2019全國各地中考數(shù)學(xué)考試真題及答案

2019最新全國各地中考數(shù)學(xué)考試真題及答案

一>函數(shù)與幾何綜合的壓軸題

1.(2018安徽蕪湖)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，

AB.⑺都垂直于x軸，垂足分別為8、。且4?與8相

交于￡點.已知:?(-2,-6),6,(1,-3)

(1)求證：E點在v軸上；

(2)如果有一拋物線經(jīng)過4E,C三點，求此拋物線

方程.

(3)如果彳8位置不變，再將。C水平向右移動A(A>0)

個單位，此時4?與墳？相交于P點,如圖②，求

△/PC的面積S關(guān)于"的函數(shù)解析式.

1

圖①

［解］(1)(本小題介紹二種方法，供參考)

方法一：過￡作J-X軸，垂足0'AB//EO'//DC

.EO'DO'EO'BO'

??~AB~~DB'~CD~~DB

又?：DO'+B0'=DB

?EO'EO'

??------1--------

ABDC

,:A即6,a?=3,:.EO'=2

又??DO'EO'DO'=^-xDB=-x3=\

?DB一ABAB6

:.DO'=00,即O'與0重合，E在y軸上

方法二：由Z?(1,0),A(-2,-6),得。4直線方程:

*2小2①

再由8(-2,0),C(1,-3),得BC直線方程：*-

『2②

聯(lián)立①②得°

)=一2

???￡點坐標(biāo)(0,-2),即E點在p軸上

(2)設(shè)拋物線的方程*af+6/c(a手0)過4(-2,-

6),C(1,-3)

2

4?-2Z?+c=-6①

E(0,-2)三點，得方程組＜a+b+c=-3②

c=-2③

解得a=-1,左0,c=-2

二.拋物線方程y=~x-2

(3)(本小題給出三種方法，供參考)

由(1)當(dāng)。C水平向右平移4后，過4?與8c的交點廳

作EfF_Lx軸垂足為F。

同(1)可得：空+空汽得：E,后2

ABDC

方法一："：E'F〃ABn巴江,：.DF^-DB

ABDB3

iii2

S/^AErc~S^ADC~D(P—DC?DB—DC?DF——DC?—DB

2223

=-DC*05=08=3+A

3

S=3+k為所求函數(shù)解析式

方法二：??BA//DC,SRBCFSXBDA

S/\AEr（FS^BDE，=；3￡）.E77=g（3+Z）x2=3+&

，83+A為所求函數(shù)解析式.

證法三：S△比，c:S△西mDE':AEf;DC：彳夕1：2

同理：SRDEC?SRDE'61.2,又

,:SRDFC:SRABF—D（/:4仔=1:4

?2?1

??SMEC=§S梯形Ms=§*5（43+?！辏?3￡）=3+左

3

優(yōu)3+A為所求函數(shù)解析式.

2.(2018廣東茂名)已知：如圖，在直線坐標(biāo)系中,

以點M(1,0)為圓心、直徑AC為2后的圓與y軸交

于A、D兩點.

(1)求點A的坐標(biāo)；

(2)設(shè)過點A的直線y=x+b與x軸交于點B.探究：

直線AB是否。M的切線？并對你的結(jié)論加以證明；

(3)連接BC,記AABC的外接圓面積為8、OM面積

為S2,若直，，拋物線

S24

y=ax?+bx+c經(jīng)過B、M兩點，且它的頂點到x軸的距

離為〃.求這條拋物線的解析式.

［解］(1)解：由已知AM=a,0M=1,

在RtZ\A0M中，AO=^AM2-OM2=1,

.?.點A的坐標(biāo)為A(0,1)

(2)證：???直線y=x+b過點A(0,1).\1=0+b

即b=1/.y=x+1

令y=0貝Ix=-1AB(—1,0),

AB=^BCf+AO2=Vl2+12=V2

在aABM中，AB=V2,AM=V2,BM=2

AB2+AM2=(V2)2+(V2)2=4=BM2

「.△ABM是直角三角形，ZBAM=90°

4

直線AB是。M的切線

(3)解法一：由⑵得NBAC=90°,AB=V2,AC=2a,

BC=4AB1+AC2=J(揚2+(2揚2=M

?「NBAC=90°AAABC的外接圓的直徑為BC,

,*=(些)2”=(埋2…耳

'222

而S2=(竿)2?兀=(2^2)2?萬=2萬

即，

/i=5

S24,In4'

設(shè)經(jīng)過點B(—1,0)、M(1,0)的拋物線的解析式

為：

y=a(+1)(x—1),(a/0)即y=ax?—a,

a±5,??a±5

拋物線的解析式為y=5x2—5或y=—5X2+5

解法二：(接上)求得???h=5

由已知所求拋物線經(jīng)過點B(―1,

0)、M(1、0),則拋物線的對稱軸是y軸，由

題意得拋物線的頂點坐標(biāo)為(0,±5)

.?.拋物線的解析式為y=a(x—0)

2±5

又B(-1,0)、M(1,0)在拋物

線上，a±5=0,a=±5

拋物線的解析式為y=5x2—5或y=—5x2+5

5

解法三：(接上)求得.?.h=5

因為拋物線的方程為y=ax?+bx+c(a手0)

a+b+c-0\a=-5a=5

解%=()

由已知得.a-b+c=O或b=O

4ac—b'「c=5c=-5

----------=±5

4a

，拋物線的解析式為y=5x2—5或y=—5x2+5.

3.(2018湖北荊門)如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點P(1,

—1)為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點，拋

物線y=ax?+)x+c(a>0)過點A、B,且頂點C在。P上.

(1)求。P上劣弧AZ的長；

⑵求拋物線的解析式；

⑶在拋物線上是否存在一點D,使線段0C與爐互相平

分？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，石舐明理由.

［解］(1)如圖，連結(jié)PB,過P作PMJ■磁/戛亮覿

“飛產(chǎn)

C

在RtZSPMB中，PB=2,PM=1,

AZMPB=60°,AZAPB=120°

6

油的長=黑"2=與

A

y

(2)在RtZkPMB中,PB=2,PM=1,則MB=MA

又OM=1,AA(1-V3,0),B(1+Vr^

X

p

由拋物線及圓的對稱性得知點C在直線P

則C(1,-3).c

點A、B、C在拋物線上，則

2

0=a(l+V3)+/?(l+V3)+ca=1

<O=a(l-V3)2+Z>(l-V3)+c解之得"=-2

-3=a+b-^-cc=-2

.?.拋物線解析式為y=x2-2x-2

(3)假設(shè)存在點D,使0C與PD互相平分，則四邊形

OPCD為平行四邊形，且PC〃OD.

又PC〃y軸，??.點D在y軸上，.\0D=2,即D(0,一

2).

又點D(0,-2)在拋物線y=2x_2上，故存在點D

(0,-2),

使線段0C與PD互相平分.

4.(2018湖北襄樊)如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，

的直角頂點C(0,73)在y軸的正半軸上，人

8是％軸上是兩點，且以：08=3：1,以"、08為直

徑的圓分別交4c于點￡交8C于點￡直線)交0c

于點Q

(1)求過4B、C三點的拋物線的解析式；

7

(2)請猜想：直線才與兩圓有怎樣的位置關(guān)系？并

證明你的猜想.

(3)在△40C中，設(shè)點"是4C邊上的一個動點，過"

作融勿8交0c于點兒試問：在1軸上是否存在點P,

使得是一個以融為一直角邊的等腰芝角三角形？

若存在，求出戶點坐標(biāo)；若不存在，密速明￡由.

［解］(1)在RtZ\48C中，0C±AB,

:.△AOgACOB.

：.OG=OA?OB.

,：OA：08=3：1,C(0,6),

(V3)2=30B.0B.y

：,0B=\.：,0A=3.

?>(-3,0),8(1,0).

A\01Px

設(shè)拋物線的解析式為產(chǎn)加+》X+C./

a=

9?！?/?+c=O,~~3,

則.a+Z?+c=O,解之，得<b=-招

8

，經(jīng)過小B、C三點的拋物線的解析式為

y=----X2--Y/3X+\/3.

33

(2)才與。，、?？诙枷嗲?

證明：連結(jié)OE、OF.

*：ZECF=NAEO=ZBFO=90°,

，四邊形EOFC為矩形.

：,OE=00.

：.Z1=Z2.

Z3=Z4,Z2+Z4=90°,

，37與。a相切.

同理：EF理?？谙嗲?

(3)作施_L0于只設(shè)MN=a，由題意不得MP=MN=a.

'：MN//OA,

△CMNs△CAO.

.MN_CN

**~AO~CO'

?a_y/3-a

3V3

解之，得"當(dāng)士

此時，四邊形”愉是正方形.

9

MN=OP=3拒-3

2

考慮到四邊形ZWI/0此時為正方形，

??.點夕在原點時仍可滿足△/W是以削為一直角邊的

等腰直角三角形.

故x軸上存在點戶使得△%1/是一個以融為一直角邊的

等腰直角三角形且p（-當(dāng)±o）或mo）.

5.（2018湖北宜昌）如圖，已知點A（0,1）、C（4,3）、

E（"，里），P是以AC為對角線的矩形ABCD內(nèi)部（不在

48

各邊上）的一個動點，點D在y軸，拋物線y=

ax+bx+］以P為頂點.

（1）說明點A、C、E在一條條直線上；

（2）能否判斷拋物線y=a》+bx+1的開口方向？請說明理

由；

⑶設(shè)拋物線y=ax2+bx+-1與x軸有交點F、G（F在G的

左側(cè)），AGAO與△FAO的面積差為3,且這條拋物線

與線段AE有兩個不同的交點.這時能確定a、b的

值嗎？若能，請求出a、b的值；若不能，請確定a、

10

b的取值范圍.

(本題圖形僅供分析參考用)Y]°

[解](1)由題意，A(0,1)、C(4,3)確

定的解析式為：y二g".--B

將點E的坐標(biāo)E(51)代入y=Jx+1埒

左邊二里右邊二J.X12+1二里，

8248

???左邊二右邊,?,?點E在直線y得上,即點A、C、

E

在一條直線上.

(2)解法一：由于動點P在矩形ABCD內(nèi)部，??.點P

的縱坐標(biāo)大于點A的縱坐標(biāo)，而點A與點P都在拋物

線上，且P為頂點，??.這條拋物線有最高點，拋物線

的開口向下

解法二：二,拋物線y=ax^+b/c的頂點P的縱坐標(biāo)為

4a一廬，且P在矩形ABCD內(nèi)部，：.]<4a~b2<3,由1

4a4。

V1一或得一匹>0,a<0,.??拋物線的開口向下.

4a4。

(3)連接GA、FA,S—S=3.MGO-AO—1

AGA0AFAO22

F0?A0=3V0A=1,AGO—F0=6.設(shè)F(必，0)、G

(X2,0),則必、X2為方程Yf

c

ax+bx+c=0的兩個根，且%V*2,D[

又TaVO,，必?用二LVO,.*.xi<

0<X2,0矛

11

G0=x-i,FO--Xy,Xi—(—X\)-6,

即先+必二6,,二先+必二一-...--=6,

aa

b=—6a,

拋物線解析式為：\j-ax—6ax+1,其頂點P的坐標(biāo)為

(3,1—9a),\?頂點P在矩形ABCD內(nèi)部，

1<1—9aV3,—■|VaV0.

"V=aR—]

由方程組16ax+l得：一K一(6a+-)

Jz\

2

2

/1

i、6aH—1

x=0或戶——1二6+L

a2a

當(dāng)產(chǎn)0時，即拋物線與線段AE交于點A,而這條拋物

線與線段AE有兩個不同的交

點，則有：0V6+，W”,解得：-2WaV"——

2a4f912

綜合得：-2VaV——\*b=—6a,<b<-

912‘23

6.(2018湖南長沙)已知兩點0(0,0)、B(0,2),

0A過點B且與x軸分別相交于點0、C,。人被〃軸分

成段兩圓弧，其弧長之比為3：1,直線/與。A切于

點0,拋物線的頂點在直線/上運動.

(1)求。A的半徑；

(2)若拋物線經(jīng)過0、C兩點，求拋物線的解析式；

(3)過/上一點P的直線與。A交于C、EWg,且

PC=CE,求點E的坐標(biāo)；!-

12

(4)若拋物線與x軸分別相交于C、F兩點，其頂點P

的橫坐標(biāo)為勿，求△PEC的面積關(guān)于勿的函數(shù)解析式.

［解］(1)由弧長之比為3：1,可得NBA0=90。

再由AB=AO=r,且0B=2,得r=j

(2)(DA的切線/過原點，可設(shè)/為p=Ax

任取/上一點(6,k6),由/與y軸夾角為45°可得：

b=-kb氮b=kb,得k=—1或k=1,

直線/的解析式為y=—x或y=x

又由r=0,易得C(2,0)或C(-2,0)

由此可設(shè)拋物線解析式為p=ax(x—2)或p=ax(x+2)

再把頂點坐標(biāo)代入/的解析式中得a=1

.,.拋物線為卜=>2—2x或p=x2+2x.......6分

(3)當(dāng)/的解析式為y=-x時，由P在/上，可設(shè)

P(m,—m)(m>0)

過P作PPZ_Lx軸于P，,「.OP，=|m|,PP'=|-

m|,0P=2m2,

又由切割線定理可得：OP2=PC?PE,且PC=CE,得PC

=PE=m=PP,7分

，C與P'為同一點，即PE_Lx軸于C,，m=-2,

E(-2,2)…8分

同理，當(dāng)/的解析式為y=x時，m=-2,E(-2,2)

⑷若C(2,0),此時/為尸=一(??￥與點0、點C

不重合，且m#=2,

當(dāng)mVO時，F(xiàn)C=2(2-m),高為即為一m,

?..S=2(2r〃)(T〃)=/_2〃

2

同理當(dāng)0VmV2時，S=-m2+2m;當(dāng)m>2時，S=m2

13

—2m;

?Q_\m2-2m(m<0或加>2)

??D-]7又若C(—2,0),

-m~+2m(0<m<2)

2或加>

此時/為y=x,同理可得;S=m+2m(m<-20)

-rrr-2m(-2<m<0)

7.（2018江蘇連云港）如圖，直線產(chǎn)丘+4與函數(shù)

y=F（X>0,%>0）的圖像交于48兩點，且與X、V軸分別

交手C、D兩點、.

（1）若AC8的面積是AAO5的面積的收倍，求人與加之

間晶函數(shù)關(guān)系式；

（2）在（1）的條件下，是否存在人和〃?，使得以AB

為直徑的圓經(jīng)過點P（2,0）.若存在，求出及和加的值；

若不存在，請說明理由.

［解］（D設(shè)A（X［,y）,5（%2，為）（其中再<%2，必>為抖\

OpD

由SMOD=6sMOB9付S&COD=叵（SMOD-SMOD）

e

..-OCOD=y[2（-?O￡>?y.--?O￡>?y2）,

22122

OC=42（y]-y2）,

2

又OC=4,-y2）=8,即（必+為尸-4yly2=8,

由產(chǎn)里可得“生，代入"日+4可得V

xy

...必+為=4,y,-y2=-km,

r\

左根=艮口%=-■—.

??16+48,m

又方程①的判別式+,

所求的函數(shù)關(guān)系式為k=--(m>0).

m

(2)假設(shè)存在上,加，使得以43為直徑的圓經(jīng)過點尸(2,0).

則AP,曾，過A、區(qū)分別作工軸的垂線，垂足分別為M、

N.

?/ZMAP與NfiPN者口與NAPM互余,/.ZMAP=ZBPN.

???RtAA^psRtAyv尸5,，烈=竺.

PNNB

?Vi2-?

??~,??（X1—2）（￡-2）+,]為=0,

加-m>2

（——2）（一一2）+乃為=0,

月為

2

即m-2m（yx+必）+4yly2+（乃為尸=0②

由(1)知乃+為=4,展乃=2,代入②得病-8m+12=0,

?弋力2?［相=24；=6

??777=26,k=-----,??彳〈心一JL，

m［攵=-1K=~~3

二.存在火，機(jī)，使得以AB為直徑的圓經(jīng)過點尸(2,0),且

2=2或］;=6「

k=-［k=一工

15

8.(2018江蘇鎮(zhèn)江)已知拋物線y=mr2-(m-5)》-5(>0)

與X軸交于兩點A(X"0)、B(X2,0)(x,<x2),與.軸交于

點C,且AF6.

(1)求拋物線和直線861的解析式.

(2)在給定的直角坐標(biāo)系中，畫拋物線和直線8c

(3)若OP過力、B、C三點，求OP的半徑.

(4)拋物線上是否存在點M,過點〃作MN_Lx軸于點

N,使被直線8C分成面積比為1:3的兩部分？

若存在，請求出點"的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由.

［解］(1)由題意得：玉+々=—~~-,%1"x=—,x-%］=6.

m2m2

.、2)m-5Y20”

(X1+/)-4%|%2=36,|----H-3o,

\m)m

解得町=1,“=-；y

經(jīng)檢驗/7F1,，拋物線的解析式為：-

y=X2+4x-5.IIIIIIIIIII.

0_x

或：由蛆2-(加-5)尤-5=0得，x=l或尤=—

m-

m>0,

1----=6,加=1.

m-

拋物線的解析式為y=冗2+4X-5.

由d+4x-5=()得玉=-5,々=1.

16

：.A(-5,0),8(1,0),C(0,-5).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

則p7P-5,

k+b=O.k=5.

???直線BC的解析式為y=5x-5.

(2)圖象略.

(3)法一：在RrDAOC中，-.?OA=OC=5,ZOAC=45°.

:.NBPC=90。.

又BC=^OB2+OC2=V26,

0P的半徑=正■二店.

2

法二：

由題意，圓心戶在48的中垂線上，即在拋物線

y=f+4x-5的對稱軸直線％=-2上，設(shè)P(—2,—h)

(h>0),

連結(jié)PB、PC,貝||依2=(1+2)2+》,2。2=(5—〃產(chǎn)+22,

由Pj?2=PC2,即(1+2)2+%2=(5—1)2+22,解得t2.

尸(-2,-2),QP的半徑P8=7(1+2)2+22=V13.

法三：

延長C夕交OP于點F.

-.CF為。尸的直徑，ZCAF=ZCOB=90°.

又ZABC=ZAFC,:.DACF~DOCB.

17

CFAC?ACBC

：.——=——,CF=----------.

BCOCOC

又AC=6+52=50,CO=5,BC=A/52+12=V26,oo

e還等=2疝

.?.OP的半徑為標(biāo).

(4)設(shè)例交直線8C于點￡點的的坐標(biāo)為(f/+4—5),

則點￡■的坐標(biāo)為(?,5/-5).

若SDMEB-SDENB=1：3,則ME:EN=1:3.

,4

EN:MN=3:4,二產(chǎn)+47—5=§(57—5).

解得“I(不合題意舍去)，工,；.陪,與)

若SDMEB：SDENB=3：1,則ME:EN=3:1.

EN:MN=1:4,.?.產(chǎn)+4-5=4(5/-5).

解得4=1(不合題意舍去)，%=15,.?.4(15,280).

.??存在點以點力的坐標(biāo)為佟引或(15,280).

9.如圖，。的與x軸交于4、8兩點，其坐標(biāo)分別為

4—3,0)、8(1,0),直徑COJLx軸于"，直線CE切。"于點

C,直線尸G切。"于點尸，交優(yōu)于G,已知點G的橫坐

標(biāo)為3.

18

(1)若拋物線尸T2_2X+W經(jīng)過力、B、D三點、,求

加的值及點。的坐標(biāo).

(2)求直線Z?尸的解析式.

(3)是否存在過點G的直線，使它與(1)中拋

物線的兩個交點的橫坐標(biāo)之和等于4?若存在，請

求出滿足條件的直線的解析式；若不存在，請說明

理由.

由圓的對稱性知點。為拋

物線的頂點.

〃點坐標(biāo)為(-1,4).

(2)由題意知：彳成4.

?.?CZZLx軸，:.N歸NB=2.?*.0滬1.

由相交弦定理得：NA?NB^ND?NG,

：.NCX4=2X2....攸，

19

.??。點坐標(biāo)為(一1,一1).

設(shè)直線DF爻比于P,連結(jié)CF,則NCa90°.

...N2+N3=N1+N4=90

?:GC、G廠是切線，

AGC^GF.N3=N4.

.??N1=N2.

GF^GP.

：.GC^GP.

可得CP=8.

，戶點坐標(biāo)為（7,7）

設(shè)直線。下的解析式為y=kx+h

k5

則—k+b=4解得8

7k+b=-\bd

8

.二直線。尸的解析式為：尸一二+

(3)假設(shè)存在過點G的直線為尸&X+4,

貝3kl+d=-1,??仇=一3攵?—1.

由方程組<）及/3"1?得i+（2+昂）兀-4-3%[=0

y=-x2-2x+3

由題意得-2-e=4,；?曷=-6.

當(dāng)k[=—6曰寸,A=-40<0,

20

??.方程無實數(shù)根，方程組無實數(shù)解.

??.滿足條件的直線不存在.

10.(2018山西)已知二次函數(shù)+公+C的圖象經(jīng)過

點A(—3,6),并與x軸交于點B(—1,0)和

點C,頂點為P.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式，并在下面的坐標(biāo)

系中畫出該二次函數(shù)的圖象；

(2)設(shè)D為線段0C上的一點，滿足NDPC=NBAC,

求點D的坐標(biāo)；

(3)在x軸上是否存在一點M,使以M為圓心的圓

與AC、PC所在的直線及y軸都相切？如果存在，

請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

[解](1)解：,二次函數(shù)y=g%2+法+c的圖象過點A

(—3,6),B(—1,0)

9(

——3b+c=6[b=-yU

得：解得「

——b+c-0[C二_

2

I.這個二次函數(shù)的解析式為：y=—x?_?1_?_1_?~L

220-

由解析式可求P(1,-2),C(3,0)二

畫出二次函數(shù)的圖像~

(2)解法一：易證：ZACB=ZPCD=45°

又已知：ZDPC=ZBAC.*.△DPC^ABAC

21

.DCPC

>?----------易求AC=672,PC=2A/2,BC=4

BCAC

DC=-/.OD=?>--=-

33313)

解法二：過A作AE_Lx軸，垂足為E.

設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于F.

亦可證△AEBs/^PFD、

.?.歿=空.易求：AE=6,EB=2,PF

PFFD

=2

/.FD=-/.OD^-+\=-

333U)

(3)存在.

(1°)過M作MH_LAC,MGJLPC垂足分別為H、G,

設(shè)AC交y軸于S,CP的延長線交y軸于T

?「△SCT是等腰直角三角形，M是的內(nèi)切圓圓

心，

.,.MG=MH=OM

又「MC=6OM且OM+MC=OC

6OM+OM=3,得OM=3V2-3

M(3夜-3,0)

(2°)在x軸的負(fù)半軸上，存在一點M'

同理0M'+OC=M'C,OM'+OC=y/2OM'

22

得OM，=30+3，M'（-3夜-3,0）

即在X軸上存在滿足條件的兩個點.

11.(2018浙江紹興)在平面直角坐標(biāo)系中，A(-1,

0),B(3,0).

(1)若拋物線過A,B兩點，且與y軸交于點(0,

-3),求此拋物線的頂點坐標(biāo)；

(2)如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過A,B兩點的拋物線如

果與y軸負(fù)半軸交于點C,M為拋物線的頂點，那么

△ACM與4ACB的面積比不變，請你求出這個比值；

23

(3)若對稱軸是AB的中垂線I的拋物線與x軸交

于點E,F,與y軸交于點C,過C作CP〃x,山

交I于點P,M為此拋物線的頂點.若四丫邊形

PEMF是有一個內(nèi)角為60°的菱形，

求次拋物線的解析式.

A

［解］(1)y=/_2》_3,頂點坐標(biāo)為(1,

-4).

(2)由題意，設(shè)y=a(x+1)(x-3),

即y=ax2—2ax—3a,

.A(-1,0),B(3,0),C(0,—3a),

M(1,—4a),

SZJMCB=；X4Xk3a|=6時,

而a>0,SAACB_6A>

作MD±x軸于D,

-

又SAACM—SAACO+SOCMD—SAAMD——,1?3aH—(3a+

22

4a)—-,2?4a=a,

2

SAACM：SAACB=1:6.

(3)①當(dāng)拋物線開口向上時，設(shè)y=a(x-1)2+k,

即y=ax2—2ax+a+k,

有菱形可知|a+M=|M，a+k>0,k<0,

k=—0

2，

24

y=ax2—2ax+\EF\=41.

i己I與x軸交點為D,

若NPEM=60°,貝|]NFEM=3O°,MD=DE?tan30°

6，

.??拋物線的解析式為y」而2二后%+逅.

336

若NPEM=120°,則NFEM=60°,MD=DE-tan60°

=娓

2，

k=——,a=76,

2

拋物線的解析式為y=V^_2Cx+逅.

2

②當(dāng)拋物線開口向下時，同理可得

y=~—y[6x2+—46X-^-,y=-y/6x2+2y/6x-.

3362

12.(2018北京)已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一

次函數(shù)y=Ax-44的圖象與X軸交于點A,拋物線

y=ax2+fcc+c經(jīng)過0、A兩點0

(1)試用含a的代數(shù)式表示b;

(2)設(shè)拋物線的頂點為D,以D為圓心，DA為半徑的

圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻

25

折，翻折后的劣弧落在。D內(nèi)，它所在的圓恰與0D相

切，求。D半徑的長及拋物線的解析式；

(3)設(shè)點B是滿足(2)中條件的優(yōu)弧上的一個動點,

拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點P,使得

ZPOA^-ZOBA?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由。

［解］(1)解法"一：一'次函數(shù)y=依-4Z的圖象與X軸

交于點A

??.點A的坐標(biāo)為(4,0)

???拋物線丁=改2+加+,經(jīng)過0、A兩點

c=0,16。+4/?=0

b=-4a

解法二：二?一次函數(shù)y=4%的圖象與X軸交于點

A

???點A的坐標(biāo)為(4,0)

*.*拋物線y=ax2++c經(jīng)過0、A兩點

拋物線的對稱軸為直線x=2

x=--2—a=2

b=-Aa

(2)由拋物線的對稱性可知，D0=DA

.??點。在。D上，且ND0A=NDA0

26

又由（1）知拋物線的解析式為y=ax?-4ox

??.點D的坐標(biāo)為（2,-4a）

①當(dāng)a>0時，

如圖1,設(shè)。D被X軸分得的劣弧為它沿X

軸翻折后所得劣弧為嬴，顯然￡1所在的圓與。D關(guān)于

x軸對稱，設(shè)它的圓心為D,

??.點D'與點D也關(guān)于x軸對稱

???點0在。D'上，且0D與。D'、卜丁

???點。為切點W-

.\D'O±ODUJ

ZD0A=ZD'0A=45°圖］

AAADO為等腰直痢三角形

OD=2五

??.點D的縱坐標(biāo)為一2

/.一4。=-2

1,c

ci=-9b=-*4a=-2

2

二.拋物線的解析式為y=-x2-2x

'2

②當(dāng)a<0時,

同理可得：00=272

27

拋物線的解析式為y=--22x

2X+

綜上，OD半徑的長為2立,拋物線的解析式為

y=_x~-2.xy=—x~+2.x

22

（3）拋物線在x軸上方的部分上存在點P,使得

4

ZPOA=-ZOBA

3

設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,y）,且y>0

①當(dāng)點P在拋物線丁=工1-2%上時（如圖2）

2

,/點B是。D的優(yōu)弧上的一點

AOBA=-ZADO=45°

2

4

/POA=-NOBA=60°

3

過點P作PE±X軸于點E

/.tan4P0E=----

OE

—=tan60°

x

/.y=V3x

由卜F解得：卜=4+2?什,（舍去）

y=—X'-2x［必=6+4百［%二。

、2

，點P的坐標(biāo)為（4+28，6+4行）

28

②當(dāng)點P在拋物線—9+2］上時（如圖3）

同理可得，y=V3x

由廣;、解得：卜="2色，『=0（舍去）

y=——x24-2%［必=-6+46［必=0

、2

??.點P的坐標(biāo)為（4-26，-6+473）

綜上，存在滿足條件的點P,點

（4+273,6+4網(wǎng)或（4-26，-6+473；

圖3

13.（2018北京豐臺）在直角坐標(biāo)系中，。01經(jīng)過坐標(biāo)

原點0,分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、Bo

（1）如圖，過點A作。01的切線與y軸交于點C,點

0到直線AB的距離為

—,sinZABC=-,求直線ACAy

55

的解析式；

（2）若。0］經(jīng)過點M（2,

2）,設(shè)耶OA的內(nèi)切圓的直

徑為d,試判斷d+AB的值

是否會發(fā)生變化，如果不

變，求出其值，如果變化,

求其變化的范圍。

29

［解］(1)如圖1,過0作OGLAB于G,則0G=?

設(shè)QA=3k(k>0),\-ZAOB=90°,sinZABC=|

.0.AB=5k,OB=4Z

?「OA-OB=AB-OG=2sMOB，1?34x44=5x54=1

,\OA=3,08=4,AB=5

.-.A(3,0)

???ZAOB=90°,；.AB是。01的直徑

AC切。a于A,BA1AC,NBAC=90°

在Rt^ABC中

25

cosZABC=—=BC

BC54

9

OC=BC-OB=二

4

9

C(0,——)

設(shè)直線AC的解析式為y=Ax+"則

二直線AC的解析式為y—2

(2)結(jié)論：d+AB的值不會發(fā)生變化

30

設(shè)AAQ5的內(nèi)切圓分別切OA、OB、AB于點P、Q、T,

如圖2所示

圖2

BQ=BT,AP=AT,OQ=OP=^

：.BQ=BT=OB-L,AP=AT=OA-L

22

：.AB=BT+AT=OB--+OA--=OA+OB-d

22

貝Ud+AB=d+OA+OB-d=OA+OB

在x軸上取一點N,使AN二OB,連接OM、BM、AM、

???M(2,2),：.OM平分NAOB,.?.OM=2叵

ZBOM=AMON=45°,.AM=BM

又NMAN=NOBM,OB=AN

：.\BOM三^ANM,：.ZBOM=ZANM=45°,AANM=4MON

OM=NM,NOMN=90°

OA+OB=OA+AN=ON=y/OM2+MN2=丘xOM=叵x272=4

.?"+AB的值不會發(fā)生變化，其值為4。

31

14.(2018福建廈門)已知：0是坐標(biāo)原點，P(加，/7)

k

(勿＞0)是函數(shù)v=—(〃＞0)上的點，過點P作直

線PA_L0P于P,直線PA與x軸的正半軸交于點A

(a,0)(a＞而.設(shè)△OPA的面積為s,且s=1+

n4

(1)當(dāng)〃=1時，求點A的坐標(biāo)；

(2)若OP=AP,求A的值；

4

(3)設(shè)〃是小于20的整數(shù)，且女生，，求OP?的最

小值.

［解］過點P作PQ_Lx軸于Q,則PQ=〃，OQ=/77

z..i5

(1)當(dāng)"=1時，s=~

,2s5

??a==~

n2

(2)解1：OP=APPA±OP

AOPA是等腰直角三角形

a

m=n=~

(n1

1+~=2?an

即/74—4/72+4=0

32

必—4%+4=0

/.k=2

解2：???0P=APPA±0P

.,.△OPA是等腰直角三角形

m=n

設(shè)△()「()的面積為s

則：S1=|

?，?

即：n—4/72+4=0

〃2-4?+4=0

k=2

(3)解1:PAJLOP,PQ±OA

AOPQ^AOAP

設(shè)：△OPQ的面積為8,則

色—也

1=后

33

14+6

k

2n

即：

n44

1+44(1+“2

n2

化簡得：2力+2六一kn-4k=0

(4—2)(2k—rt)=0

4

:"k=2或4='(舍去)

??.當(dāng)〃是小于20的整數(shù)時，k=2.

**0P2=Z72+/W=A72+-7

n

又m>0,k=2,

〃是大于0且小于20的整數(shù)

當(dāng)/7=1時，0P2=5

當(dāng)n=2時，0p2=5

,,224485

當(dāng)〃=3時，0P=3+^?=9+-=—

O//

當(dāng)〃是大于3且小于20的整數(shù)時，

即當(dāng)〃=4、5、6、…、19時，OP?得值分別是:

4?+*、5?+2、6?+*、…、192+^i

34

444

V192+^>182+^>->32+ZI>5

I/IO0

OP?的最小值是5.

解2：0p2="2+/=〃2+4

n

22