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2024-2025學(xué)年湖南省漣源一中高三開(kāi)學(xué)考試-數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,,是球的球面上四個(gè)不同的點(diǎn),若,且平面平面,則球的表面積為()A. B. C. D.2.若均為任意實(shí)數(shù),且,則的最小值為()A. B. C. D.3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺(tái)體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸4.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.記個(gè)兩兩無(wú)交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間,設(shè)函數(shù),則不等式的解集為()A.2階區(qū)間 B.3階區(qū)間 C.4階區(qū)間 D.5階區(qū)間6.若某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.240 B.264 C.274 D.2827.若點(diǎn)x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界),則A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-38.已知函數(shù)滿足,設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.一輛郵車從地往地運(yùn)送郵件,沿途共有地,依次記為,,…(為地,為地).從地出發(fā)時(shí),裝上發(fā)往后面地的郵件各1件,到達(dá)后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件,同時(shí)裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件,記該郵車到達(dá),,…各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為.則的表達(dá)式為().A. B. C. D.10.的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為()A. B.60 C.70 D.8011.設(shè)命題函數(shù)在上遞增,命題在中,,下列為真命題的是()A. B. C. D.12.已知向量與的夾角為,定義為與的“向量積”,且是一個(gè)向量,它的長(zhǎng)度,若,,則()A. B.C.6 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面向量與的夾角為,,,則__________.14.“直線l1:與直線l2:平行”是“a=2”的_______條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).15.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且,則______.16.設(shè)滿足約束條件,則的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的右頂點(diǎn)為,為上頂點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn).(1)若,求直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線為,的中點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,求證:直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上.18.(12分)一張邊長(zhǎng)為的正方形薄鋁板(圖甲),點(diǎn),分別在,上,且(單位:).現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開(kāi),再將沿折疊,沿折疊,使,重合,且重合于點(diǎn),制作成一個(gè)無(wú)蓋的三棱錐形容器(圖乙),記該容器的容積為(單位:),(注:薄鋁板的厚度忽略不計(jì))(1)若裁開(kāi)的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋,求,的值;(2)試確定的值,使得無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大.19.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的值.20.(12分)如圖,在四棱錐中底面是菱形,,是邊長(zhǎng)為的正三角形,,為線段的中點(diǎn).求證:平面平面;是否存在滿足的點(diǎn),使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.(12分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),證明:.22.(10分)已知x∈R,設(shè),,記函數(shù).(1)求函數(shù)取最小值時(shí)x的取值范圍;(2)設(shè)△ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,,求△ABC的面積S的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
由題意畫(huà)出圖形,求出多面體外接球的半徑,代入表面積公式得答案.【詳解】如圖,取BC中點(diǎn)G,連接AG,DG,則,,分別取與的外心E,F(xiàn),分別過(guò)E,F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線,相交于O,則O為四面體的球心,由,得正方形OEGF的邊長(zhǎng)為,則,四面體的外接球的半徑,球O的表面積為.故選A.本題考查多面體外接球表面積的求法,考查空間想象能力與思維能力,是中檔題.2.D【解析】
該題可以看做是圓上的動(dòng)點(diǎn)到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的最小值問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問(wèn)題,結(jié)合圖形,可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的問(wèn)題來(lái)解決,從而求得切點(diǎn)坐標(biāo),即滿足條件的點(diǎn),代入求得結(jié)果.【詳解】由題意可得,其結(jié)果應(yīng)為曲線上的點(diǎn)與以為圓心,以為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平方的最小值,可以求曲線上的點(diǎn)與圓心的距離的最小值,在曲線上取一點(diǎn),曲線有在點(diǎn)M處的切線的斜率為,從而有,即,整理得,解得,所以點(diǎn)滿足條件,其到圓心的距離為,故其結(jié)果為,故選D.本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處切線斜率的應(yīng)用,考查圓的程,兩條直線垂直的斜率關(guān)系,屬中檔題.3.B【解析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點(diǎn):1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題;2.圓臺(tái)的體積.4.D【解析】
通過(guò)列舉法可求解,如兩角分別為時(shí)【詳解】當(dāng)時(shí),,但,故充分條件推不出;當(dāng)時(shí),,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題5.D【解析】
可判斷函數(shù)為奇函數(shù),先討論當(dāng)且時(shí)的導(dǎo)數(shù)情況,再畫(huà)出函數(shù)大致圖形,將所求區(qū)間端點(diǎn)值分別看作對(duì)應(yīng)常函數(shù),再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當(dāng)且時(shí),.令得.可得和的變化情況如下表:令,則原不等式變?yōu)椋蓤D像知的解集為,再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成,所以解集為5階區(qū)間.故選:D本題考查由函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性求解對(duì)應(yīng)自變量范圍,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性,數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于難題6.B【解析】
將三視圖還原成幾何體,然后分別求出各個(gè)面的面積,得到答案.【詳解】由三視圖可得,該幾何體的直觀圖如圖所示,延長(zhǎng)交于點(diǎn),其中,,,所以表面積.故選B項(xiàng).本題考查三視圖還原幾何體,求組合體的表面積,屬于中檔題7.D【解析】
畫(huà)出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域,y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)【詳解】畫(huà)出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)和定點(diǎn)P(2,-1)設(shè)k=y+1x-2,結(jié)合圖形可得k≥k由題意得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(1,2),∴kPA∴k≥1或k≤-3,∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D.解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè):一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問(wèn)題,即把y+1x-28.B【解析】
結(jié)合函數(shù)的對(duì)應(yīng)性,利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:若,則,即成立,若,則由,得,則“”是“”的必要不充分條件,故選:B.本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)的對(duì)應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
根據(jù)題意,分析該郵車到第站時(shí),一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目,進(jìn)而計(jì)算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,該郵車到第站時(shí),一共裝上了件郵件,需要卸下件郵件,則,故選:D.本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用,屬于中檔題.10.B【解析】
展開(kāi)式中含的項(xiàng)是由的展開(kāi)式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到,由二項(xiàng)式的通項(xiàng),可得解【詳解】由題意,展開(kāi)式中含的項(xiàng)是由的展開(kāi)式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到,所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選:B本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】
命題:函數(shù)在上單調(diào)遞減,即可判斷出真假.命題:在中,利用余弦函數(shù)單調(diào)性判斷出真假.【詳解】解:命題:函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在上單調(diào)遞減,因此是假命題.命題:在中,在上單調(diào)遞減,所以,是真命題.則下列命題為真命題的是.故選:C.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形邊角大小關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和,進(jìn)而求出,代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意,則,,得,由定義知,故選:D.此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,引入新定義,屬于簡(jiǎn)單題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由平面向量模的計(jì)算公式,直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為,所以,所以;故答案為本題主要考查平面向量模的計(jì)算,只需先求出向量的數(shù)量積,進(jìn)而即可求出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題型.14.必要不充分【解析】
先求解直線l1與直線l2平行的等價(jià)條件,然后進(jìn)行判斷.【詳解】“直線l1:與直線l2:平行”等價(jià)于a=±2,故“直線l1:與直線l2:平行”是“a=2”的必要不充分條件.故答案為:必要不充分.本題主要考查充分必要條件的判定,把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵,側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).15.18【解析】
先由,可得,再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】解:因?yàn)椋裕?故答案為:18.本題考查了等差數(shù)列基本量的運(yùn)算,重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,屬基礎(chǔ)題.16.【解析】
作出可行域,將目標(biāo)函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率,則由圖可知或,分別計(jì)算出與,再由不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域,顯然當(dāng)時(shí),z=0;當(dāng)時(shí)將目標(biāo)函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率,則由圖可知或顯然,聯(lián)立,所以則或,故或綜上所述,故答案為:本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題,屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)直接求出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo),從而可得直線方程,得其與軸交點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè),則,求出直線和的方程,從而求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),證明此交點(diǎn)在橢圓上,即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程.代入驗(yàn)證即可.注意分和說(shuō)明.【詳解】解:本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合,(1)由題知,,則.因?yàn)?,所以,則直線的方程為,聯(lián)立,可得故.則,直線的方程為.令,得,故直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.(2)證明:因?yàn)?,,所以.設(shè)點(diǎn),則.設(shè)當(dāng)時(shí),設(shè),則,此時(shí)直線與軸垂直,其直線方程為,直線的方程為,即.在方程中,令,得,得交點(diǎn)為,顯然在橢圓上.同理當(dāng)時(shí),交點(diǎn)也在橢圓上.當(dāng)時(shí),可設(shè)直線的方程為,即.直線的方程為,聯(lián)立方程,消去得,化簡(jiǎn)并解得.將代入中,化簡(jiǎn)得.所以兩直線的交點(diǎn)為.因?yàn)?,又因?yàn)?,所以,則,所以點(diǎn)在橢圓上.綜上所述,直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上.本題考查直線與橢圓相交問(wèn)題,解題方法是解析幾何的基本方程,求出直線方程,解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線方程驗(yàn)證點(diǎn)在曲線.本題考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.18.(1),;(2)當(dāng)值為時(shí),無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大.【解析】
(1)由已知求得,求得三角形的面積,再由已知得到平面,代入三棱錐體積公式求的值;(2)由題意知,在等腰三角形中,,則,,寫(xiě)出三角形面積,求其平方導(dǎo)數(shù)的最值,則答案可求.【詳解】解:(1)由題意,為等腰直角三角形,又,,恰好是該零件的蓋,,則,由圖甲知,,,則在圖乙中,,,,又,平面,平面,;(2)由題意知,在等腰三角形中,,則,,.令,,,.可得:當(dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),,當(dāng)時(shí),有最大值.由(1)知,平面,該三棱錐容積的最大值為,且.當(dāng)時(shí),取得最大值,無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大.答:當(dāng)值為時(shí),無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大.本題考查棱錐體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值,屬于中檔題.19.(1);(2)【解析】
(1)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可;(2)將直線參數(shù)方程代入圓的普通方程,可得,,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,知,代入即可解決.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去;得曲線的極坐標(biāo)方程為.由,,,可得,即曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2)將直線的參數(shù)方程(為參數(shù))代入的方程,可得,,設(shè),是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,,,則.本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化,直線參數(shù)方程的幾何意義,是一道容易題.20.證明見(jiàn)解析;2.【解析】
利用面面垂直的判定定理證明即可;由,知,所以可得出,因此,的充要條件是,繼而得出的值.【詳解】解:證明:因?yàn)槭钦切?,為線段的中點(diǎn),所以.因?yàn)槭橇庑?,所以.因?yàn)?,所以是正三角形,所以,而,所以平面.又,所以平面.因?yàn)槠矫?,所以平面平面.由,知.所以,,.因此,的充要條件是,所以,.
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