2022屆重慶江北區(qū)高三第二次模擬考試數學試卷含解析

2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為拋物線的焦點，點在上，若直線與的另一個交點為，則()A． B． C． D．2．已知函數，若關于的方程有且只有一個實數根，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．3．已知集合M＝{y｜y＝2x，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－xA．（1，＋∞） B．（1，2） C．[2，＋∞） D．[1，＋∞）4．設，均為非零的平面向量，則“存在負數，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．為得到函數的圖像，只需將函數的圖像（）A．向右平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向左平移個長度單位6．已知實數x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．7．某網店2019年全年的月收支數據如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（）A．月收入的極差為60 B．7月份的利潤最大C．這12個月利潤的中位數與眾數均為30 D．這一年的總利潤超過400萬元8．已知，，，，則（）A． B． C． D．9．祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是說：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設、為兩個同高的幾何體，、的體積不相等，、在等高處的截面積不恒相等.根據祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．由曲線圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．11．過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點，直線（是坐標原點）交的右支于點，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．12．已知，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則的最小值是______.14．如圖，機器人亮亮沿著單位網格，從地移動到地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從移動到最近的走法共有____種．15．在平面直角坐標系中，若函數在處的切線與圓存在公共點，則實數的取值范圍為_____．16．的展開式中所有項的系數和為______，常數項為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，設與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.（1）求的直角坐標方程與點的直角坐標；（2）求證：.18．（12分）如圖，在三棱柱中，平面平面，側面為平行四邊形，側面為正方形，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.19．（12分）已知函數，.（1）討論函數的單調性；（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個實數解、、（），求證：.20．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程已知曲線的參數方程是（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.（1）寫出的極坐標方程和的直角坐標方程；（2）已知點、的極坐標分別為和，直線與曲線相交于，兩點，射線與曲線相交于點，射線與曲線相交于點，求的值.21．（12分）在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛(wèi)生運動，從人居環(huán)境改善、飲食習慣、社會心理健康、公共衛(wèi)生設施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習，提倡文明健康、綠色環(huán)保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調查，隨機收集了該區(qū)居民六類日常生活習慣的有關數據.六類習慣是：（1）衛(wèi)生習慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規(guī)律狀況類.經過數據整理，得到下表：衛(wèi)生習慣狀況類垃圾處理狀況類體育鍛煉狀況類心理健康狀況類膳食合理狀況類作息規(guī)律狀況類有效答卷份數380550330410400430習慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6假設每份調查問卷只調查上述六類狀況之一，各類調查是否達到良好標準相互獨立.（1）從小組收集的有效答卷中隨機選取1份，求這份試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者的概率；（2）從該區(qū)任選一位居民，試估計他在“衛(wèi)生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣的概率；（3）利用上述六類習慣調查的排序，用“”表示任選一位第k類受訪者是習慣良好者，“”表示任選一位第k類受訪者不是習慣良好者（）.寫出方差，，，，，的大小關系.22．（10分）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，角為銳角，的面積為.（1）求角的大??；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

求得點坐標，由此求得直線的方程，聯立直線的方程和拋物線的方程，求得點坐標，進而求得【詳解】拋物線焦點為，令，，解得，不妨設，則直線的方程為，由，解得，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的弦長的求法，屬于基礎題.2．B【解析】

利用換元法設，則等價為有且只有一個實數根，分三種情況進行討論，結合函數的圖象，求出的取值范圍.【詳解】解：設，則有且只有一個實數根.當時，當時，，由即，解得，結合圖象可知，此時當時，得，則是唯一解，滿足題意；當時，此時當時，，此時函數有無數個零點，不符合題意；當時，當時，，此時最小值為，結合圖象可知，要使得關于的方程有且只有一個實數根，此時.綜上所述：或.故選:A.【點睛】本題考查了函數方程根的個數的應用.利用換元法，數形結合是解決本題的關鍵.3．B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2)．故選B．4．B【解析】

根據充分條件、必要條件的定義進行分析、判斷后可得結論．【詳解】因為，均為非零的平面向量，存在負數，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當向量，的夾角為鈍角時，滿足，但此時，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負數，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【點睛】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當的方法判斷命題是否正確．5．D【解析】，所以要的函數的圖象，只需將函數的圖象向左平移個長度單位得到，故選D6．D【解析】

設，，去絕對值，根據余弦函數的性質即可求出．【詳解】因為實數，滿足，設，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【點睛】本題考查了橢圓的參數方程、三角函數的圖象和性質，考查了運算能力和轉化能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．7．D【解析】

直接根據折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為，故選項A正確；1至12月份的利潤分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利潤最高，故選項B正確；易求得總利潤為380萬元，眾數為30，中位數為30，故選項C正確，選項D錯誤.故選：.【點睛】本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力和應用能力.8．D【解析】

令，求，利用導數判斷函數為單調遞增，從而可得，設，利用導數證出為單調遞減函數，從而證出，即可得到答案.【詳解】時，令，求導，，故單調遞增：∴，當，設，，又，，即，故.故選：D【點睛】本題考查了作差法比較大小，考查了構造函數法，利用導數判斷式子的大小，屬于中檔題.9．A【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【詳解】解：由題意，若、的體積不相等，則、在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，、在等高處的截面積不恒相等，但、的體積可能相等，例如是一個正放的正四面體，一個倒放的正四面體，必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學生的邏輯推理能力.10．A【解析】

先計算出兩個圖像的交點分別為，再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點睛】本題考察定積分的應用，屬于基礎題.解題時注意積分區(qū)間和被積函數的選取.11．D【解析】

如圖，設雙曲線的右焦點為，連接并延長交右支于，連接，設，利用雙曲線的幾何性質可以得到，，結合、可求離心率.【詳解】如圖，設雙曲線的右焦點為，連接，連接并延長交右支于.因為，故四邊形為平行四邊形，故.又雙曲線為中心對稱圖形，故.設，則，故，故.因為為直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構造關于的方程，本題屬于難題.12．A【解析】

根據指數函數與對數函數的單調性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為，所以.因為，所以，因為，為增函數，所以所以，故選：A.【點睛】本題主要考查了指數函數、對數函數的單調性，利用單調性比較大小，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．8【解析】

根據，利用基本不等式可求得函數最值.【詳解】，，當且僅當且，即時，等號成立.時，取得最小值.故答案為：【點睛】本題考查基本不等式，構造基本不等式的形式是解題關鍵.14．【解析】

分三步來考查，先從到，再從到，最后從到，分別計算出三個步驟中對應的走法種數，然后利用分步乘法計數原理可得出結果.【詳解】分三步來考查：①從到，則亮亮要移動兩步，一步是向右移動一個單位，一步是向上移動一個單位，此時有種走法；②從到，則亮亮要移動六步，其中三步是向右移動一個單位，三步是向上移動一個單位，此時有種走法；③從到，由①可知有種走法.由分步乘法計數原理可知，共有種不同的走法.故答案為：.【點睛】本題考查格點問題的處理，考查分步乘法計數原理和組合計數原理的應用，屬于中等題.15．【解析】

利用導數的幾何意義可求得函數在處的切線,再根據切線與圓存在公共點,利用圓心到直線的距離滿足的條件列式求解即可.【詳解】解：由條件得到又所以函數在處的切線為,即圓方程整理可得：即有圓心且所以圓心到直線的距離,即.解得或,故答案為：．【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義求解切線方程的問題,同時也考查了根據直線與圓的位置關系求解參數范圍的問題,屬于基礎題.16．3-260【解析】

(1)令求得所有項的系數和；(2)先求出展開式中的常數項與含的系數，再求展開式中的常數項.【詳解】將代入，得所有項的系數和為3.因為的展開式中含的項為，的展開式中含常數項，所以的展開式中的常數項為.故答案為：3；-260【點睛】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特殊項問題，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），；（2）見解析.【解析】

（1）將曲線的極坐標方程變形為，再由可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，將直線的方程與曲線的方程聯立，求出點、的坐標，即可得出線段的中點的坐標；（2）求得，寫出直線的參數方程，將直線的參數方程與曲線的普通方程聯立，利用韋達定理求得的值，進而可得出結論.【詳解】（1）曲線的極坐標方程可化為，即，將代入曲線的方程得，所以，曲線的直角坐標方程為.將直線的極坐標方程化為普通方程得，聯立，得或，則點、，因此，線段的中點為；（2）由（1）得，，易知的垂直平分線的參數方程為（為參數），代入的普通方程得，，因此，.【點睛】本題考查曲線的極坐標方程與普通方程之間的轉化，同時也考查了直線參數幾何意義的應用，涉及韋達定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.18．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）連接，交與，連接，由，得出結論；（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用夾角公式求出即可.【詳解】（1）連接，交與，連接，在中，，又平面，平面，所以平面；（2）由平面平面，，為平面與平面的交線，故平面，故，又，所以平面，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，，，，，，，設平面的法向量為，，，由，得，平面的法向量為，由，故二面角的大小為.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19．（1）①當時，在單調遞增,②當時，單調遞增區(qū)間為,,單調遞減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】

（1）先求解導函數，然后對參數分類討論，分析出每種情況下函數的單調性即可；（2）根據條件先求解出的值，然后構造函數分析出之間的關系，再構造函數分析出之間的關系，由此證明出.【詳解】（1），①當時，恒成立，則在單調遞增②當時，令得，解得，又，∴∴當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.（2）依題意得，，則由（1）得，在單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增∴若方程有三個實數解，則法一：雙偏移法設，則∴在上單調遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調遞減，∴，即設，∴在上單調遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調遞增，∴，即∴.法二：直接證明法∵，，在上單調遞增，∴要證，即證設，則∴在上單調遞減，在上單調遞增∴，∴，即（注意：若沒有證明，扣3分）關于的證明：（1）且時，（需要證明），其中∴∴∴（2）∵，∴∴，即∵，，∴，則∴【點睛】本題考查函數與倒導數的綜合應用，難度較難.（1）對于含參函數單調性的分析，可通過分析參數的臨界值，由此分類討論函數單調性；（2）利用導數證明不等式常用方法：構造函數，利用新函數的單調性確定函數的最值，從而達到證明不等式的目的.20．（1）線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為；（2）.【解析】試題分析：（1）（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲線C1的參數方程化為普通方程，進而利用即可化為極坐標方程，同理可得曲線C2的直角坐標方程；

（2）由過的圓心，得得，設，，代入中即可得解.試題解析：（1）曲線的普通方程為，化成極坐標方程為曲線的直角坐標方程為（2）在直角坐標系下，，，恰好過的圓心，

∴由得，是橢圓上的兩點，在極坐標下，設，分別代入中，有和∴，則，即21．（1）（2）（3）【解析】

（1）設“選取的試卷的調查結果是膳食合理狀況類