/-y=0

13.了-3)/二產(chǎn)

三、證明題(本題共10分)

14.設(shè)，(x)在［0,+8)上連續(xù)，且lim〃x)=0,求證：方程曳+y=/(x)

XT+8dr

的任意解y=y(x)均有l(wèi)imy(x)=0.

四、應(yīng)用題(本題共11分)

15.方程也=Y+y2定義在矩形區(qū)域上，試?yán)么嬖谖ㄒ恍远ɡ泶_定經(jīng)

dx

過點(diǎn)(0,0)的解的存在區(qū)間，并求在此基礎(chǔ)上與真正解的誤差不超過0.05的近似解的表達(dá)式.

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常微分方程課程試題(八)

一、填空題(每小題共3分，共15分)

1.常微分方程是聯(lián)系、未知函數(shù)及之間的關(guān)系式.

2.一階微分方程的一個(gè)特解的圖像是維空間上的一條曲線.

3.方程位=yIny所有常數(shù)解是_______________.

dr

4.方程y〃+4y'+4y=0的基本解組是.

5.變量可分離方程M(x)N(y)dr+P(x)Q(y)dy=0的積分因子是.

二、求下列方程的通解(每小題共8分，共64分)

6.3=土7.fdx+(y3+inx)dy=0

dxyx

8.包=2?+2/

dxx

9dy^x-y+1

dxx+y-3

10.(y-1-xy)rfx+xdy-0

11.y"-5y'+6y=0

12.y-3y"+3…=0

13.=

三、證明題(本題共10分)

14.設(shè)/(x)在［0,+8)上連續(xù)，且lim/(x)=0,求證：方程電+丁=/(1)

x-dx

的任意解y=y(x)均有l(wèi)imy(x)=0.

X->-KC

四、應(yīng)用題(本題共11分)

15.方程蟲=/+y2定義在矩形區(qū)域R：—14x61,-14yAi上，試?yán)么嬖谖ㄒ恍远ɡ泶_定經(jīng)

dx

過點(diǎn)(0,0)的解的存在區(qū)間，并求在此基礎(chǔ)上與真正解的誤差不超過0.05的近似解的表達(dá)式.

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常微分方程課程試題(九)

一、填空題(每小題3分，本題共15分)

方

L程

dl=x2+y2滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是.

dr

方

2程dl

dA=x2siny的所有常數(shù)解是.

3.若y=Q(x)在(-8,+8)上連續(xù)，則方程位=Q(x)y的任一非零解

dx

________________與x軸相交，

4.在方程y"+p(x)y'+q(x)y=0中，如果p(x),g(x)在(一8,+oo)上連續(xù)，那么它的任

一非零解在xoy平面上與x軸相切.

5.向量函數(shù)組4*),丫2(燈,…，y“a)在其定義區(qū)間/上線性相關(guān)的條件是它們的

朗斯基行列式W(x)=0,xel.

二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，本題共15分)

6.”階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)()線性空間.

(A)〃維(B)"+1維(C)〃一1維(D)〃+2維

7.方程-=Jx—y+2()奇解.

dr

(A)有三(B)無(C)有一個(gè)(D)有兩個(gè)

dy2

8.方程”=3y3過點(diǎn)(0,0)().

dr

(A)有無數(shù)個(gè)解(B)只有三個(gè)解

(C)只有解y=0(D)只有兩個(gè)解

9.若y=/(x),y=°2(x)是一階線性非齊次微分方程的兩個(gè)不同特解，則該方程的通解可

用這兩個(gè)解表示為().

(A)0(x)-02(X)(B)(P\(x)+02(x)

(C)C{(px(x)-(p2(x))+(p1(x)(D)Cg)i(x)+^>2(x)

I。一,—)連續(xù)是方程初值解唯一的()條件.

(A)必要(B)必要非充分(C)充分必要(D)充分

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三、計(jì)算題（每小題6分，本題共30分）求下列方程的通解或通積分:

L

d-)xy

2

dr1+x

zd-y

2x

dYe

13.(x3+xy2)dr+(x2y+y3)d>,=0

14.e'+y'-x=0

15.y/+(y)2=0

四、計(jì)算題(每小題10分，本題共20分)

16.求方程y”-5y'=sin5x的通解.

dx

x+y

17.求下列方程組的通解《dt

dy4x+y

d

五、證明題（每小題10分，本題共20分）

18.設(shè)/'（x,y）在整個(gè)xoy平面上連續(xù)可微，且/（兀丁。）三求證：方程"=的非

dx

常數(shù)解y=y（x）,當(dāng)x->%（）時(shí)，有y（x）打，那么/必為一oo或+8.

19.設(shè)y=0］（x）和y=夕2。）是方程y"+4（x）y=。的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行

列式W（x）三C,其中C為常數(shù).

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隴東學(xué)院數(shù)學(xué)系重點(diǎn)課程建設(shè)常微分方程試題庫(kù)

常微分方程課程試題(十)

一、填空題(每小題3分，本題共12分)

1.一階微分方程的一個(gè)特解的圖像是維空間上的一條曲線.

2.方程苴=yin)，所有常數(shù)解是_________________________.

(lx

3.方程y=xyf+；(y')2的通解是.

4.變量可分離方程M(x)N(yZ+=0的積分因子是.

二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，本題共12分)

5.一階線性微分方程曳+p(x)y=q(x)的積分因子是().

dx

(A)〃=e〕”"(B)〃=(C)〃=「加出(D)〃=e

6.方程曳=Jx—y+2()奇解.

dx

(A)有三個(gè)(B)無(C)有一個(gè)(D)有兩個(gè)

7.方程dy上=3-y3過點(diǎn)(0,0)().

dr

(A)有無數(shù)個(gè)解(B)只有三個(gè)解

(C)只有解y=0(D)只有兩個(gè)解

8.微分方程yInydx+(x-Iny)dy=0是()

(A)可分離變量方程(B)線性方程

(C)全微分方程(D)貝努利方程

三、計(jì)算題(每小題6分，本題共66分)求下列方程的通解或通積分:

9.(x+2y)dx-xAy=0

10.蟲=2孫一)，2

dxx2

11.立」+1

dxx

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12.電=22+2/

dxx

13.—dx+(>,3+Inx)dy=0

x

14.?〃+(曠)2+3/=0

15.x2(ev+3y2)dx+2x3ydy=0

16.(x2ev-y)dx+xdy=0

17.yr(x-\nyr)=1

18.y=(yf)2-xyf^^x2

19.2yy"=(y，)2

四、證明題(本題共10分)

20.設(shè)/(x)在［0,+8)上連續(xù)，且lim/(x)=O,求證：方程空+y=/(x)的任意解

XT+00dx

y=y(x)均有l(wèi)imy(x)=0.

XT+CO

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常微分方程試題（十一）

一單項(xiàng)選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確的答案，并將其號(hào)碼填入題干后的

括號(hào)內(nèi)。每小題2分，共10分）

1.方程y'"——y"—/=1的通解中含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A1B2C3D4

2.下列方程中的線性微分方程是（）

Acos（x+y'）=yByy'=yCy''=xy-xDy,n=siny

3.微分方程y'=y滿足條件y（O）=l的特解是（）

AexBex-\Cce'（c為任意常數(shù)）D2-ex

4.當(dāng)鹿=1時(shí)，方程y'+p（x）y=q（x）y"最確切的名稱是（）

A一階方程B貝努利方程

C一階線性方程D一階線性齊次方程

5.在整個(gè)數(shù)軸上線性無關(guān)的一組函數(shù)是（）

Al,x-1BO,x,x2,x3

二填空題（每小題2分，共10分）

1.具有性質(zhì)“曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)”的曲線

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所滿足的微分方程是O

2.已知必(x)是二階齊次線性方程y''+a(x)y'+b(x)y=0的一個(gè)非零解，則與必(x)線性

無關(guān)的另一解y2(x)=o

3.設(shè)%是n階常系數(shù)齊次線性方程特征方程的k重根，則該方程相應(yīng)于;I。的k個(gè)線性無

關(guān)解是。

dY

4.y］(x),%(x)，…,yn(x)是線性方程組——=A(x)y的基本解組的充分必要條是

dx

(1),(2)。

5.方程組—=4%4-y,蟲=2x+5y的奇點(diǎn)類型是______________。

dtdt

三、求出下列方程(組)的通解(每小題10分，共40分)

12dy2

1.x——l=xy-y

dx

2.(y-3x2)dx-(4y-x)dy=0

3.尸2戶3y=3x+l

4.—=-3x+48y-28z,-=-4x+40y-22z,-=-6x+57y—3lz.

dtdtdt

四(10分)、求出方程y=孫'+」的所有解.

五(10分)、討論方程也=2上適合初值條件y(ln2)=-3的解的存在區(qū)間.

dx2

六(10分)、試用形如V(x,y)=ax,n+byn的Liapunov函數(shù)判定方程組

—^y+x\電=—2/+2y5零解的穩(wěn)定性.

dtdt

dx

七(10分)、設(shè)函數(shù)f(t)在［0,+8)上連續(xù)且有界，試證明方程一=/?)—X的所有解均

dt

在［0,+00)上有界.

參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一.單項(xiàng)選擇題：(每小題2分，共10分)

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1.C2.C3.A4.D5.D

二.填空題（每小題2分，共10分）

1.2xy'-y-x

2.)'|卜|表乎」

3.e^x,xe^,???,xk~'e^x

4.（1）y,…，y”是該方程的解，（2）y1，…，y“線性無關(guān)

5.不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

三.計(jì)算題（每小題10分，共40分）

1.令？="》得X—=-M2（4分）

dx

1）?=0是解，從而y=O也是原方程的解（5分）

2-0時(shí)有*=—（7分）

UX

積分得u=-」---（9分）

ln|x|+c

X、

從而y=-j—：---（10分）

中+C

2.因?yàn)橐唬▂—3x?）=—（x-4y）

dydx

故該方程是全微分方程（4分）

選特殊路徑積分得原函數(shù)U（x,y）=-2y2-x3+xy（8分）

從而通積分為-2丁2一天3+孫=。（10分）

3.特征方程是萬一2丸—3=0

特征根是3,-1（3分）

齊次方程的通解是）；=。］0一"+。20"（5分）

由比較系數(shù)法或常數(shù)變易法可得一特解，例如-冗+1/3（9分）

x3x

從而通解為y=cte~+c2e—x+1/3（10分）

4.特征根為1,2,3（3分）

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一量」5分）

13,

2對(duì)應(yīng)的特征向量為

（10分）

四.

通解為y=cx+l/c（6分）

求包絡(luò)得奇解V=4x（10分）

五.該方程右端函數(shù)在全平面上滿足解的存在唯一性定理和延拓定理的條件（2分）

1+cex

此方程的通解為y=----（5分）

-l-cex

\+ex

過（ln2,—3）的解為y=------（7分）

1-e'

解的存在區(qū)間為（0,+8）（10分）

六.取定正函數(shù)V（x,y）=/+y?（4分）

則全導(dǎo)數(shù)""=4*6+y6）也是定正函數(shù)（8分）

dt

由Liapunov穩(wěn)定性定理知0解是不穩(wěn)定的（10分）

七.設(shè)X。）是該方程的任一解，滿足x?o）=￡[0,+8）從而

t

x（t）=+J/G）/-%（4分）

只須證x（r）在[%,+8）有界