大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)第二冊(cè)

華東理工大學(xué)

線性代數(shù)

作業(yè)簿（第二冊(cè)）

學(xué)院____________專業(yè)___________班級(jí)

學(xué)號(hào)姓名任課教師

1.4矩陣的分塊

34001「3200

4-300450:，求(1)A5；(2)A4.

1.設(shè)A=,B=

0020004

0022J|_°062

解:

252600

⑴3m440-700

A,B20082

00206

(2)4=4"=(25/)2=6251,

10

=16

41

625000

62500

0160

06416

0020

000-3

2.設(shè)A=貝UA-1=

0400

1000

0001

00-0

A4

解：A=4

A-000

2

0--00

3

3.已知分塊矩陣W叱?叱2],則卬r=（

).

1%o）

/%0、

(A)(B)‘%

M2、%%,

儼」

%;(D)

(0皿2,

0)。J

解：D.

101

4.求滿足AX-X+/=A2的矩陣X,其中A=020

101

解：由原式，整理得（A-1）X=A2—/=（A—/）（A+/）,而

~Q0r「20r

A-I=010可逆，故由上式可得X=A+/=030

100102

5.設(shè)”階矩陣4,8滿足=

(1)證明A-/可逆，且=

-1-30-

(2)若已知3=210,求矩陣A.

002

解：(1)由A+B=AB,移項(xiàng)得AB-A-B=O,即

AB-A-B+I=I,亦即(A—/)(§—/)=/，從而得到A—/可逆；

且由上式可得(5-/)(A-/)=/,展開得BA-A-B=O,即

BA=A+B,結(jié)合條件知AB=54

(2)由(1)知A—/=(§—/)T,即A=(B—/)T+/,而

11

T0-01-0

0-3022

(")T==,故人=

200-3-00--310

001001002

6.設(shè)A=(%.)是一個(gè)冽義〃矩陣，⑴計(jì)算Aepe；Aej,其

中華為機(jī)階單位矩陣的第，歹U,與為〃階單位矩陣的第/列；

(2)試證：對(duì)任一加維列向量x,x'A=0oA=O；

⑶試證：對(duì)任一機(jī)維列向量x和任一〃維列向量y,

x1^Ay=0oA=O.

解：⑴

弓A=…'冊(cè)/]'6A'j=

⑵“u”顯然；

"n”由向量x的任意性，取x=弓(i=1,2,…私且q.為機(jī)階單位矩

陣的第，歹U),則由⑴得鎮(zhèn)人4小,%，…,。加』=0，即A的第，行為

零向量，取遍，=1,2,..”，知A的每一行均為零向量，即4=0.

(3)“u”顯然；

"二＞”由x與y的任意性，取x=e”y=qa=1,2,...m,j=1,2,./;弓

與與分別為加，”階單位陣的第i"列)，則由⑴得ejAq=%=0,

即A的每一個(gè)元素都為零，亦即4=0.

7.設(shè)〃階矩陣A=[%],〃維向量。=[1,1,…』了，(1)計(jì)算4z；

(2)若A可逆，其每一行元素之和都等于常數(shù)c,試證：A~的每

一行元素之和也都相等，且等于2.

C

解：(1)設(shè)q為〃階單位矩陣的第，列，則有

。=[1,1,I],=，+%---卜〃

又設(shè)見為A的第i列，則有

k=l

n

-

Acc—Ag++,—IAe“=4+cc2+—Hocnk=T

k=T

(2)由題設(shè)及(1)的結(jié)論可得：Aa=canA1a=—a,即A一】的

c

每一行元素之和都等于L

c

1.5初等變換與初等矩陣

1.用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣.

-1122

12

(1)(2)-401

-34

6-1-1

解：（1）構(gòu)造分塊陣［12：1°T并對(duì)其進(jìn)行初等行變換

-34：01

10

1210]屈“1210丁612

31

-340101031~01

1010

占(-2)102T114-2

0141031

--11

(2)-4

6

2-1112-3

2.已知A=1205=204，且有AA=X+5,求X.

2120-15

解：?.?XA=X+B=>X(A—/)=3=>

1-11：1001-11100

[A-I：I]=110:01002-1-110

211500103-1-201

1-115100

10012-1

1

010010-1-11

222

001-1-32

1

001

222

=[A(CT)-1-AB-1]T+(AB-1)T

=[c-'AT-(B1)TAT]+(B1)TAT

-1-10-1

=C^AT=01-12

0-12-2

123001100

4.已知A=456,P=010,Q=o01,則

789100010

pl00AQWi=

132

解:465

798

。21%2。23

設(shè)公=

5.%],B=4]2。13

。31+a\\CI32+%2。33+°13

().

(A)APXP2=B；(B)AP2PX=B；(C)=(D)P2PXA=B.

解：C.

0101001-43

6.解矩陣方程:100X001=20-1

0010101-20

解：X左右的兩個(gè)矩陣均為初等矩陣,故而可逆且其逆也是初等

矩陣，于是有

010-11-4

x二10020

0011-2

0101-4-10

100203-4

0011-20-2

7.已知A,3為三階方陣,且滿足24-g=3—4/.

1-20

(1)證明A—2/可逆；(2)若3=120,求矩陣A.

002

解:

(1)2A-1B=3—4/n23=AB—4A